Wie groß ist die Fläche des Sommerdreiecks?

Die Fläche eines von 3 Sternen umschlossenen Dreiecks auf der Himmelskugel in Quadratgrad ist gegeben durch:

$$A = \frac{180}{\pi}\times E$$

Wobei E der sphärische Exzess ist und gleich der Summe aller Winkel des Dreiecks minus 180° ist. Das Problem ist, dass wir die Winkel des Sommerdreiecks nicht kennen und stattdessen eine alternative Gleichung für den sphärischen Überschuss verwenden müssen, gegeben durch:

$$E = 4\tan^{-1}\left({\sqrt{\tan\left(\frac{s}{2}\right)\times\tan\left(\frac{s-a}{2}\right)\times\tan\left(\frac{s-b}{2}\right)\times\tan\left(\frac{s-c}{2}\right)}} \right)$$

Wobei a, b und c die Winkelabstände zwischen 2 Sternen und damit die Seiten des Sommerdreiecks in Grad sind, und$s = \frac{a+b+c}{2}$.

Ich empfehle Ihnen dringend, einfach zu Wolfram Alpha zu gehen und einfach "Winkelabstand zwischen Stern 1 und Stern 2" einzugeben und alle Werte für a, b und c zu erhalten, und dann könnten Sie den sphärischen Überschuss und anschließend die Fläche berechnen.

Aber wenn Sie darauf bestehen, sich selbst Kopfschmerzen zu bereiten und die Werte selbst zu finden, lesen Sie den nächsten Abschnitt. Ansonsten nach unten springen.

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Der Winkelabstand zwischen 2 Sternen auf der Himmelskugel ist gegeben durch:

$$\cos^{-1} \left ( \sin(\text{D} _{1})\sin(\text{D} _{2})+\cos(\text{D} _{1})\cos(\text{D} _{2}) \cos(\text{R} _{1}-\text{R} _{2})\right )$$

Wo:

• $\text{D}_{1}$Und$\text{D}_{2}$sind die Deklinationswerte beider Sterne in Grad.

• $\text{R}_{1}$Und$\text{R}_{2}$sind die rechten Aufstiegswerte für beide Sterne, ebenfalls in Grad.

Um die Deklination eines Sterns von DMS in Grad umzurechnen, dividieren Sie die Bogenminuten durch 60 und die Bogensekunden durch 3600. Zum Beispiel beträgt die Deklination von Vega 38° 47' 1,28". Nur in Grad umgerechnet ergibt das:

$$38 + \frac{47}{60} + \frac{1.28}{3600} = 38.7836°$$

Die exakt gleiche Formel wird verwendet, um RA in Grad umzuwandeln, der einzige Unterschied besteht darin, dass Sie es am Ende mit 15 multiplizieren. Vegas Rektaszension ist 18h 36m 56.33s. Nur in Grad umgerechnet ergibt das:

$$\left(18 + \frac{36}{60} + \frac{56.33}{3600}\right) \times 15 = 279.2347°$$

Sie könnten sich diesen ganzen Schlamassel einfach ersparen, indem Sie die Winkelabstände direkt von Wolfram Alpha bekommen oder Sie könnten sie selbst berechnen. Ich empfehle ersteres.

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Sobald Sie alle Zahlen eingesetzt haben, erhalten Sie den kugelförmigen Überschuss$E = 7.296508$und das Gebiet des Sommerdreiecks:

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{A = 418.059 \text{deg}^2}$$

Es würde 1,0134 % der Himmelskugel bedecken und das 40. größte Sternbild am Himmel sein, größer als der Steinbock, aber kleiner als der Widder.

Wikipedia hat Formeln für die Fläche eines Himmelsdreiecks in Steradianten (die sie den "Überschuss" nennen und schreiben$E$) in Bezug auf die Winkel, die Seitenlängen und Seite-Winkel-Seite. Die Winkelformel ist die einfachste, aber die Berechnung der Winkel ist knifflig. Es kann einfacher sein, die Seitenlängen zu berechnen und die Seite-Seite-Seite-Formel zu verwenden.

Rektaszension und Deklination können Sie wie hier gezeigt in einen Einheitsvektor umwandeln . Der Abstand zwischen Punkten, die durch Einheitsvektoren dargestellt werden$v$Und$w$Ist$cos^{-1}\, v\cdot w$. Wenn Sie die drei Entfernungen in die Formel einsetzen, die Wikipedia L'Huilier zuschreibt, erhalten Sie die Fläche.

Für ein Polygon mit mehr als 3 Eckpunkten müssen Sie die Winkelformel verwenden, da sie die einzige ist, die verallgemeinert. Der Winkel dazwischen$u$Und$w$bei$v$Ist$cos^{-1}\, \frac{v\times u}{||v\times u||}\cdot\frac{v\times w}{||v\times w||}$, aber es gibt vielleicht einen einfacheren Weg, es zu berechnen.