Wie interpretiere ich die Ungewissheit in einer Geschwindigkeit, die größer als die Lichtgeschwindigkeit ist?

Die richtige Formel ist

$$\Delta X \Delta P \geq h/4\pi$$ Wo$P$ist der Impuls, der ungefähr ist$mv$nur für kleine Geschwindigkeiten$v$im Vergleich zu$c$. Andernfalls müssen Sie den relativistischen Ausdruck verwenden $$P = mv/ \sqrt{1-v^2/c^2}.$$ Wenn$\Delta X$ist dann klein$\Delta P$groß ist, aber gemäß der obigen Formel bleibt die Geschwindigkeit in der Größenordnung von$c$maximal. Das liegt daran, dass in der obigen Formel$P\to +\infty$entspricht$v\to c$.

Mit einigen Details löst man die obige Identität für$v$, wir haben

$$v = \frac{P}{m \sqrt{1+ P^2/m^2c^2}}\:,$$ so dass $$v\pm \Delta v = \frac{P\pm \Delta P}{m \sqrt{1+ (P\pm \Delta P)^2/m^2c^2}}.$$ Wir haben den genauen Ausdruck von erhalten$\Delta v$: $$\pm \Delta v = \frac{P\pm \Delta P}{m \sqrt{1+ (P\pm \Delta P)^2/m^2c^2}} - \frac{P}{m \sqrt{1+ P^2/m^2c^2}},$$ Wo $$\Delta P = \frac{\hbar}{2\Delta X}\:.$$ Dies ist ein komplizierter Ausdruck, aber es ist leicht zu erkennen, dass die Endgeschwindigkeit nicht überschritten werden kann$c$In jedem Fall. Für einen festen Wert von$P$Und$\Delta X \to 0$, wir haben $$v\pm \Delta v = \lim_{\Delta P \to + \infty}\frac{P\pm \Delta P}{m \sqrt{1+ (P \pm \Delta P)^2/m^2c^2}}= \pm c\:.\tag{1}$$

Schließlich ist es nicht schwer zu sehen (unter Verwendung des Graphen der hyperbolischen Tangensfunktion)

$$-1 \leq \frac{(P\pm \Delta P)/mc}{ \sqrt{1+ (P \pm \Delta P)^2/m^2c^2}}\leq 1\tag{2}\:.$$ Daraus schließen wir $$-c \leq v\pm \Delta v \leq c,$$ wo die Grenzwerte nur für erreicht werden$\Delta X \to 0$nach (1). Die Relativitätstheorie ist sicher ...

Sie haben herausgefunden, dass die „normale“ Quantenmechanik mit der Relativitätstheorie nicht vereinbar ist. Wie Valter Moretti betonte, löst die Verwendung eines relativistischen Ausdrucks für Impuls dieses Problem. Es gibt jedoch noch mehr Probleme, die nicht gelöst werden können, indem man einfach relativistische Ausdrücke für Energie und Impuls verwendet. Zum Beispiel,

• Die relativistische Gleichung$E=mc^2$impliziert, dass es möglich ist, Energie in neue Teilchen umzuwandeln. Die Zeit-Energie-Unschärferelation$\left(\Delta E\cdot\Delta t\geq\hbar/2\right)$impliziert, dass es möglich ist, dass Teilchen aus dem Nichts entstehen, auch wenn aus klassischer Sicht nicht genügend Energie vorhanden ist.
• Selbst wenn die Einzelteilchen-Quantenmechanik modifiziert wird, um einen relativistischen Hamilton-Operator zu verwenden, wie in der Klein-Gordon-Gleichung, gibt es immer eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, dass sich ein Teilchen über ein raumähnliches Intervall teleportieren kann (schneller als die Lichtgeschwindigkeit). .

Diese Probleme werden durch die Einführung der Quantenfeldtheorie gelöst. Anstatt einzelne Partikel zu quantisieren, quantisieren wir grundsätzlich Felder. Die Teilchen sind Anregungen der Felder, und neue Teilchen können aus dem Nichts auftauchen. Quantenfeldtheorien sind so konzipiert, dass sie die Kausalität bewahren, damit sie gut mit der Relativitätstheorie funktionieren. Die Mathematik ist alles sehr kompliziert, aber das ist die Grundidee.

Es gibt zwei Probleme mit diesem Setup. Das erste ist hier:

Nehmen Sie ein Elektron an, das sich sehr langsam bewegt

Wenn Sie bereits wissen, dass sich das Elektron sehr langsam bewegt, haben Sie bereits eine kleine Unsicherheit im Impuls. Wenn Sie beispielsweise wissen, dass sich das Elektron mit weniger als bewegt$1 \text{ m/s}$Dann$\Delta v = 0.29 \text{ m/s}$also haben wir schon$\Delta p = 2.6 \ 10^{-31}\text{ kg m/s}$. Von$\Delta x \ \Delta p \ge \hbar/2$Dann$\Delta x \ge 0.0002\text{ m}$die im Setup erwähnte Entfernungsunsicherheit ist also nicht möglich.

Natürlich hast du vielleicht etwas anderes mit "sehr langsam bewegen" gemeint, aber wenn du die Zahlen dann durcharbeitest$\Delta x = 10^{-13}\text{ m}$ergibt eine Geschwindigkeitsunsicherheit$\Delta v \ge 0.88 \ c$was jedoch schwer als "sehr langsam" zu rechtfertigen wäre.

BEARBEITEN: Gemäß dem Kommentar unten bezieht sich "sehr langsam" auf eine nicht relativistische Geschwindigkeit. Wenn wir darauf bestehen$\gamma < 1.01$dann entspricht das$v < 4.2 \ 10^7 \text{ m/s}$. Das ist$\Delta v < 1.2 \ 10^7 \text{ m/s}$oder maximal$\Delta p = 1.1 \ 10^{-23} \text{ kg m/s}$. Nach der Heisenbergschen Unschärferelation ist also die minimale Ortsunschärfe gegeben$\Delta x > \hbar/(2\Delta p) = 4.8 \ 10^{-12}\text{ m}$

Das zweite Problem ist

mit der Formel

$$\Delta x. \Delta v\ge \frac{h}{4\pi m}$$

Der richtige Ausdruck ist$\Delta p \Delta x\ge \hbar/2$. Das ist wichtig, weil$p=mv$ist nur eine nichtrelativistische Näherung. In der Relativität$p=mv/\sqrt{1-v^2/c^2}$was unbegrenzt ist als$v$Ansätze$c$. Mit dieser richtigen Formel$\Delta x = 10^{-13}\text{ m}$ergibt sich$\Delta p = 5.3 \ 10^{-22} \text{ kg m/s}$. Wie oben angegeben, entspricht dies für ein Elektron einer Geschwindigkeitsunsicherheit von$\Delta v = 0.88 \ c$die ziemlich groß ist, aber nicht überschreitet$c$.

Wenn Sie also Teilchenphysiker (oder Kernphysiker) werden, müssen Sie sich als Erstes Folgendes merken:

$$\hbar c \approx 200\,{\rm MeV\cdot fm}$$

wobei "fm" ein Fermi ist ($10^{-15}\,$m), was die Skala eines Nukleons ist.

Wenn Ihre Positionsunsicherheit also 100 fm beträgt, können Sie sofort eine Impulsunsicherheit von 1 MeV/c abschätzen.

Da hast du auch auswendig gelernt$m_e=0.511\,$MeV/z$^2$, das heißt, die Geschwindigkeitsunsicherheit (die in der Teilchenphysik nicht wirklich eine Rolle spielt, sie kommt nie vor) entspricht einem Lorentz-Faktor von:

$$\gamma = \frac{E}{m_e} \approx \frac p {m_e} \approx 2,$$

und wir haben alle genug Relativitätsprobleme gemacht, um zu wissen, dass dies einer Geschwindigkeit entspricht:

$$\beta = \frac v c = \frac{\sqrt 3} 2 \approx 0.866$$

was der Antwort von @ Dale nahe genug kommt.

Nehmen wir ein Elektron an, das sich sehr langsam bewegt, und wir beobachten es mit einer Entfernungsunsicherheit von sagen wir Δx=1×10−13 m

Teilchen haben in der QM keine Geschwindigkeiten im normalen Sinne des Wortes. Die Geschwindigkeit ist eine Observable und wird daher durch einen Operator dargestellt, der auf einen Quantenzustand angewendet wird. Von der „Geschwindigkeit“ eines Teilchens zu sprechen impliziert, dass das Teilchen eine bestimmte Geschwindigkeit hat (dh sich in einem Eigenzustand des Geschwindigkeitsoperators befindet) oder dass sein Zustand zumindest eine kleine Streuung im Geschwindigkeitsraum hat. Wie Sie berechnet haben, ist ein Elektron mit einem so kleinen$\Delta x$hätte so einen massiven$\Delta p$dass man nicht sagen kann, dass es irgendetwas in der Nähe einer wohldefinierten Geschwindigkeit hat.

Wenn sich ein Elektron in der Nähe bewegt$c$, dann wird es queren$10^{-13}m$im ~$3*10^{-22}$Sekunden. Laut einer flüchtigen Websuche, die ich durchgeführt habe, ist die höchste Zeitgenauigkeit, die jemals aufgezeichnet wurde$10^{-21}s$. https://www.smithsonianmag.com/smart-news/physicists-record-smallest-slice-time-yet-180961085/ Es ist also nicht möglich, ein Elektron über einen ausreichend kurzen Zeitraum zu messen, um es auf einen Bereich von zu beschränken$10^{-13}m$.

Das soll nicht heißen, dass es nicht legitim ist, nach einem rein hypothetischen, völlig nicht messbaren Szenario zu fragen, in dem ein Elektron über einen Zeitraum von weniger als einer Zeptosekunde auftritt$\Delta x = 10^{-13}m$. Ich dachte nur, es sollte darauf hingewiesen werden, dass dies eine physikalisch unrealistische Situation ist.

Was dies anscheinend angeht$\Delta v > c$, wie Valter Moretti sagt, liegt Ihrer Berechnung zugrunde$p = mv$, und wenn$m$wird als Ruhemasse angenommen$m_0$, dann gilt dies nur für klein$v$(relativ zu$c$). Allerdings halte ich die weiteren Berechnungen von Valter Moretti nicht für zutreffend. Der$\Delta p$in der Ungewissheit ist nicht die Reichweite$p$, obwohl diese Interpretation eine gute Annäherung ist, um eine gute Intuition zu sein, wenn das Prinzip eingeführt wird. Eher,$\Delta p$ist die Standardabweichung von$p$:$\sqrt {<\phi^* |p \phi>^2-<\phi^* |p^2 \phi>}$. Seit$p$ist eine nichtlineare Funktion von$v$, wir können keinen genauen Wert berechnen$\Delta v$bezüglich$\Delta p$ohne das genaue zu wissen$\phi$.