Ist die Oberflächengravitation auf einer Nulloberfläche trivial? (Wald-Gl. 12.5.2)

In Kapitel 12.5 von Robert Walds Text zur Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet er eine Null-Hyperfläche mit einem Normalenvektor$\chi^a$. Per Definition haben wir auf der Null-Hyperfläche$\chi^a\chi_a=0$. dh,$\chi^a\chi_a$auf der Hyperfläche konstant ist, also finden wir das trivialerweise$\nabla^a(\chi^b\chi_b)$muss auch normal zur Hyperfläche sein. Wald argumentiert dann, weil beides$\nabla^a(\chi^b\chi_b)$Und$\chi^a$normal zur Hyperfläche sind, müssen sie proportional sein – das heißt, es muss eine Funktion vorhanden sein$\kappa$so dass

$$\nabla^a(\chi^b\chi_b)=-2\kappa\chi^a. \tag{Wald 12.5.2}\label{Wald}$$

Wald behauptet dies jedoch später (unter Gleichung 12.5.15).$\eqref{Wald}$impliziert$\nabla^a(\chi^b\chi_b)$ist nicht null.

Frage : Widerspricht sich Wald nicht, indem er wesentlich benutzt$\nabla^a(\chi^b\chi_b)=0$implizieren$\nabla^a(\chi^b\chi_b)\ne 0$auf der Nullfläche?