Unsicherheitsprinzip und der Energie-Impuls-4-Vektor

Hinter deiner Frage steckt eine sehr interessante Geschichte. In den frühen 1900er Jahren (nachdem die spezielle Relativitätstheorie eingeführt worden war) lautete die Lösung der Wellengleichung im Vakuum:

$a\exp(i(kx-wt)) + b\exp(-i(kx-wt))$

Wo$k$ist der Wellenvektor und$w/k=v$und v die Phasengeschwindigkeit ist.

De Broglie bemerkte als erster, dass die Phasenfaktoren der Gleichung bei jedem Ereignis unter Lorentz-Transformationen if invariant bleiben$(k,w)$wird als 4-Vektor betrachtet. Dies bedeutete eine invariante Amplitude bei jedem Ereignis. Dies liegt daran, dass das Skalarprodukt der beiden 4-Vektoren$(k,w)$Und$(x,t)$bleibt unter Lorentz-Transformationen invariant. Aus dieser bemerkenswerten Einsicht leitete er das ab$(k,w)$könnte den 4-Impuls darstellen,$(p,E)$, eines massiven Teilchens. So wurde erstmals der Welle-Teilchen-Dualismus entdeckt. Die spezielle Relativitätstheorie brachte die Quantenmechanik in ihrer eigentlichen Form hervor!

Die nachträglich entdeckte Vertauschungsrelation

$[p,x]=-i\hbar$

beim Lösen ergibt (setzen des willkürlichen Phasenfaktors in p auf 1):$p=-i\hbar \frac{∂}{∂x}$. Daraus leitet sich die Unschärferelation im Impuls ab.

Die grundlegende Form der Schrödinger-Gleichung

$i\hbar \frac{∂T}{∂t} = ET$

Wo$E$ist der Hamiltonoperator und$T(t_0,t)$Der Einheitliche Zeitentwicklungsoperator hat seinen Ursprung in der Beziehung zwischen$x$Und$p$erweitert wird$t$Und$E$.

Bei der Einführung der Schrödinger-Gleichung in seinem Buch weist Dirac darauf hin, dass ihre Ableitung hauptsächlich aus relativistischen Überlegungen stammt. Tatsächlich war Schrödingers ursprüngliche Gleichung tatsächlich relativistisch, wo$E$war die relativistische Energie. Schrödinger war sich nicht sicher, ob er die positive oder negative Wurzel von ziehen sollte$E^2$. Also verwarf er sie zugunsten ihrer weithin bekannten nicht-relativistischen Form.

Abgesehen von der Entdeckung quantisierter Energieniveaus in der Schwarzkörperstrahlung und dem photoelektrischen Effekt verdankt also jeder Durchbruch in der QM seine Existenz der speziellen Relativitätstheorie.

BEARBEITEN: Ich habe früher w / k = c für ein massives Teilchen gesagt, das ist falsch. w/k ist gleich der Phasengeschwindigkeit, die proportional zu 1/u ist. u ist die Gruppengeschwindigkeit, die gleich der klassischen Geschwindigkeit eines massiven Teilchens ist. Ich habe die anstößigen Sätze korrigiert.

Ich habe eine ähnliche Beobachtung in Griffiths Quantum Mechanics (Seite 114, 2. Auflage) gesehen, die ich hier großzügig entlehne.

In einer relativistischen Quantentheorie würde die letzte Gleichung aus einer der ersten drei folgen, da die Aufspaltung der Raumzeit in Raum plus Zeit von der Wahl des Lorentzrahmens abhängt.

In der nicht-relativistischen Quantenmechanik versagt die Logik jedoch, weil Raum und Zeit sehr unterschiedlich sind; während$p$,$x$Und$E$sind alle Observablen (Operatoren, deren Spektrum die Menge der zulässigen Werte ist usw. usw.),$t$ist nicht. Tatsächlich ist die Schrödinger-Gleichung von erster Ordnung$t$aber in zweiter Ordnung$x$, und Dirac erhielt seine relativistische Wellengleichung, indem er verschiedene Methoden ausprobierte, indem er die Schrödinger-Gleichung so modifizierte, dass sie in beiden erster Ordnung war.

Der$\Delta E \Delta t$Die Unsicherheitsrelation ist meiner Meinung nach auch etwas schwieriger zu interpretieren als die$\Delta p \Delta x$Einsen. Letzteres hat eine einfache Interpretation, weil jeder Quantenzustand welche hat$\Delta p$und einige$\Delta x$mit ihr verbundenen; leider hat es keine$\Delta t$- was bedeutet es, wenn wir sagen, dieses Teilchen ist in einer Kiste gefangen$\Delta t = 1\mu s$? Eine der vielen Interpretationsleckereien$\Delta t$B. die Zeit, die eine andere Observable benötigt, um sich um eine Standardabweichung zu ändern (S. 116), oder die Schwingungsdauer eines Energiezustands$E$, oder die Lebensdauer eines instabilen Teilchens der Ruhemassenenergie$E$; Natürlich erhalten wir jedes Mal etwas andere Grenzen, und das ist interessant$\Delta E \Delta t$in diesen Fällen immer begrenzt sein; das ist mir sicher nicht klar.

Die Heisenbergsche Unschärferelation lautet

Das tiefere physikalische Prinzip, zu dem OP verlockt, ist eindeutig die Poincare-Symmetrie $ISO(3,1)$. Nun lassen sich die Orts-Impuls-Unschärferelationen leicht aus den kanonischen Kommutierungsrelationen (CCR) ableiten

siehe zB die Wikipedia-Seite . Die Zeit-Energie-Unschärferelation ist innerhalb der nicht-relativistischen Quantenmechanik subtiler zu erklären, siehe zB this und this Phys.SE posts. Aber wir könnten die analoge einfachere Frage betrachten

für die euklidische Gruppe $E(3)=ISO(3)$in den drei räumlichen Dimensionen, dh Translationen und Rotationen ohne die Boosts. Die letztere einfachere Frage folgt, weil (i) die Unsicherheitsrelationen (3) eine direkte Folge der CCR (2) sind und (ii) die CCR (2) unter euklidischen Symmetrien invariant sind.