Wie interpretiert man das Verhalten der Wärmekapazität eines geladenen Schwarzen Lochs richtig?

Das Papier, auf das Daniels Kommentar hinwies, gab mir einen Ausgangspunkt, um mehr Literatur zu diesem Thema zu finden und weitere Nachforschungen anzustellen. Nach einiger Zeit wurde mir klar, dass meine Frage eigentlich eine ungeklärte (Forschungs-)Frage ist. Eine endgültige Antwort ist daher nicht wirklich zu erwarten. Trotzdem halte ich es für wertvoll, eine Antwort zu geben. Da dies sonst niemand getan hat, werde ich jetzt einfach die wichtigsten Ergebnisse meiner eigenen Forschung skizzieren. Diese "Antwort" geht nur auf meine zweite Frage ein:

Was bedeutet die Abweichung in der Wärmekapazität?

Dies scheint die Frage zu sein, die die größte Aufmerksamkeit von aktuellen Forschern auf sich gezogen hat. Ich denke, dass dieser Artikel von Davies (leider mit Paywalls) chronologisch als erster die Tatsache ansprach, dass es eine unendliche Diskontinuität in der Wärmekapazität eines Reissner-Nordström (oder besser gesagt seiner Verallgemeinerung, Kerr- Newman metric ) Schwarzes Loch bei$\frac{Q}{M}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ähnliches tritt in der Kerr-Newman-Einstellung auf, wenn das Verhältnis von Drehimpuls zu Masse einen bestimmten Wert überschreitet.

Wie bereits aus der Zusammenfassung ersichtlich, argumentiert Davies, dass diese Divergenz eine physikalische Bedeutung hat: Er sieht darin einen Phasenübergang . Wir stellen fest, dass das Schwarze Loch für noch höhere Ladungen eine positive Wärmekapazität hat und daher mit einem Wärmebad im Gleichgewicht sein kann. Bedauerlicherweise verzichtet Davies darauf, in irgendeiner Tiefe zu kommentieren, warum es einen Phasenübergang gibt (oder geben sollte), wenn die Ladung erhöht wird. Im Kerr ($Q=0$) Fall schlägt er eine Interpretation für den Phasenübergang vor, der bei einem bestimmten Wert von auftritt$J$(für fest$M$):

Newtonsche Berechnungen zeigen, dass ein rotierendes, selbstgravitierendes Fluid bei einem kritischen Wert des Verhältnisses (Rotationsenergie/Newtonsche Gravitationsenergie) instabil wird und seine Achsensymmetrie verliert. Ich bin Dr. DW Sciama dankbar, dass er mich auf ein bemerkenswertes Ergebnis von Bertin & Radicati (1976) aufmerksam gemacht hat, die diese Instabilität als einen thermodynamischen Phasenübergang zweiter Ordnung entdeckt haben [...] . In der höheren Drehimpulsphase weicht das achsensymmetrische Sphäroid einem dreiachsigen Ellipsoid. Dies legt die Möglichkeit nahe, dass das Kerr-Schwarze Loch in ähnlicher Weise instabil wird [...] und in eine nicht axialsymmetrische, dynamische Phase eintritt, in der neue thermodynamische Freiheitsgrade auftreten.

Kurz nach Davies' Artikel erschien ein Artikel des jungen holländischen Physikers Piet Hut mit einer eingehenderen Analyse (siehe Abschnitt 3 und Anhang 1 des Artikels). Zur Bedeutung der Diskontinuität der Wärmekapazität vertritt Hut eine andere Position als Davies. Er hält sowohl die Wärmekapazität als konstant$Q$, was er mit bezeichnet$C_Q$, und die Wärmekapazität bei konstantem elektrischem Potential$C_\Phi=-\frac{S}{4\pi}$. Hier,$\Phi$ist durch die allgemeine Gleichung definiert

Während$C_\Phi$ist überall endlich und negativ,$C_Q$hat eine unendliche Diskontinuität bei$Q/M =\frac{1}{2}\sqrt{3}\approx 0.87$. An dieser Stelle ändert sich auch sein Vorzeichen:$C_Q$ist positiv für höher geladene Schwarze Löcher. Dieses bemerkenswerte Verhalten von$C_Q$tritt auf, weil die$Q, T$Koordinaten sind doppelt bewertet, was in Fig. 5 [unten wiedergegeben] dargestellt ist . Das$Q, \Phi$Koordinaten bilden jedoch überall ein nicht entartetes Koordinatensystem. Der physikalische Grund für den doppelten Wert$M (Q, T)$ist, dass die Temperatur eines Schwarzen Lochs nicht nur im Grenzbereich gegen Null tendiert$M\to\infty$, aber auch in der unteren Grenze$M \downarrow Q$wenn$Q$konstant gehalten, da in beiden Fällen die Oberflächengravitation verschwindet.

[...]

Um die Diskontinuität in zu interpretieren$C_Q$In Bezug auf einen Phasenübergang wäre das geeignete zu berücksichtigende thermodynamische Potenzial die freie Helmholtz-Energie$F(T, Q) =M-TS$anstelle der üblichen freien Energie von Gibbs$G(T, \Phi) = F -Q\Phi$, da die Wärmekapazitäten geschrieben werden können als$C_Q = - T(\partial^2 F/\partial T^2)$und$C_\Phi=-T(\partial^2 G/\partial T^2)$, beziehungsweise.

In Analogie zur Ehrenfest-Klassifikation [die Phasenübergänge nach der kleinsten Ableitung der beim Übergang unstetigen freien Energie klassifiziert ] von Phasenübergängen könnten wir die Diskontinuität in nennen$C_Q$ein Phasenübergang erster Ordnung, da$(\partial F/\partial T)_Q$wird bei unendlich$Q/M =\frac{1}{2}\sqrt{3}$. Aber diese Terminologie scheint hier nicht sehr angemessen zu sein, da es in diesem Fall keine latente Wärme gibt und die meisten anderen thermodynamischen Funktionen sich gut verhalten (siehe Anhang 1).

Im oben erwähnten Anhang 1 finden wir eine Demonstration, dass nur solche Funktionen explizit von den (vermeintlich) entarteten Koordinaten abhängen$Q,T$sind von der Divergenz betroffen$C_Q$. Dies geschieht, indem einfach eine Reihe thermodynamischer Funktionen berechnet und gezeigt wird, dass sie kein singuläres Verhalten haben, es sei denn, sie hängen von ab$Q,T$Koordinaten.

Schließlich diskutiert Hut gegen Ende seiner Arbeit die Bedeutung der Singularität:

[...] die unendliche Diskontinuität überhaupt nicht als Phasenänderung betrachtet werden kann. Hier ist die Entropie zusammen mit all ihren Ableitungen stetig [...] . Aber diese unendliche Diskontinuität hat eine physikalische Bedeutung, die in gewisser Weise über die eines Phasenübergangs hinausgeht. Obwohl sich die inneren Eigenschaften des Systems hier nicht ändern, ändert sich die Art und Weise, wie das System mit einer äußeren Umgebung in ein stabiles Gleichgewicht gebracht werden kann. Auf der Seite mit einem höheren$Q/M$,$C_Q > 0$, und das System kann mit einem Wärmebad im Gleichgewicht sein. Aber unten$Q/M$Seite,$C_Q < 0$, und das System kann nur im Gleichgewicht sein, wenn es von der Außenwelt isoliert ist. Anstelle eines Phasenübergangs begegnen wir hier also einem Übergang von einem Bereich, in dem nur ein mikrokanonisches Ensemble verwendet werden kann, zu einem Bereich, in dem sowohl ein kanonisches als auch ein mikrokanonisches Ensemble angemessen sind.

Wir sehen also, dass Hut die Singularität als eine Änderung in der Art und Weise interpretiert, wie wir das System beschreiben können, und nicht als eine Änderung der Eigenschaften des Systems selbst.

In letzter Zeit sind einige neue Veröffentlichungen zu diesem Thema erschienen, die meiner Meinung nach jedoch keine sehr überzeugenden Argumente enthalten, sodass eine Diskussion darüber meiner Meinung nach nicht wirklich erstrebenswert ist. Jedenfalls scheint das Problem noch nicht vollständig geklärt zu sein. Abschließend stelle ich fest, dass mir persönlich die Erklärung von Hut ziemlich überzeugend erscheint.

Eine teilweise Erklärung, warum die Wärmekapazität divergiert: Beachten Sie, dass die Definition der Wärmekapazität umgeschrieben werden kann:

Von den drei Faktoren sind die ersten beiden streng positiv für (nicht extremale) BHs. (Das erste, weil BHs nicht seltsam genug sind, um negative Temperaturen zu haben, und das zweite, weil das zweite Gesetz gilt.) Folglich kann die Wärmekapazität nur divergieren, wenn$\left(\tfrac{\partial T}{\partial M}\right)_Q$verschwindet. Anders gesagt, die Wärmekapazität divergiert, wenn$T$als Funktion von$M$bei fest$Q$hat ein Maximum.

Es ist klar (und ich denke, das wird auch von Hut betont),$T$als Funktion von$M$bei fest$Q$muss ein Maximum im Bereich haben$|Q|<M<\infty$weil es positiv ist und an beiden Grenzen verschwindet. (Ich denke, wir könnten die Frage weiter stellen, warum das so ist, aber ich werde es vorerst nicht tun.)

Damit ist deine zweite Frage beantwortet:

Sollte man physikalisch bei einer bestimmten Ladung (bei fester Masse) überhaupt mit einer divergierenden Wärmekapazität rechnen? Warum befindet es sich in$q=± \sqrt{3}/2$?

Bei der ersten Frage weiß ich wirklich nicht, ob wir dafür einen tieferen physikalischen Grund erwarten sollten.