Nichts fällt in ein verdunstendes Schwarzes Loch?

Question

Nichts fällt in ein verdunstendes Schwarzes Loch?

Physik
Schwarze Löcher
Ereignishorizont
Hawking-Strahlung
generelle Relativität
Schwarze-Loch-Thermodynamik

Eine Katze

Die Vaidya-Metrik ist die Metrik, die verwendet werden kann, um die Raumzeitgeometrie eines Schwarzen Lochs mit unterschiedlicher Masse zu beschreiben. Diese Metrik lautet

d τ^{2} = (1 - \frac{2 M (v)}{r}) d v^{2} + 2 d v d r - r^{2} d Ω_{2}^{2}

$d\tau^2=\bigg(1-\dfrac{2M(\nu)}{r}\bigg)d\nu^2+2d\nu dr - r^2 d\Omega_2^2$ Der Einfachheit halber nehme ich an

d Ω_{2} = 0

$d\Omega_2=0$ . Nun kann die Bedingung dafür, dass ein beliebiges Intervall raumartig ist, aus dieser Metrik als abgelesen werden

\begin{matrix} (1) & \frac{d r}{d v} < - \frac{1}{2} (1 - \frac{2 M (v)}{r}) \end{matrix}

$\dfrac{dr}{d\nu}<-\dfrac{1}{2}\bigg(1-\dfrac{2M(\nu)}{r}\bigg)\tag{1}$ Nehmen wir nun an, dass die Flugbahn eines Teilchens (die natürlich entweder eine lichtähnliche oder eine zeitähnliche Flugbahn sein soll) zwei Ereignisse verbindet – eines außerhalb des Horizonts und eines innerhalb des Horizonts. Nehmen wir auch an, dass diese Ereignisse sehr nah am Horizont sind. Dann können die Koordinaten dieser Ereignisse genommen werden als

(v, 2 M (v) + δ ξ_{Ö})

$\Big(\nu, 2M(\nu)+ \delta \xi_{o}\Big)$ und

(v + d v, 2 M (v + d v) - δ ξ_{ich})

$\Big(\nu+d\nu, 2M(\nu+d\nu)-\delta\xi_{i}\Big)$ wo

δ ξ_{i}

$\delta\xi_{i}$ und

δ ξ_{o}

$\delta\xi_{o}$ sind winzig kleine Parameter, die wir ändern können, um die ausgewählten Ereignisse so nah am Horizont zu machen, wie wir es wünschen.

Nun zu dem Paar dieser beiden Ereignisse

\begin{matrix} (2) & \frac{d r}{d v} = \frac{2 M (v + d v) - δ ξ_{ich} - 2 M (v) - δ ξ_{Ö}}{d v} = 2 \dot{M} (v) - (\frac{δ ξ_{ich} + δ ξ_{Ö}}{d v}) \end{matrix}

$\dfrac{dr}{d\nu}=\dfrac{2M(\nu+d\nu)-\delta\xi_{i}-2M(\nu)-\delta\xi_{o}}{d\nu}=2\dot{M}(\nu)-\bigg(\dfrac{\delta\xi_{i}+\delta\xi_{o}}{d\nu}\bigg)\tag{2}$

Kombinieren $(1)$ und $(2)$ , erhalten wir, dass unsere Bedingung, dass ein Teilchen die betrachteten zwei Ereignisse verbindet, nur wahr sein kann, wenn

2 \dot{M} (v) - (\frac{δ ξ_{ich} + δ ξ_{Ö}}{d v}) \geq - \frac{1}{2} (1 - \frac{2 M (v)}{r})

$2\dot{M}(\nu)-\bigg(\dfrac{\delta\xi_{i}+\delta\xi_{o}}{d\nu}\bigg)\geq-\dfrac{1}{2}\bigg(1-\dfrac{2M(\nu)}{r}\bigg)$

wo $r$ genommen werden kann als $2M(\nu)$ in der Grenze, wo wir machen $\delta\xi_{i}$ und $\delta\xi_{o}$ ausreichend klein (im Vergleich zu $d\nu$ ). So bekommen wir

\dot{M} (v) \geq 0

$\dot{M}(\nu)\geq 0$

Es scheint also, dass ein Teilchen nur dann in den Horizont fallen kann, wenn das Schwarze Loch entweder nicht verdampft oder an Masse zunimmt. Im Fall eines verdunstenden Schwarzen Lochs scheint diese Berechnung darauf hinzudeuten, dass nichts (keine zeitähnliche oder lichtähnliche Flugbahn) das Äußere mit dem Inneren verbinden kann. Ist das wahr?

Beachten Sie, dass die Schlussfolgerung nicht das Ergebnis einer schlechten Wahl der Koordinaten sein kann, da das Argument vom Wert des allgemein unveränderlichen Intervalls abhängt.

Ich denke, dass dies ein ziemlich überraschendes Ergebnis ist, und daher denke ich, dass es wahrscheinlich einen fatalen Fehler in der Logik des präsentierten Arguments gibt. Ich möchte, dass die Antworten darauf hinweisen. Auf diese Weise präsentiert, mag es wie eine „Meine Arbeit überprüfen“-Frage erscheinen, aber ich hoffe, dass dies keine völlig uninteressante und nicht zum Thema gehörende Frage zum Thema „Meine Arbeit überprüfen“ ist, die gemäß der Richtlinie „Keine Überprüfung meiner Arbeit“ vermieden werden sollte ".

Peter Schor

Wie rechtfertigen Sie die Einnahme

d ξ_{i}

$d \xi_i$ und

d ξ_{o}

$d \xi_o$ ausreichend klein im Vergleich zu

d ν

$d \nu$ ? Wenn das Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit fällt und der Horizont des Schwarzen Lochs mit einer anderen Geschwindigkeit schrumpft, muss es dann nicht eine Beziehung zwischen diesen Größen geben?

Eine Katze

@PeterShor Ich habe meine Frage aktualisiert, um eine neue Notation anzunehmen, die die Art der zuvor geschriebenen Differentiale besser veranschaulicht

d ξ_{o}

$d\xi_{o}$ und

d ξ_{i}

$d\xi_{i}$ . Man kann sich diese Parameter als die Parameter vorstellen, die verwendet werden, um die Reihe von Ereignissen in der Nähe des Horizonts zu durchlaufen. Je kleiner der Parameter

δ ξ

$\delta\xi$ , desto näher ist das Ereignis am Horizont. Diese Parameter bestimmen die Koordinaten der Endpunkte der Trajektorie. Die Beziehung zwischen ihnen und

d ν

$d\nu$ ist genau das, was die vorletzte Ungleichung in meinem Beitrag darstellt, dh sie sind durch einen nicht raumartigen Pfad verbunden ....

Eine Katze

... Ich denke, es sollte keine andere Einschränkung für diese Unterschiede geben als die, die durch diese Ungleichheit dargestellt wird. Nun, ich glaube nicht, dass ich eine explizite Rechtfertigung für die Differenzierung habe

δ ξ

$\delta \xi$ ausreichend klein im Vergleich zu

d ν

$d\nu$ außer sagen, dass für eine gegebene

d ν

$d\nu$ Ich kann jederzeit analysieren, was die Bedingung wäre, um zwei Ereignisse in dieser Zeit ausreichend nahe am Horizont durch einen nicht-raumähnlichen Pfad zu verbinden

d ν

$d\nu$ .

Eine Katze

Aber dein Kommentar hat mich nachdenklich gemacht und interessanterweise, auch wenn wir das nicht machen

δ ξ

$\delta\xi$ ausreichend klein im Vergleich zu

d ν

$d\nu$ , wir können sie im Vergleich zu immer ausreichend klein machen

2 M (ν)

$2M(\nu)$ --Herstellung

1 - \frac{2 M (ν)}{r} = O (δ ξ)

$1-\dfrac{2M(\nu)}{r}=\mathcal{O}(\delta\xi)$ . Des Weiteren

\frac{δ ξ_{o} + δ ξ_{i}}{d ν}

$\dfrac{\delta \xi_{o}+\delta \xi_{i}}{d\nu}$ ist konstruktionsbedingt nichtnegativ. Daraus können wir jedenfalls schließen

\dot{M} (ν) \geq 0

$\dot{M}(\nu)\geq 0$ .

Antworten (1)

Nichts fällt in ein verdunstendes Schwarzes Loch?

Wie rechtfertigen Sie die Einnahme $d \xi_i$ und $d \xi_o$ ausreichend klein im Vergleich zu $d \nu$ ? Wenn das Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit fällt und der Horizont des Schwarzen Lochs mit einer anderen Geschwindigkeit schrumpft, muss es dann nicht eine Beziehung zwischen diesen Größen geben?
@PeterShor Ich habe meine Frage aktualisiert, um eine neue Notation anzunehmen, die die Art der zuvor geschriebenen Differentiale besser veranschaulicht $d\xi_{o}$ und $d\xi_{i}$ . Man kann sich diese Parameter als die Parameter vorstellen, die verwendet werden, um die Reihe von Ereignissen in der Nähe des Horizonts zu durchlaufen. Je kleiner der Parameter $\delta\xi$ , desto näher ist das Ereignis am Horizont. Diese Parameter bestimmen die Koordinaten der Endpunkte der Trajektorie. Die Beziehung zwischen ihnen und $d\nu$ ist genau das, was die vorletzte Ungleichung in meinem Beitrag darstellt, dh sie sind durch einen nicht raumartigen Pfad verbunden ....
... Ich denke, es sollte keine andere Einschränkung für diese Unterschiede geben als die, die durch diese Ungleichheit dargestellt wird. Nun, ich glaube nicht, dass ich eine explizite Rechtfertigung für die Differenzierung habe $\delta \xi$ ausreichend klein im Vergleich zu $d\nu$ außer sagen, dass für eine gegebene $d\nu$ Ich kann jederzeit analysieren, was die Bedingung wäre, um zwei Ereignisse in dieser Zeit ausreichend nahe am Horizont durch einen nicht-raumähnlichen Pfad zu verbinden $d\nu$ .
Aber dein Kommentar hat mich nachdenklich gemacht und interessanterweise, auch wenn wir das nicht machen $\delta\xi$ ausreichend klein im Vergleich zu $d\nu$ , wir können sie im Vergleich zu immer ausreichend klein machen $2M(\nu)$ --Herstellung $1-\dfrac{2M(\nu)}{r}=\mathcal{O}(\delta\xi)$ . Des Weiteren $\dfrac{\delta \xi_{o}+\delta \xi_{i}}{d\nu}$ ist konstruktionsbedingt nichtnegativ. Daraus können wir jedenfalls schließen $\dot{M}(\nu)\geq 0$ .

Erik Jörgenfelt · Answer 1

Beginnen wir stattdessen mit der Betrachtung des Schwarzschild-Schwarzen Lochs: Wie Sie vielleicht wissen, ist das maximal ausgedehnte Koordinatensystem das Kruskal-Szekeres-Koordinatensystem:

d s^{2} = \frac{32 M}{r} e^{- r / 2 M} d U d v - r^{2} d Ω^{2},

$ds^2 = \frac{32M}{r}e^{-r/2M}dU\,dV - r^2d\Omega^2,$ die nicht nur das Äußere, den Ereignishorizont und das Innere des Schwarzen Lochs beschreibt, sondern auch eine parallele Außenregion und den Ereignishorizont und das Innere eines Weißen Lochs, die für zeitähnliche und nullbeobachter unzugänglich sind. Die Vadiya-Metrik entspricht direkter den Eddington-Finkelstein-Koordinaten, die in Eingangskoordinaten geschrieben werden können.

d s^{2} = (1 - \frac{2 M}{r}) d v^{2} - 2 d v d r - r^{2} d Ω^{2},

$ds^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)dv^2 - 2dv\,dr - r^2d\Omega^2,$ oder Ausgehende,

d s^{2} = (1 - \frac{2 M}{r}) d u^{2} + 2 d u d r - r^{2} d Ω^{2} .

$ds^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)du^2 + 2du\,dr - r^2d\Omega^2.$ Beide ermöglichen uns, einen Ereignishorizont zu kartieren, aber während die eingehenden Koordinaten über den Horizont des Schwarzen Lochs kartieren, zeichnen die ausgehenden Koordinaten über den Horizont des Weißen Lochs! Vielleicht siehst du, wo das hinführt?

Jetzt durch Vermieten $M = M(v)$ die eingehenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten werden zur eingehenden Vadiya-Metrik. Und ebenso durch Vermietung $M = M(u)$ die ausgehenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten werden zur ausgehenden Vadiya-Metrik. Beachten Sie, dass das Linienelement, das Sie aufgeschrieben haben, das ausgehende Vadiya ist. Das heißt, Ihre Metrik beschreibt bereits einen "unpassierbaren" Ereignishorizont, selbst wenn die Strahlung auf Null gesetzt ist. Dass es verdunstet, ändert daran nichts.

Zur Verdeutlichung: Die von einem ausgehenden Vadiya-Loch emittierte Strahlung entspricht der Strahlung, die klassischerweise den Ereignishorizont durchquert, und erfordert daher eine Struktur des Weißen Lochs. Inzwischen ist die Hawking-Strahlung ein Quantenphänomen, das Strahlung sogar von einem Schwarzen Loch einbringt und nicht genau durch die ausgehende Vadiya-Metrik beschrieben werden kann (für eine weitere Bestätigung siehe z . B. diesen (relativ neuen) Artikel , wo die Autoren die eingehende Vadiya zur Analyse verwenden Hawking-Strahlung um ein dynamisches Schwarzes Loch)

Aber warte mal. Heißt das, wenn $M(u)_{,u} > 0$ in der ausgehenden Vadiya-Metrik können wir tatsächlich auf das weiße Loch zugreifen? Da das Weiße Loch für zeitähnliche und Null-Beobachter unzugänglich ist, können wir einen Widerspruch vermuten. In der Tat zeigt eine einfache Berechnung, dass die einzigen Ricci-Komponenten ungleich Null durch gegeben sind

\begin{aligned} R_{u u} & = - 2 \frac{M (u)_{, u}}{r^{2}}, & R_{v v} & = 2 \frac{M (v)_{, v}}{r^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} R_{uu} &= -2\frac{M(u)_{,u}}{r^2}, & R_{vv} &= 2\frac{M(v)_{,v}}{r^2}, \end{align}$ beziehungsweise. Seit

g^{u u} = 0 = g^{v v}

$g^{uu} = 0 = g^{vv}$ , folgt daraus, dass die einzigen Nicht-Null-Komponenten des Spannungsenergietensors sind

\begin{aligned} T_{u u} & = - 2 κ \frac{M (u)_{, u}}{r^{2}}, & T_{v v} & = 2 κ \frac{M (v)_{, v}}{r^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} T_{uu} &= -2\kappa\frac{M(u)_{,u}}{r^2}, & T_{vv} &= 2\kappa\frac{M(v)_{,v}}{r^2}, \end{align}$ wo wir lassen

κ

$\kappa$ bezeichnen die Proportionalitätskonstante in den Einstein-Feldgleichungen. Aus der Nullenergiebedingung (die garantiert, dass ein Nullbeobachter eine nicht negative Energiedichte beobachtet) müssen wir also haben

M (u)_{, u} \leq 0

$M(u)_{,u} \leq 0$ und

M (v)_{, v} \geq 0

$M(v)_{,v} \geq 0$ . Abschließend bemerken wir, dass dies bedeutet, dass das eintretende Vadiya notwendigerweise einen absorbierenden Körper beschreibt, während das austretende Vadiya notwendigerweise einen ausstrahlenden Körper beschreibt.

Danke für deine ausführliche Antwort. Ich verstehe, wie es meine Frage löst, aber der Teil, den ich nicht verstehe, ist die Anwendung der Nullenergiebedingung auf die eingehende Metrik. Es scheint zu implizieren, dass die Masse eines Schwarzen Lochs niemals abnehmen kann – was natürlich eine klassisch angemessene Behauptung ist. Aber die eingehende Metrik kann als Metrik genommen werden, die ein Schwarzes Loch mit variabler Masse beschreibt, dessen Masse aufgrund quantenmechanischer Effekte variiert, richtig? Wie überlebt in diesem Fall die Implikation der Nullenergiebedingung?
@Dvij Ehrlich gesagt entziehen sich die Details der Hawking-Strahlung derzeit meinem Fachwissen, aber es ist wahrscheinlich, dass man die Vadiya-Metrik nicht verwenden kann, um eine Berechnung der Rückreaktion zu versuchen. Traditionell glaube ich, dass man davon ausgeht, dass Hawking-Strahlung keinen Einfluss auf den Massenparameter hat, um den zeitähnlichen Killing-Vektor beizubehalten. Ich kann nicht sagen, was passiert, wenn diese Annahme aufgegeben wird, und ich habe nicht das Fachwissen, um Papiere für Empfehlungen zu bewerten. Vielleicht tut es jemand anderes; Sie könnten versuchen, eine neue Frage zu öffnen.
Okay, ja, ich denke auch, dass die Hawking-Berechnung unter der Annahme durchgeführt wird, dass der Massenparameter konstant ist. Aber ich dachte, wenn wir keine explizite Formel für die Temperatur benötigen, sondern nur davon ausgehen, dass das BH aufgrund quantenmechanischer Effekte sphärisch symmetrisch strahlt, können wir wahrscheinlich die Vaidya-Metrik verwenden. Ich werde eine separate Frage zu diesem speziellen Punkt stellen.
Ein Punkt, den ich kürzlich zu schätzen gelernt habe – der mich, glaube ich, noch mehr verwirrt: Der $\nu$ des einfallenden Vaidya ist konstruktionsbedingt eine Koordinate, die eine Bewegungskonstante für ein einfallendes Photon ist. Dies macht es in gewisser Weise völlig absurd, es als zeitliche Koordinate im üblichen Sinne des Wortes zu behandeln.
Eine andere Sache: Können Sie eine Referenz angeben, wo ich besser verstehen kann, warum der ausgehende Vaidya ein weißes Loch beschreibt? Der Grund, warum ich verwirrt bin, ist, dass das ausgehende Vaidya nicht die Metrik zu sein scheint, die man erhält, wenn man die Zeitrichtung in der Schwarzschild-Metrik umkehrt und dann das eingehende Vaidya für diese umgekehrte Metrik erzeugt. Wenn dies der Fall wäre, dann wäre mir ziemlich klar, dass der ausgehende Vaidya nur ein weißes Ganzes ist. Vielen Dank!
@Dvij In Bezug auf $\nu$ ( $v$ in meiner Notation), haben Sie darin Recht, dass es sich nicht um eine übliche zeitliche Koordinate handelt. In Bezug auf den scheidenden Vaidya denke ich, dass der einfachste Weg für Sie darin besteht, Ihre Argumentation zu verfeinern, um dies als Ihre zweite Amtszeit in Betracht zu ziehen $(2)$ ist ungleich Null. Eine andere Möglichkeit wäre, die Kruskal-Szekeres- und Eddington-Finkelstein-Koordinaten zu vergleichen.

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