Wie funktioniert die Standardableitung der Bernoulli-Gleichung?

Was passiert ist, dass die Standardableitung der Bernoulli-Gleichung oft einige Handbewegungen beinhaltet, wobei Begründungen für die (manchmal impliziten) Annahmen weggelassen werden. Es kann also tatsächlich nicht überzeugend sein.

In diesem Sinne empfehle ich dringend, andere Ableitungen zu überprüfen, wie die in diesem hochinformativen Thread in PhysicsForuns, deren Ausgangspunkt entweder Eulers (siehe auch diese Frage ) oder Navier-Stokes-Gleichungen sind.

Aber jetzt zu deinen Fragen:

Der Arbeitsenergiesatz soll auf Teilchen angewendet werden, nicht auf Teilchensysteme

Sie können es beispielsweise auch auf einen starren Körper anwenden. Das Fluid ist natürlich kein starrer Körper, aber wir betrachten es als auf ein Stromrohr beschränkt , und jede relevante Änderung der Form des Fluidelements wird durch eine Änderung der Geschwindigkeit widergespiegelt und durch den kinetischen Term in der Bernoulli-Gleichung berücksichtigt.

Auch deshalb können Sie sich bewerben$W=F\Delta x$an den Enden des Stromrohrs: Was mikroskopisch passiert, ist kompliziert, aber Sie haben immer noch eine Kraft, die über eine gewisse Distanz auf eine inkompressible Masse wirkt.

sollte nicht auch die potentielle Energie bezogen auf die Anordnung verschiedener Teilchen in der Flüssigkeit einbezogen werden?

Wenn es relevant ist, kann es getan werden. Ein Beispiel ist, wenn Partikel enger zusammengedrückt werden können – wenn wir die Kompressibilität berücksichtigen müssen. Bernoullis Gl. kann dann auf kompressible Strömungen verallgemeinert werden, indem sein Druckterm durch ein geeignetes Druckpotential ersetzt wird .

Was uns zur letzten Frage von OP bringt:

Warum verwenden wir nur die Änderung der kinetischen Energie und der potenziellen Energie der Gravitation?

Weil es einfach ist und in vielen Fällen ausreicht. Aber wenn es nicht genug ist, kann man alle möglichen Dinge unter dem Begriff Druck zusammenfassen , denn „Druck ist die Fähigkeit eines geschlossenen Systems, Arbeit zu verrichten, wenn es sein Volumen ändert“. Was den Gravitationspotentialterm betrifft,$gz$, kann es durch jedes andere relevante Bulk-Potential ersetzt werden$\Psi$.

Ich bin mir nicht sicher, was Sie hier mit "Partikel" meinen. Wenn Sie damit "Flüssigkeitsmolekül" meinen, dann erinnern Sie sich, dass die Bernoulli-Gleichung auf dem Kontinuumsmodell der Flüssigkeit basiert (für eine Ableitung siehe zB Fluiddynamik von Kundu & Cohen) und nicht auf dem molekularen Bild. Daher ist jede Frage, die in Bezug auf Flüssigkeitspartikel gestellt wird, für die Bernoulli-Gleichung irrelevant. Die relevante Frage lautet dann: "Warum funktioniert die für das Kontinuumsmodell abgeleitete Bernoulli-Gleichung für ein echtes Fluid aus Partikeln?" und die Antwort darauf ist einfach die Rechtfertigung für die Anwendbarkeit des Kontinuumsmodells auf Systeme, die aus (einer großen Anzahl von) eng beieinander liegenden Teilchen bestehen, in diesem Fall Flüssigkeiten.

Aber ich nehme an, Sie meinten "Teilchen" in dem Sinne, in dem es in der Kontinuumsmechanik verwendet wird. Die "Anordnung unterschiedlicher Teilchen in der Flüssigkeit" wird zwar berücksichtigt. Unterschiedliche Fluidpartikel besitzen aufgrund ihrer vertikalen Trennung unterschiedliche potenzielle Gravitationsenergie, und dieser Term erscheint in der Bernoulli-Gleichung. Wenn Sie an die Energie der Wechselwirkung zwischen Molekülen denken (ich sagte bereits, dies wäre im Zusammenhang mit einem Kontinuum eine irrelevante Frage, aber dann ...), handelt es sich um Kräfte mit kurzer Reichweite, die als Spannungen in der Kontinuumflüssigkeit modelliert werden. Die Bernoulli-Gleichung berücksichtigt das Vorhandensein von Normalspannungen (Druck), ist jedoch auf Strömungen beschränkt, in denen keine Scherspannung vorhanden ist.

Kommen wir nun zu Ihrer zweiten Frage, die fragt, warum die Arbeitszeit gleich sein sollte$p_1A_1v_1~dt-p_2A_2v_2~dt$. Diese Gleichung wird für ein Stromrohr endlicher Länge geschrieben, für das angenommen werden kann, dass Druck und Geschwindigkeit über seinen Einlass- und Auslassquerschnitt gleichförmig sind. Bei dieser Ableitung wird das Stromrohr als Blackbox behandelt, die Druck auf die umgebende Flüssigkeit ausübt. Nun erfordert das Hinein- und Hinausdrücken von Flüssigkeit durch den Ein- und Ausgang des Strömungsrohrs gegen den dort vorherrschenden Druck Arbeit, und diese Arbeitsgeschwindigkeit wird durch die ausgedrückt$p_1A_1v_1~dt-p_2A_2v_2~dt$Begriff. Der Schwerpunkt des Stromrohrs ändert sich aufgrund unserer Annahme einer inkompressiblen Strömung nie (es kann keinen Nettomassenzufluss/-abfluss aus einem Stromrohr mit fester Geometrie geben).

Die Bernouilli-Gleichung ist nur eine Annäherung. Es ignoriert viele lokale Merkmale realer Fluidströmungen, selbst im inkompressiblen und nicht viskosen Fall.

Wenn Sie an die einfachste Situation denken, dh alle "Partikel" der Flüssigkeit haben identische Masse und Volumen, ihr Volumen ändert sich nicht (weil die Flüssigkeit inkompressibel ist) und die Strömung ist konstant, sollten Sie in der Lage sein, das zu sehen

1. Die gesamte potentielle Energie summiert über alle Teilchen, die in das Kontrollvolumen eintreten oder es verlassen, sind wie in der Ableitung angegeben, wenn auch in jedem kleinen Zeitintervall$dt$die einzelnen Partikel am Ein- und Auslass sind unterschiedlich.

2. In ähnlicher Weise können Sie die Netzarbeit berechnen, die an einem bestimmten Partikel ausgeführt wird, wenn es durch das Kontrollvolumen fließt, und dann über das gesamte Volumen summieren. Da die geleistete Arbeit für einen stetigen Fluss über die Zeit konstant ist, spielt dies in einem Intervall wiederum keine Rolle$dt$die einzelnen beteiligten Teilchen befinden sich alle an unterschiedlichen Positionen in der Strömung – die Summe über alle Teilchen im Volumen ist gleich.

Wenn das Fluid homogen ist, gelten die gleichen Argumente für ein Gemisch unterschiedlicher Partikelmassen und -größen (z. B. das Gemisch von Gasen in Luft), da sich die Verteilung der Partikel im statistischen Sinne über die Zeit nicht ändert.

Im allgemeineren Fall - zum Beispiel Strömung durch ein spiralförmiges Rohr, das ähnlich wie eine Zentrifuge wirkt - sind diese Annahmen möglicherweise nicht wahr, und genau genommen trifft die Bernoulli-Gleichung nicht zu, obwohl sie in praktischen Situationen immer noch eine nützliche Annäherung sein kann.