Aufspüren der Lokalitätsannahme in einer CHSH-Ungleichheitsableitung

Die CHSH-Ungleichheit erfordert sowohl Lokalität als auch Realismus . Ich werde hier Realismus mit kontrafaktischer Bestimmtheit gleichsetzen .

Nun sagt uns die kontrafaktische Bestimmtheit, dass zwei verschiedene Messungen an demselben Objekt gegeben sind, die durch Zufallsvariablen beschrieben werden C 1 Und C 2 , gibt es eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für C 1 Und C 2 (Dies ist nicht immer der Fall, suchen Sie nach dem Randproblem und tatsächlich wissen wir, dass die Ergebnisse von Messungen von nicht pendelnden Observablen keine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen). Wenn wir nun die Existenz einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung annehmen können, dann Erwartungswerte E ( C 1 ) + E ( C 2 ) zusammengefügt werden können, um zu haben E ( C 1 + C 2 ) .

Angenommen, wir haben jetzt vier Zufallsvariablen A 1 Und B 1 lokal zu Alice und A 2 Und B 2 für Bob, die Werte annehmen kann ± 1 . Der Ausdruck in der CHSH-Ungleichung ist

| E ( A 1 A 2 ) + E ( A 1 B 2 ) + E ( B 1 A 2 ) − E ( B 1 B 2 ) |
Wenn wir nun Realismus (kontrafaktische Bestimmtheit) annehmen können, gibt es eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Ergebnisse aller vier Zufallsvariablen, und wir können die Erwartungswerte oben zusammenfügen, um zu erhalten
| E ( A 1 ( A 2 + B 2 ) + B 1 ( A 2 − B 2 ) ) |
Also machen wir jetzt den Standardtrick wo entweder A 2 Und B 2 gleich oder entgegengesetzt sind, so dass der erste Term entweder ist ± 2 und dasselbe für die zweite Amtszeit.

Nun zu meiner Frage. Ich habe oben offensichtlich die Realismusannahme verwendet. Ich gehe davon aus, dass Lokalität bedeutet, dass die Randverteilungen für A 1 Und B 1 sind unabhängig von der Wahl der Zufallsvariablen, die Bob trifft, A 2 oder B 2 (aber ich lasse ansonsten die Korrelation von Ergebnissen zu, solange sie unabhängig von der Wahl der Messung ist, da es versteckte Variablen geben kann, die an der Quelle des Zustands codiert wurden, der Korrelationen erzeugt). Wo habe ich die Lokalitätsannahme in dieser Ableitung verwendet? Ich möchte, wenn Sie entweder genau darauf hinweisen, wo diese Annahme in dieser Berechnung erforderlich ist, oder argumentieren, dass sie nicht erforderlich ist, mit einer überzeugenden Begründung.

Bearbeiten: Angesichts der folgenden Antwort scheint es wahrscheinlich, dass die Ortsannahme an dem Punkt verwendet wurde, an dem wir nehmen E ( C 1 ) + E ( C 2 ) = E ( C 1 + C 2 ) . Es ist jedoch immer noch nicht verstanden, warum der Realismus nicht ausreicht, um ohne die Annahme der Lokalität zu dieser Schlussfolgerung zu gelangen. Wie oben erwähnt, stellt sich die Frage, warum die obige Argumentation nicht korrekt ist und eine Ortsannahme erforderlich ist, oder alternativ bin ich auch offen für die Idee, dass dies möglicherweise nicht erforderlich ist.

Bearbeiten 2: Ich habe bei MathOverflow eine zufriedenstellende Antwort auf diese Frage von @Steven Landsburg erhalten.

Die Existenz einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle vier Variablen reicht definitiv aus, um die Ungleichheit zu erhalten. Die Existenz gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilungen für (A1,B1) und (A2,B2) (dh "Realismus") reicht definitiv nicht aus, um eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle vier zu implizieren. Lokalität ist eine ausreichende zusätzliche Annahme.

Er zeigt dort auch, dass kontrafaktische Bestimmtheit für lokale Ergebnisse keine ausreichende Bedingung ist, um die CHSH-Ungleichung zu erhalten.

Antworten (2)

Ich gebe eine vollständige Ableitung und berühre diesen Punkt in dieser anderen Antwort , aber um hier eine kurze Zusammenfassung zu geben, ist die Hauptidee, dass die Ortsannahme es uns ermöglicht, zu schreiben

E λ ( A X B j ) = E λ ( A X ) E λ ( B j ) ,
Wo E λ ( A X ) bezeichnet den Erwartungswert der Ausgabe A (z. B. Alices Ausgabe) für die Messeinstellung X , für einen bestimmten Wert der verborgenen Variablen λ , Und E λ ( A X B j ) ist der Erwartungswert des Produkts der von Alice und Bob beobachteten Ausgaben für Messeinstellungen X Und j , bzw.

Sobald Sie dies schreiben können (was nur eine Umschreibung der Lokalitätsannahme in Bezug auf Erwartungswerte ist), folgt daraus

S λ = E λ ( A 0 ) [ E λ ( B 0 ) + E λ ( B 1 ) ] + E λ ( A 1 ) [ E λ ( B 0 ) − E λ ( B 1 ) ] ,
und so bekommst du | S λ | ≤ 2 Und | S | ≤ 2 .

Ich habe nicht lange darüber nachgedacht, aber es ist sicherlich die Annahme E ( C 1 ) + E ( C 2 ) = E ( C 1 + C 2 ) ist der Schuldige, und CHSH ist genauso wie Von-Neumanns Argument gegen versteckte Variablen. Der Fehler wird von Bell in Bezug auf Bohms Theorie in dem Buch Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics analysiert .

Der Grund E ( C 1 + C 2 ) = E ( C 1 ) + E ( C 2 ) ist lokal, weil Sie davon ausgehen, dass die Messungen von 1 und 2 unabhängig sind, um zu dem Schluss zu kommen, dass sich die erwarteten Werte wie folgt addieren. Ansonsten die Messung von C 1 beeinflussen könnte C 2 . Bohms Theorie reicht aus, um zu sehen, dass es kein ortsunabhängiges Argument gibt.

Ich mag die CHSH-Ungleichung nicht, weil sie eine Wiederholung von Von-Neumann ist, nicht originell ist und auf die gleiche Weise fehlschlägt, die von Bell ausführlich unter Verwendung von Bohm erklärt wurde.

Aber falls C 1 Und C 2 sind kontrafaktisch eindeutige Zufallsvariablen mit einer gewissen gemeinsamen Verteilung P ( C 1 , C 2 ) Dann E ( C 1 + C 2 ) = E ( C 1 ) + E ( C 2 ) ist eine grundlegende mathematische Tatsache, die sich aus der Linearität des Erwartungsoperators ergibt. Sie können dies hier anwenden, da es eine einzige Verteilung gibt, die beide Observablen regelt.
Außerdem müssen lokale Messungen nicht unabhängig sein – dies ist eine sehr starke Annahme, stärker als lokaler Realismus. Bells integraler Ausdruck für ∫ D λ P ( X 1 | λ ) P ( X 2 | λ ) ρ ( λ ) ermöglicht beispielsweise klassische Korrelationen zwischen Messergebnissen. Staaten wie ρ = ∑ k P k | k >< k | ⊗ | k >< k | verletzen beispielsweise nicht die CHSH-Ungleichung, besitzen aber eine Nicht-Unabhängigkeit zwischen einigen Messergebnissen von Alice und Bob.
@SMeznaric: Dem ist nicht so --- Sie müssen in Betracht ziehen, "C1" zu messen, "C2" zu messen und "C1 + C2" zu messen, dies sind drei verschiedene Messungen. Dies wird ausführlich von Bell diskutiert. Als ich "unabhängig" sagte, meinte ich nicht "unkorreliert", sondern nur "kausal unabhängig".
Vielleicht verstehe ich deinen Punkt nicht ganz. Wenn Sie hier über den erwarteten Wert von Zufallsvariablen lesen , können Sie sehen, dass er bei Zufallsvariablen linear ist, wenn die Variablen Funktionen aus demselben Ereignisraum sind (eigentlich behandelt die Seite nicht einmal den Fall, dass es keine entsprechende gemeinsame Verteilung gibt gegebenen Randbedingungen, nehmen sie diese Existenz einfach als selbstverständlich hin, obwohl sie nicht garantiert ist).
@SMeznaric: Die Annahme ist nicht gerechtfertigt, da das Messen der Summe von Quantenoperatoren nicht die Summe der klassischen Observablen misst, die verborgene Variablen darstellen. Die Korrespondenz berücksichtigt nicht das Hinzufügen von Operatoren. Dies wird von Bell ausführlich in Speakable and Unspeakable diskutiert, es ist die gleiche Annahme, die in Von-Neumann fehlschlägt.
Ja, da sind wir uns einig. Wir stimmen nämlich darin überein, dass die Erwartung der Summe nicht die Summe der Erwartung im Quantenfall ist. Aber mein obiges Argument, zu zeigen, dass die Summe der Erwartung die Erwartung der Summen in den verwendeten lokalen realistischen Modellen ist, ist meines Erachtens nur Realismus. Was ich wissen möchte, ist, wo ich die Lokalität verwendet habe.
Nur zur Verdeutlichung, ich denke, wenn ich es verwenden würde, müsste es wahrscheinlich an der Stelle sein, an der Sie sagen. Aber Sie müssen mich davon überzeugen, dass ich es dort tatsächlich benutzt habe. Das ist, was ich nicht sehen kann – wie ich es benutzt habe.
Aufspüren der Lokalitätsannahme in einer CHSH-Ungleichheitsableitung
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