Wie genau scheitert der Beweis des Satzes von Bell, wenn man die Lokalitätsannahme entfernt?

In diesem Artikel leitet Bell seine berühmte Ungleichung unter Verwendung der Annahmen von Lokalität und Realismus ab. Um zu verstehen, wie sich die Lokalitätsannahme auf die Ableitung der Ungleichung auswirkt und warum sie für die Gleichheit benötigt wird, habe ich versucht, die Ungleichung neu abzuleiten, indem ich zuerst die Lokalität und dann ein zweites Mal die Nichtlokalität annahm, um zu sehen, was der Unterschied ist ist. Meine Ableitungen scheinen jedoch zu sagen, dass es keinen Unterschied gibt, was impliziert, dass Nichtlokalität nicht aus einem Bell-Test geschlossen werden kann, was falsch ist (oder ein anderer, klügerer Mathematiker hätte inzwischen darauf hingewiesen). Wo mache ich meine Fehler? Hinweis : Ich weiß, dass es andere ähnliche Fragen zur Nichtlokalität in der CHSH- Ungleichung gibt. Ich habe sie gelesen und sehe ihre Anwendung auf diese (die ursprüngliche) Form der Bellschen Ungleichung nicht (sie verwenden einen anderen mathematischen Formalismus und Ausdruck, den ich in Bells ursprünglicher Ableitung nicht sehe).

Das System ist ein Paar verschränkter Teilchen. Lassen EIN = ± 1 sei das Ergebnis von Alices Messung des Spins eines Teilchens und sei B = ± 1 das Ergebnis von Bobs Messung der anderen sein. Lassen a und β Einheitsvektoren sein, die die Messrichtungen von Alice bzw. Bob darstellen. Lassen λ einen Satz von beliebig vielen versteckten Variablen darstellen und ρ = ρ ( λ ) die normalisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung von λ .

Soweit ich das beurteilen kann, läuft die Lokalitätsannahme darauf hinaus, dies anzunehmen EIN = EIN ( a , λ ) ≠ EIN ( a , β , λ ) , oder das EIN ist unabhängig von β , und ebenso für B und a (Das könnte mein Fehler sein, wenn mehr dahintersteckt).

Lokale Ableitung : EIN ( a , λ ) = ± 1 , B ( β , λ ) = ± 1 . Der Erwartungswert von EIN B ist

P ( a , β ) = ∫ ρ EIN ( a , λ ) B ( β , λ ) d λ .

Für eine gegebene Messrichtung a ,

P ( a , a ) = ∫ ρ EIN ( a , λ ) B ( a , λ ) d λ = − 1 ⟹ EIN ( a , λ ) = − B ( a , λ ) .

P ( a , a ) = − 1 impliziert, dass die Teilchen antikorreliert sind, und so durch Umschreiben des Erwartungswerts von EIN B als

(1) P ( a , β ) = − ∫ ρ EIN ( a , λ ) EIN ( β , λ ) d λ

(mit anderen Worten, indem man davon ausgeht EIN ( a , λ ) = − B ( β , λ ) immer gilt) stellen wir mathematisch die Annahme dar, dass der Zustand unseres Zwei-Teilchen-Systems auf einen maximal antikorrelierten Zustand beschränkt ist ( | Ψ ± ⟩ ). Unter Verwendung dieses letzten Ausdrucks erhalten wir (für einige Einheitsvektoren a , b , und c )

P ( a , b ) − P ( a , c ) = − ∫ ρ ( EIN ( a , λ ) EIN ( b , λ ) − EIN ( a , λ ) EIN ( c , λ ) ) d λ = − ∫ ρ EIN ( a , λ ) EIN ( b , λ ) ( 1 − EIN ( a , λ ) EIN ( c , λ ) EIN ( a , λ ) EIN ( b , λ ) ) d λ = ∫ ρ EIN ( a , λ ) EIN ( b , λ ) ( EIN ( b , λ ) EIN ( c , λ ) − 1 ) d λ ,

| P ( a , b ) − P ( a , c ) | ≤ ∫ ρ ( 1 − EIN ( b , λ ) EIN ( c , λ ) ) d λ = 1 − P ( b , c ) ,

| P ( a , b ) − P ( a , c ) | + P ( b , c ) ≤ 1.

Nichtlokale Ableitung : EIN ( a , β , λ ) = ± 1 , B ( β , a , λ ) = ± 1 . Der Erwartungswert von EIN B ist

P ( a , β ) = ∫ ρ EIN ( a , β , λ ) B ( β , a , λ ) d λ .
P ( a , a ) = ∫ ρ EIN ( a , a , λ ) B ( a , a , λ ) d λ = − 1 ⟹ EIN ( a , a , λ ) = − B ( a , a , λ ) ,
(2) P ( a , β ) = − ∫ ρ EIN ( a , β , λ ) EIN ( β , a , λ ) d λ ,
P ( a , b ) − P ( a , c ) = − ∫ ρ ( EIN ( a , b , λ ) EIN ( b , a , λ ) − EIN ( a , c , λ ) EIN ( c , a , λ ) ) d λ = − ∫ ρ EIN ( a , b , λ ) EIN ( b , a , λ ) ( 1 − EIN ( a , c , λ ) EIN ( c , a , λ ) EIN ( a , b , λ ) EIN ( b , a , λ ) ) d λ ,
| P ( a , b ) − P ( a , c ) | ≤ 1 − ∫ ρ ( EIN ( a , c , λ ) EIN ( c , a , λ ) EIN ( a , b , λ ) EIN ( b , a , λ ) ) d λ ,
| P ( a , b ) − P ( a , c ) | + ∫ ρ ( EIN ( a , c , λ ) EIN ( c , a , λ ) EIN ( a , b , λ ) EIN ( b , a , λ ) ) d λ ≤ 1.

Frage : Mein Ergebnis ist von der gleichen Form wie das von Bell, aber ich kann den dritten Term links nicht zu vereinfachen P ( b , c ) , sodass der dritte Term seine nichtlokale Abhängigkeit von behält EIN zweites Argument. Trotzdem beides ∫ ρ ( EIN ( a , c , λ ) EIN ( c , a , λ ) EIN ( a , b , λ ) EIN ( b , a , λ ) ) d λ und P ( b , c ) sind auf das Sortiment beschränkt − 1 ≤ x ≤ 1 , also sollten beide Ungleichungen zu den gleichen experimentellen Schlussfolgerungen bezüglich des lokalen Realismus führen. Welchen Unterschied macht also die Ortsannahme? Welche Annahme stelle ich falsch dar? Oder welchen anderen Fehler mache ich?

Antworten (3)

In meiner Ableitung mache ich meinen Fehler bei der Gleichung ( 2 ) , indem versucht wird, die von Bell verwendete Logik zu erweitern, um zu einer Gleichung zu gelangen ( 1 ) .

Die lokale Ableitung von Bell verwendet die Annahme, dass sich das beobachtete System in einem antikorrelierten Zustand befindet, um die Gleichheit zu erhalten

EIN ( a , λ ) = − B ( a , λ ) ,

in welchem a steht für eine bestimmte Wahl des Messwinkels. Es besteht jedoch keine Abhängigkeit von einem anderen Winkel b im obigen, und so ist es genauso allgemein wie das Schreiben der Gleichheit

EIN ( β , λ ) = − B ( β , λ ) .

Dies ermöglicht uns, Ausdruck zu erhalten ( 1 ) :

P ( a , β ) = − ∫ ρ EIN ( a , λ ) EIN ( β , λ ) d λ .

In der nichtlokalen Herleitung gilt jedoch EIN = EIN ( a , β , λ ) und B = B ( β , a , λ ) haben eine nichtlokale Abhängigkeit von zwei Winkeln, nicht nur von einem. Die Annahme des Singulett-Zustandes gibt uns

EIN ( a , a , λ ) = − B ( a , a , λ ) .

In obigem, EIN und B gleich sind, wenn Alice und Bob den gleichen Messwinkel wählen, oder wann a = β , und so lässt sich obiges schreiben

EIN ( β , β , λ ) = − B ( β , β , λ ) ≠ B ( β , a , λ ) .

Das ist wichtig zu beachten, denn EIN ande B von zwei Winkeln abhängen, gilt die obige Beziehung nur, wenn die beiden Winkel gleich sind. Im Ausdruck P ( a , β ) = ∫ ρ EIN ( a , β , λ ) B ( β , a , λ ) d λ , − EIN ( β , β , λ ) kann nicht ersetzt werden, um Ausdruck zu erhalten ( 2 ) :

P ( a , β ) = ∫ ρ EIN ( a , β , λ ) B ( β , a , λ ) d λ ≠ − ∫ ρ EIN ( a , β , λ ) EIN ( β , β , λ ) d λ .

Diese Unfähigkeit, umzuschreiben P ( a , β ) denn der Singulett-Zustand hält die nichtlokale Ableitung an, wenn er versucht, die gleichen Schritte wie Bell in seiner lokalen Ableitung anzuwenden.

Nebenbemerkung: Dies beweist nicht, dass ein anderer Ansatz die Bellsche Ungleichung nicht mit der Annahme der Nichtlokalität wiedergeben könnte, aber das zu beweisen war nicht meine Absicht.

Trotzdem sind sowohl ∫ρ(A(a,c,λ)A(c,a,λ)A(a,b,λ)A(b,a,λ))dλ als auch P(b,c) eingeschränkt auf den Bereich −1≤x≤1, so dass beide Ungleichungen zu den gleichen experimentellen Schlussfolgerungen bezüglich des lokalen Realismus führen sollten.

Dies folgt nicht. Die Tatsache, dass die Korrelation gehorchen muss − 1 < x < 1 ist weniger restriktiv als Bells Ungleichungen. Soweit ich das beurteilen kann, haben Sie keinen Fehler gemacht, die erste Ableitung ist die Korrelation, der eine lokale Theorie gehorchen muss, und die zweite hat einen Term, auf den Sie nicht reduzieren können P ( b , c ) was es erlaubt, die Ungleichung zu verletzen.

Auf jeden Fall fand ich es schwierig, Bells ursprünglicher Ableitung zu folgen, bis ich die Ungleichung auf andere Weise verstand. Er missbraucht auch bedingte Wahrscheinlichkeiten, wie von ET Jaynes bemerkt (obwohl ich denke, dass der Fehler letztendlich nicht fatal ist).

Ich biete die folgende Herleitung an, wenn Sie sie verwenden möchten, um Bell im Nachhinein klarer zu verstehen. Stellen Sie sich drei geordnete Listen vor, die Elemente enthalten − 1 und 1 .

a = { 1 , 1 , − 1 . . . }
b = { 1 , − 1 , 1 , . . . }
c = { − 1 , 1 , 1 , . . . }

Elemente bezeichnen a ich , b ich und c ich , wir haben:

a ich b ich − a ich c ich = a ich b ich − a ich c ich
Seit b ich 2 = 1 :
⟹ a ich b ich − a ich c ich = a ich b ich ( 1 − b ich c ich )
⟹ | a ich b ich − a ich c ich | = | 1 − b ich c ich |
Da die RHS niemals negativ ist, können wir den absoluten Wert fallen lassen:
⟹ | a ich b ich − a ich c ich | = 1 − b ich c ich
Nun durch Summieren der Terme und Bezeichnen:
⟨ a b ⟩ = 1 N ∑ ich = 1 N a ich b ich
Und mit der Tatsache, dass:
∑ ich = 1 N | EIN ich | ≥ | ∑ ich = 1 N EIN ich |
Wir erhalten:
| ⟨ a b ⟩ − ⟨ a c ⟩ | ≤ 1 − ⟨ b c ⟩

Dies ist eine Identität. Wenn Sie irgendwelche drei Listen für geben a , b , und c , diese Ungleichung gilt immer.

Es kann jedoch vorkommen, dass Sie sich in der besonderen Situation befinden, dass Sie für jedes Element nur zwei dieser Listen gleichzeitig abtasten können ich . Jetzt besteht die Möglichkeit, dass dagegen verstoßen wird, aber wenn wir davon ausgehen, dass diese drei Zahlenlisten im Prinzip existieren (auch bekannt als hypothetische Messungen), dann können Verstöße nur bis zu statistischen Schwankungen der Ordnung passieren ∼ 1 / N .

Dagegen verstößt QM, was anscheinend bedeutet, dass diese drei Listen nicht einmal im Prinzip existieren.

Natürlich existieren diese Listen möglicherweise auch nicht für Variablen, die irgendwie miteinander kommunizieren, oder wenn das System im Voraus wusste, was wir messen würden, und sich gegen uns verschworen hat. In diesen beiden Fällen messen wir a und b wir können nicht darüber reden, was c wäre, weil das, was wir messen, eine aktive Rolle im Ergebnis spielt.

+1 für die alternative Ansicht der Ableitung. Es fällt mir leichter, Realismus in Ihrer Ableitung zu sehen als Lokalität, komplementär zu Bells Ableitung, in der ich Lokalität leichter sehe, aber Realismus noch nicht lokalisieren kann. Das könnte eine andere Frage sein, die ich später poste ...
Sie sagten, Sie glauben nicht, dass ich bei meiner Herleitung irgendwelche Fehler gemacht habe. Ich weiß nicht, ob Sie meine Antwort gesehen haben, in der ich einen Fehler identifiziert habe, aber wenn Sie denken, dass meine Antwort falsch ist, würden Sie etwas dagegen haben, einen Kommentar abzugeben und darauf hinzuweisen, dass mein vermeintlicher "Fehler" kein Fehler ist?
Diese Ableitung oben erfordert entweder Nicht-Lokalität oder Nicht-Realismus oder Super-Determinismus, aber sie macht keine Annahme in Bezug auf sie oder sagt, welche bevorzugt wird (Sie können sogar mehrere auswählen, wenn Sie wirklich wollen, dass Physiker leiden). Die Tatsache, dass die Listen nicht existieren, kann durch eine esoterische Vorstellung von "Überlagerung" und "nicht real" interpretiert werden, bis Sie sie mit einer Messung erstellt haben, aber Sie würden das gleiche Ergebnis mit dem eher prosaischen Bild erzielen, das die Variablen stehen irgendwie in nicht-lokaler Kommunikation oder sind Masterminds, die vorhersagen, was Sie messen werden.
Was Ihren Fehler angeht, ich denke, Sie haben ihn ausreichend angesprochen, obwohl ich keine Zeit hatte, ihn sorgfältig zu untersuchen. EIN ( a , a , λ ) = − B ( a , a , λ ) bedeutet nicht EIN ( a , b , λ ) = − B ( b , a , λ ) scheint richtig. Wenn Sie versuchen möchten, es sorgfältig auszuarbeiten, wo Sie der Logik im blutigen Detail folgen können, verwenden Sie die Bayes-Regel, um Korrelationen zu definieren ⟨ EIN B ⟩ = P ( EIN B ) + P ( EIN ¯ B ¯ ) − P ( EIN B ¯ ) − P ( EIN ¯ B ) .
Gibt es einen Tippfehler in der letzten Gleichung? sollte es nicht sein | ⟨ a b ⟩ − ⟨ a c ⟩ | ≤ 1 − ⟨ b c ⟩ ?
Ja, das war ein Tippfehler. Im Endergebnis nicht weniger.

Es scheint mir, dass EIN ( a , b , λ ) = ± 1 ist nicht die korrekte Art, einen Nicht-Ort anzugeben. Wenn Alice eine Messung durchführt, impliziert die Nichtlokalitätsannahme die Entfernung b -Vektor wird ihrem Standort effektiv überlagert, wenn ihre lokale Einstellung ist a . Da dies eine Überlagerung beider Vektoren darstellen würde, sollten sie addiert (und normalisiert) werden, um den Einheitsvektor zu erhalten w . Offensichtlich würde Bob dasselbe Argument verwenden w . Dann wenn EIN ( w , λ ) = ± 1 , so muss es sein B ( w , λ ) = ∓ 1 .

Aufgrund der Nicht-Lokalität sind beide Beobachter gezwungen, lokal dieselbe Messrichtung zu verwenden, mit dem Ergebnis, dass sie immer in einer Weise antikorreliert sind, die mit der Vorstellung einer Lokalität, die lokal unabhängige Messrichtungen erlauben würde, unvereinbar ist.

Daraus folgt, dass unter der Nichtlokalitätsannahme kein Bell-Theorem abzuleiten ist.

@HCooper Ihr Argument scheint dies zu implizieren EIN und B abhängig sind a und b auf die gleiche Weise ( a + b = b + a = w ). Allerdings scheint es so EIN stärker abhängen würde a als an b , und B stärker an b als an a , so EIN = EIN ( a + b ) , B = B ( b + a ) wäre auch nicht die richtige Darstellung. Im Allgemeinen würde ich erwarten EIN ( a , b ) ≠ EIN ( b , a ) .
OK, nehmen wir an, dass Abhängigkeit ausgedrückt wird EIN = EIN ( a + f b ) und B = B ( b + f a ) , wo f ist kleiner als eins. Dann würde unter Verletzung der Lokalität jede Beobachtung von Alice sofort durch jede Änderung modifiziert b gemacht von bob.
Natürlich ist diese Lokalitätsverletzung in Ihrer ursprünglichen Definition von enthalten EIN = EIN ( a , b ) , also scheint eine Ableitung des Satzes von Bell nicht möglich zu sein, da dies diese Nicht-Lokalität ausschließen würde
Korrigieren Sie mich, wenn ich es falsch verstanden habe, aber das sagen Sie im Wesentlichen EIN ( a , b , λ ) ist allgemeiner als und einschließlich EIN ( c 1 a + c 2 b , λ ) , also verhindert die von Ihnen vorgeschlagene Nichtlokalität nach der Begründung meiner Antwort auch die Konstruktion der Bellschen Ungleichung?
Ich denke, der beste Weg, es auszudrücken, ist, dass, wenn es Ihnen gelungen wäre, den Satz von Bell mit Ihrem Ansatz zu konstruieren, dies zeigen würde, dass es eine Klasse von nicht-lokalen Korrelationstheorien gibt, die nicht mit den nicht-lokalen Korrelationen von QM übereinstimmen. ein wichtiges Ergebnis.
Da dies natürlich nur die Nicht-Quantenlokalitäten ausschließen würde, gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass die Bellsche Ungleichung in diesem Fall nicht abgeleitet werden kann. Tatsächlich könnten die c1 c2-Koeffizienten durch Definieren unterschiedlicher drei linearer Kombinationen von a, b, c, x, y, z lokal angepasst werden, so dass x, y, z parallel oder antiparallel sind. Die Herleitung von Connor Dolan könnte dann verwendet werden, um die Bellsche Ungleichung für diesen Spezialfall abzuleiten.
Wie genau scheitert der Beweis des Satzes von Bell, wenn man die Lokalitätsannahme entfernt?
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