Ist die Abhandlung von Bell über das EPR-Paradoxon kohärent?

Ich habe versucht, die Abhandlung von Bell über das EPR-Paradoxon zu lesen, bin aber schnell auf Schwierigkeiten gestoßen:

(1) A ( A → , λ ) = ± 1 ,   B ( B → , λ ) = ± 1

Also identifizieren wir uns A mit Teilchen 1 und B mit Teilchen 2, A → Und B → sind Detektoren, λ eine Variable, und die Funktionen können die Werte annehmen ± 1 , in Ordnung.

Und hier kommt es:

(2) P ( A → , B → ) = ∫ D λ ρ ( λ ) A ( A → , λ ) B ( B → , λ )

Warte, nach Gleichung (1) macht der Ausdruck unter dem Integral plötzliche Sprünge ! Integrieren wir wirklich eine unstetige Funktion* ? Man könnte argumentieren, dass ein Integral eine verkappte unendliche Summe ist, aber es würde mich nicht zufrieden stellen, weil λ Da es sich um eine natürliche Variable handelt, hat sie eine unendliche Genauigkeit und muss daher real und nicht diskret sein.

Vielleicht das Produkt A ( A → , λ ) B ( B → , λ ) ist konstant oder außerhalb des Integrals, aber was wäre der Sinn der Gleichung? Außer Integration einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ ( λ ) gleich 1. In der Tat, warum brauchen wir ρ ( λ ) seit λ wird bereits innerhalb der Funktionen verarbeitet A Und B ?

Wir wussten nicht, dass das Integral unmöglich ist, also machen wir es und fahren mit der Demonstration fort. Durch die Gleichungen (1) und (2) haben wir angenommen, dass die Maße von A und B unabhängig sind und gehorchen λ oder gleichwertig P ( A → , B → ) keine Funktion von A B ( A → , B → , λ ) . Die nächste Annahme wird mit gemacht:

(14) P ( A → , B → ) = − ∫ D λ ρ ( λ ) A ( A → , λ ) A ( B → , λ )

Diese Gleichung besagt nun, dass für alle A → , B → Und λ : A = − B . Betrachten Sie ein erstes Experiment P ( A → , B → ) , nach Gleichung (14) das durchschnittliche Maß auf dem Detektor A → Ist X Und − X An B → . Dann für ein zweites Experiment P ( A → , C → ) wir können ein anderes Ergebnis auf dem Detektor erwarten C → , sagen wir Y , vorausgesetzt C → anders als B → . Aber wie auf Detektor A → das Ergebnis kann gleich sein − Y nach (14) und gleichzeitig als X nach (1)+(2) bleiben ?

Gilt die Schlussfolgerung** noch?

*Der Begriff diskontinuierliche Funktion ist möglicherweise ungenau oder falsch

**In einer Theorie, in der Parameter zur Quantenmechanik hinzugefügt werden, um die Ergebnisse einzelner Messungen zu bestimmen, ohne die statistischen Vorhersagen zu ändern, muss es einen Mechanismus geben, durch den die Einstellung eines Messgeräts die Anzeige eines anderen Instruments beeinflussen kann, wie weit entfernt. Außerdem muss sich das beteiligte Signal sofort ausbreiten, so dass eine solche Theorie nicht Lorentz-invariant sein könnte.

Was ist falsch daran, eine unstetige Funktion zu integrieren?
Müssen wir nicht die Lambda-Grenzen angeben, um sie Stück für Stück zu integrieren? Und eine Seite wäre nicht definiert?
Ich bin mir nicht sicher, was Sie damit meinen, dass eine Seite nicht definiert ist. Alle Informationen über die "Lambda-Grenzen" sind in den Funktionen A und B enthalten, mehr wird nicht benötigt.
Zu Ihrer Frage, warum wir brauchen P ( λ ) , A Und B sagen Sie uns, was für einen gegebenen Wert von passiert λ . Wir brauchen P ( λ ) um uns mitzuteilen, wie wahrscheinlich es ist, auf etwas Bestimmtes zu stoßen λ .
"Eine Seite nicht definiert" meine ich: Es wird Integrale mit Grenzen wie X + d geben λ . Und das Ergebnis ist immer noch eine Funktion von λ .
Ich bestätige Ihre Antwort zu rho. Also ist P(a,b) eine Funktion von ρ, was überflüssig oder verdächtig klingt. Warum wäre ρ keine Funktion von a und b ? Die "lebenswichtige Annahme" spricht nicht für diesen Fall.
Die Integration diskontinuierlicher Funktionen ist mathematisch wohldefiniert (und tatsächlich eine sehr häufige Operation sowohl in der Mathematik als auch in der Physik).
Ich glaube nicht, dass es eine unstetige Funktion ist, sondern eine Zufallsvariable, liege ich falsch?
Vielleicht war "diskontinuierliche Funktion" falsch/ungenau und man muss zwischen den Zeilen lesen, ich entschuldige mich dafür.
Es ist nichts falsch daran, eine unstetige Funktion zu integrieren. Sie möchten eine solche Funktion nicht differenzieren, aber die Integration ist in Ordnung.

Antworten (4)

Es scheint mir, dass Sie sich unwohl fühlen, wenn Sie das Integral einer unstetigen Funktion nehmen. Ich denke, das ist nur ein Reflex, den man instinktiv aus der Differenzierung importieren könnte. Tatsächlich haben Sie in der Grundschule bei der Berechnung der Fläche eines Rechtecks ​​eine unstetige Funktion integriert. Die Funktion

F ( X ) = { A X ∈ [ 0 , B ] 0 ansonsten

ist nur ein Rechteck und ist diskontinuierlich 0 Und B , die Fläche unter der Kurve ist die Fläche des Rechtecks, das ist A B , und die Funktion ist eindeutig integrierbar und

∫ D X F ( X ) = ∫ 0 B D X A = A B .

Das ist jetzt ein dummes Beispiel, aber es soll nur verdeutlichen, dass Stetigkeit und Integrierbarkeit nicht viel miteinander zu tun haben, und tatsächlich sind stückweise konstante Funktionen auf kompakten Intervallen eindeutig integrierbar, der Wert des Integrals ist gerecht die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke. Durch Erweiterung sind stückweise stetige Funktionen integrierbar und die Fläche ist die Summe der Integrale in jedem Intervall, in dem die Funktion stetig ist. Das einzige verbleibende Problem ist, dass wir hier nicht auf einem kompakten Intervall, sondern auf der gesamten reellen Linie integrieren, also sollten wir überprüfen, ob das Integral konvergiert, aber A ( λ ) , B ( λ ) ≤ 1 für alle λ , somit

∫ D λ P ( λ ) A ( λ ) B ( λ ) ≤ ∫ D λ P ( λ ) = 1
.

Nichts davon ist in Bezug auf die Analysis besonders streng, aber ich denke, die Beweise stehen in jedem Analysis-Buch.

Vielleicht war "diskontinuierliche Funktion" ungenau. Können Sie in Ihrem ersten Beispiel mit x ∈ [0,b[ ? Weil die Funktion A zum nächsten Wert von springt λ , das ist für b+ D λ . Man könnte versucht sein, eine Linie zwischen den Punkten A(b) und A(b+) zu ziehen D λ ) und nehmen Sie die Fläche, aber wenn es eine Linie gibt, gibt es Punkte, was der Tatsache widerspricht D λ ist der kleinste Wert.
Das Ändern des Werts einer Funktion in endlich vielen Punkten ändert den Wert des Integrals nicht, daher spielt es keine Rolle, ob Sie ein offenes oder geschlossenes Intervall für die Integration nehmen (Sie könnten das offene Intervallintegral nehmen und den Wert von ersetzen die Funktion an den Endpunkten mit 0 , oder einen beliebigen Wert, und erhalten das gleiche Ergebnis). Siehe hier für eine strengere Argumentation. Ich verstehe nicht ganz was du meinst mit " D λ ist der kleinste Wert"
Es gibt a priori unendlich viele zu integrierende Intervalle mit der Form: [inf, a] ]a, b] ]b, c] ... und ihre Länge ist zufällig.
Tut mir leid, ich glaube ich verstehe das Problem nicht. Λ ist eine Zufallsvariable, die Werte auf der realen Linie annimmt. λ hier überstreicht das alle möglichen Werte Λ kann dauern, um einen Durchschnitt zu berechnen, λ ist nicht zufällig, sondern nur eine Integrationsvariable

Das Integral wird auf ein beliebiges festes mögliches Wahrscheinlichkeitsmaß bezogen, so dass es beispielsweise auch den Fall einer Summe auf einer diskreten Menge von Zahlen umfasst und Stetigkeit und andere Regularitätsfragen hier irrelevant sind. Es wäre besser zu ersetzen D λ mit D μ ( λ ) . Das Ergebnis verwendet jedoch nur die Anforderungen, dass das Maß nichtnegativ ist und das Gesamtmaß es ist 1 es spielt keine Rolle, wie die Summe/Integration angegeben wird.

Das Vorhandensein dieses Wahrscheinlichkeitsmaßes versucht, auf klassische Weise (innerhalb dieses Ansatzes der verborgenen Variablen) den Grund zu beschreiben, warum die Werte von Observablen "schwanken": Es liegt an der Schwankung des Wertes der verborgenen Variablen λ . Die Idee ist, dass Schwankungen von Werten von Observablen in QM eine ähnliche Natur wie somo der klassischen Variablen der klassischen statistischen Mechanik haben sollten . Der grundlegende Unterschied zur Standardannahme der QM besteht darin, dass hier das Wahrscheinlichkeitsmaß epistemischen statt ontischen Charakter hat.

Um fair zu sein, Sie haben Recht mit den Annahmen A ( A , λ ) = ± 1 Und B ( B , λ ) = ± 1 kann Probleme verursachen, wenn Sie nicht aufpassen. Bei der Durchführung des Integrals gibt es einen Zwischenschritt wie den folgenden:

P ( A , B ) − P ( A , C ) = − ∫ P ( λ ) [ A ( A , λ ) A ( B , λ ) − A ( A , λ ) A ( C , λ ) ] D λ

Beachten Sie, dass der Faktor im Integranden rechts immer entweder ist 0 , oder ± 2 ? Tatsächlich sind die einzigen Stellen, an denen es nicht Null ist, wann A ( B , λ ) = − A ( C , λ ) . Überall sonst muss es 0 sein, da diese Funktionen nur Werte von annehmen ± 1 .

Betrachten Sie nun die Menge von λ wobei dieser Faktor nicht Null ist. Entweder hat diese Menge das Maß Null und das Integral ist nur Null, oder diese Menge hat eine Fläche ungleich Null. Aber wenn zwei komplexe Funktionen auf einer messbaren Teilmenge der komplexen Ebene jemals gleich sind, dann sagt die Eindeutigkeit komplexer Erweiterungen, dass Gleichheit überall gelten muss. Hier heißt es, wenn A ( B , λ ) = − A ( C , λ ) manchmal dann A ( B , λ ) = − A ( C , λ ) überall. Dies würde natürlich gegen die Annahme verstoßen C ist ein anderer Einheitsvektor als A Und B , was notwendig ist, um den Beweis zu vervollständigen.

Das Problem entsteht, wenn man das denkt A ( A , λ ) ist eine stetige Funktion. Das ist es konstruktionsbedingt eindeutig nicht, und das bedeutet, dass es nicht als realer Teil einer komplexen analytischen Funktion dargestellt werden kann. Das unterscheidet es von jeder anderen "Wahrscheinlichkeitsfunktion", die normalerweise in der Quantenmechanik verwendet wird, und ich vermute, dass Ihre Intuition einen Alarm auslöst. Nur weil kein kontinuierliches physikalisches System Ihnen jemals eine Funktion geben könnte, die nur zurückkehrt ± 1 , bedeutet nicht, dass Sie nicht theoretisch ein System in Betracht ziehen müssen, das dies könnte.

Wenn Sie eine andere Stelle in diesem Satz suchen, an der Ihr mathematischer Spinnensinn kribbeln sollte, schauen Sie sich an, was er als das "klassische" Verhalten für zwei Teilchen bezeichnet. Der Durchschnitt des Produkts zweier Zufallsvariablen ist niemals gleich einem Durchschnitt über das Produkt ihrer Wahrscheinlichkeitsfunktionen, aber irgendwie beginnt das Theorem damit. Sie sind nicht der einzige, der denkt, dass Bell mathematisch inkohärent ist.

Nehmen wir an, dass das Integral (2) durch eine endliche oder unendliche Summe von Integralen geteilt werden kann, und zwar in jedem Intervall A ( A → , λ ) B ( B → , λ ) ist konstant ( + 1 oder − 1 ).

[a, b] + ]b, c] + ]c, d]...

oder äquivalent: [a, b] + [b+ D λ , c] + [c+ D λ , D]...

aber nicht : [a, b] + [b, c] + [c, d] ...

weil es unendlich viele Möglichkeiten gibt, eine Messung zu erhalten.

Zur Veranschaulichung ohne ρ und Weglassen von B:

∫ A A ( λ ) D λ = ∫ A B A ( λ ) D λ + ∫ B + D λ C A ( λ ) D λ + ∫ C + D λ D A ( λ ) D λ . . . = ( B − A ) ∗ ( + 1 ) + ( C − B − D λ ) ∗ ( − 1 ) + ( D − C − D λ ) ∗ ( + 1 ) . . .

a, b, c, d sind reelle Werte und die D λ wird aufgehoben, also hat das Integral einen reellen Wert.

Jetzt mit ρ wir werden haben :

∫ A A ( λ ) D λ = ∫ A B ρ ( λ ) D λ − ∫ B + D λ C ρ ( λ ) D λ + ∫ C + D λ D ρ ( λ ) D λ . . .

Ich sehe nicht, wie ich die loswerden soll D λ 's an den Grenzen, also denke ich, wir können sie einfach ignorieren.

Ist die Abhandlung von Bell über das EPR-Paradoxon kohärent?
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