Relativistische Unschärferelation: Ort und Eigenzeit oder Impuls?

Es hängt alles davon ab, welches System Sie beschreiben.

Erstquantisiertes System

Beispielsweise ist es möglich, die folgende (erste quantisierte) Aktion für das relativistische Punktteilchen zu quantisieren:

$$S[X] = -m c \int d{\lambda} \sqrt{g_{\mu \nu} \dot{X}^{\mu} \dot{X}^{\nu}},$$

Wo$\dot{X}$steht für$dX/d\lambda$Und$\lambda$ist ein beliebiger unphysikalischer Parameter, der verwendet wird, um die Punkte der Weltlinie mit reellen Zahlen zu kennzeichnen.

Wenn Sie dieses System quantisieren, wird Ihr kinematischer (unbeschränkter) Hilbert-Raum$\mathcal{K}$ist ein Raum mit schnell abnehmenden Raumzeitfunktionen:

$$\Psi(t,\mathbf{r}) \in \mathcal{K}.$$

Genau wie im nichtrelativistischen Fall lauten die Unschärferelationen

$$\Delta{x} \Delta{p} \le \frac{\hbar}{2},$$

aber es gibt noch einen anderen Zusammenhang

$$\Delta{t} \Delta{E} \le \frac{c \hbar}{2}$$

die uns früher als Zeit-Energie-Unschärferelation begegnet ist, nur in dieser Beschreibung ein Bürger erster Klasse.

Allerdings wird das Bild durch die Existenz von Einschränkungen getrübt. Der physische Hilbert-Raum$\mathcal{H}$wird durch diese Elemente von gegeben$\mathcal{K}$die Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung sind. (Um genau zu sein, durch Elemente von$\mathcal{K}^{*}$die verschwinden, wenn sie auf Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung ausgewertet werden).

Zweitquantisiertes System

Oder Sie können direkt zur Quantenfeldtheorie springen und den Klein-Gordon-Lagrangian als einen Lagrangian für das Quantenfeld untersuchen. Sie haben dann Wellenfunktionale

$$\Psi[\phi(\mathbf{r})]$$

als Zustände, und die Unschärferelation lautet

$$\Delta \phi \Delta \pi \le \frac{h}{2}$$

mit$\pi(\mathbf{r})$die kanonischen Impulse für$\phi(\mathbf{r})$.

Diese Beschreibung wird als grundlegender betrachtet. Daraus folgen die Orts-Impuls- und Zeit-Energie-Unschärferelationen für Elementarteilchen, wenn man die Schwankungen des Vakuumzustandes des Feldes (Elementarteilchenzustände) berücksichtigt.