Messung der Fehlausrichtung zwischen zwei Positionen am Himmel

Angenommen, Sie meinen den Winkel zwischen der Meridianlinie durch A und dem Großkreis, der durch die Punkte A und B verläuft, dann geht es ungefähr so.

Definiere Vektoren vom Ursprung zu A und B unter der Annahme, dass sie auf einer Einheitskugel liegen, so dass$x_A= \cos \delta_A \cos \phi_A$,$y_A = \cos \delta_A \sin \phi_A$und$z_A= \sin \delta_A$, und ähnlich für B. Hier$\phi$bezieht sich auf die rechte Himmelfahrt und$\delta$ist Deklination.

Die fraglichen Großkreise definieren Ebenen, die durch den Ursprung gehen. Eine Normale zu der durch OAB definierten Ebene ist durch das Vektorprodukt gegeben$\vec{n_1}=\vec{A}\times \vec{B}$. Ebenso ein Großkreis, der durch O, A und NCP verläuft$(0, 0, 1)$hat eine normale von$\vec{n_2}= \vec{A}\times (0,0,1) = (y_A, -x_A, 0)$.

Der Winkel, den Sie suchen, ist der Winkel zwischen diesen beiden Normalenvektoren, der auf die übliche Weise aus dem Skalarprodukt ermittelt werden kann.

$$\cos \theta = \frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{|n_1||n_2|}=\frac{\cos \phi_{A}(y_{A}z_{B} - y_{B}z_A) + \sin \phi_{A}(x_Az_B - x_Bz_A)}{|\vec{A}\times \vec{B}|}$$

Der Positionswinkel P eines Körpers ($\alpha_1, \delta_1$) in Bezug auf eine andere Stelle ($\alpha_2, \delta_2$) berechnet werden

$$tan(P)={sin(\Delta\alpha)\over cos(\delta_2)tan(\delta_1)-sin(\delta_2)cos(\Delta\alpha)}$$ wo $\Delta\alpha = \alpha_1-\alpha_2$. Ist der Nenner negativ, liegt der Positionswinkel im Bereich von 90 bis 270 Grad.

Referenz: Jean Meeus, Astronomical Algorithms, Second Edition,

Zunächst sei darauf hingewiesen, dass der Positionswinkel nicht nur durch „zwei Positionen“ definiert ist. Der Startpunkt unterscheidet sich vom Endpunkt, was zu einer Differenz von führt$180^\circ$, je nachdem was zuerst kommt.

Die vorherigen Antworten waren gut, ich möchte nur eine andere Perspektive / Ableitung anbieten. Eine Möglichkeit, den Positionswinkel zu definieren, besteht darin, dass es sich um den Winkel von Norden gegen den Uhrzeigersinn zur betreffenden Richtung handelt, gemessen auf einer orthografischen Projektion , die Ihren Startpunkt als Ursprung hat (unter der Annahme des Astronomiestandards "Norden oben, Osten links"). .

Die Algebra hinter den Wörtern beginnt mit der Definition des Einheitsvektors/der Koordinaten, die den Startpunkt definieren:

$$\hat{n}_0 = \left[\begin{array}{c} \cos\alpha_0 \cos\delta_0 \\ \sin\alpha_0 \cos\delta_0 \\ \sin\delta_0 \end{array}\right],$$ wobei Ihre Endposition die gleiche Form mit annimmt$0\rightarrow 1$. Die orthografische Projektion auf einen beliebigen Vektor ist einfach der Prozess der Projektion von der Komponente des Vektors in Richtung von$\hat{n}_0$. Die Standardformel dafür lautet $$\vec{v}_\perp = \vec{v} - \hat{n}_0 (\vec{v}\cdot\hat{n}_0).\tag1$$

Prinzipiell könnte man Gleichung (1) numerisch mit anwenden$\vec{v}$als Nordpol, und dann als$\hat{n}_1$, dann ergibt das Skalarprodukt zwischen den normalisierten Ergebnissen den Positionswinkel.

Es ist aber wahrscheinlich ein Fehler, es so zu machen. Sehen Sie, die meisten Positionen in der Astronomie,$\hat{n}_0$und$\hat{n}_1$, wird durch einen kleinen Winkel getrennt, so dass Gleichung (1) stark unter einem Signifikanzverlust leidet . Deshalb ist es eine gute Idee, die Ableitung fortzusetzen, um eine Formel abzuleiten, die dieses Problem nicht hat.

Untersuchung der Struktur von$\hat{n}_0$lohnt sich, weil es die Algebra enorm vereinfacht. Es ist das, was Sie bekommen, wenn Sie mit dem beginnen$x$-Richtungseinheitsvektor,$\hat{x}$, um die drehen$y$-Achse durch$\delta_0$, und drehen Sie sich dann um die$z$-Achse durch$\alpha_0$. So gesehen findet man die beiden Vektoren, die senkrecht zueinander stehen$\hat{n}_0$das wir brauchen, ist ziemlich einfach - wenden Sie einfach die gleichen Rotationsmatrizen an$\hat{y}$und$\hat{z}$. Das heißt, Sie können sie an den Spalten der Rotationsmatrix ablesen

$$\begin{align} R &= \left[\begin{array}{ccc} \cos\alpha_0 & -\sin\alpha_0 & 0 \\ \sin\alpha_0 & \cos\alpha_0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} \cos\delta_0 & 0 & -\sin\delta_0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\alpha_0 & 0 & \cos\alpha_0 \end{array}\right] \\ & = \left[\begin{array}{ccc} \cos\alpha_0 \cos\delta_0 & -\sin\alpha_0 & -\cos\alpha_0 \sin\delta_0 \\ \sin\alpha_0 \cos\delta_0 & \cos\alpha_0 & -\sin\alpha_0 \sin\delta_0 \\ \sin\delta_0 & 0 & \cos\delta_0 \end{array}\right].\tag2 \end{align}$$ Ich habe gewählt, wie die Vorzeichen auf die Sinusfunktionen in den beiden Rotationsmatrizen angewendet werden, damit die erste Spalte übereinstimmt$\hat{n}_0$.

Nennen wir die zweite Spalte von (2)$\hat{E}'$, und die dritte Spalte$\hat{N}'$. Beachten Sie, dass, wenn wir einen Standardsatz von drehen$x$-$y$Achsen um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn, dann die$x$-Achse entspricht Norden und der$y$nach Osten. Somit können wir die Standardformel für die 2-dimensionale Komponente eines Vektors und seinen Polarwinkel verwenden, wenn wir ihn identifizieren$\hat{n}_1\cdot\hat{N}'$als die$x$-Komponente u$\hat{n}_1\cdot\hat{E}'$als die$y$. Diese Formel ist

$$\begin{align} P &= \operatorname{atan2}\left(y,\,x\right)\\ & = \operatorname{atan2}\left(\sin\delta_1\cos\delta_0 - \sin\delta_0\cos\delta_1 \cos(\alpha_1-\alpha_0),\,\cos\delta_0\sin(\alpha_1-\alpha_0)\right). \tag3 \end{align}$$

Weil$\cos\delta > 0$Für alle Deklinationen könnten Sie die Formel eher wie die Standardformel aus Lehrbüchern aussehen lassen. Mein eigener Instinkt ist es, den Konsum zu vermeiden$\tan\delta$weil es in der Nähe der Pole divergiert. Diese Formel wird für alle funktionieren$\alpha$und$\delta$, solange die beiden Punkte verschieden sind. Das einzige, was bleibt, ist, mit dem herumzuspielen$x$-ähnliches Argument, damit es sich numerisch gut verhält, wenn die Punkte nahe beieinander liegen. Verwenden Sie dazu$\sin\delta_1\cos\delta_0 = \sin(\delta_1-\delta_0) + \sin\delta_0\cos\delta_1$und$1 - \cos(\alpha_1-\alpha_0) = 2\sin^2\left(\frac{\alpha_1 - \alpha_0}{2}\right)$bekommen

$$P = \operatorname{atan2}\left(\sin(\delta_1-\delta_0) + 2\sin\delta_0\cos\delta_1 \sin^2\left(\frac{\alpha_1-\alpha_0}{2}\right),\,\cos\delta_0\sin(\alpha_1-\alpha_0)\right). \tag4$$

Grundsätzlich sollten Sie untersuchen, wann es am besten ist, (3) oder (4) numerisch zu verwenden. In der Praxis vermute ich, dass (4) in Bezug auf die numerische Genauigkeit in den allermeisten Fällen, die Astronomen interessieren, besser abschneidet als (3).