Hawking-Temperatur des BTZ-Schwarzen Lochs

Question

Hawking-Temperatur des BTZ-Schwarzen Lochs

Physik
Schwarze Löcher
Ereignishorizont
Quantengravitation
generelle Relativität
Schwarze-Loch-Thermodynamik

123hoedjevan

Die Metrik des BTZ Black Hole ist gegeben durch

D S^{2} = - N^{2} D T^{2} + N^{- 2} D R^{2} + R^{2} (D ϕ + N^{ϕ} D T)^{2}

$ds^2 = - N^2 dt^2 + N^{-2} dr^2 +r^2(d\phi + N^\phi dt)^2$ mit

N^{2} = - M + \frac{R^{2}}{l^{2}} + \frac{J^{2}}{4 R^{2}}, N^{ϕ} = - \frac{J}{2 R}

$N^2 = -M+ \frac{r^2}{l^2} + \frac{J^2}{4 r^2}, \ \ \ \ \ \ N^\phi = -\frac{J}{2r}$ Der

g_{r r}

$g_{rr}$ Komponente der Metrik ist singulär an Punkten wo

N^{2} = 0

$N^2=0$ , den Horizont freigebend

r_{\pm}

$r_\pm$

R_{\pm} = \sqrt{\frac{M l^{2}}{2} (1 \pm \sqrt{1 - {(\frac{J}{M l})}^{2}})}

$r_\pm = \sqrt{ \frac{Ml^2}{2}\left( 1 \pm \sqrt{1-\left(\frac{J}{Ml}\right)^2} \right)}$ Dann für diese

r_{\pm}

$r_\pm$ , die metrische Komponente

g_{t t}

$g_{tt}$ verschwindet nicht, sondern wird

G_{T T} = \frac{J^{2}}{4 R_{\pm}^{2}}

$g_{tt} =\frac{J^2}{4r_\pm^2}$ Nun ist die Beschreibung, die ich gelernt habe, um eine Hawking-Temperatur an einem Horizont (z. B. Schwarzschild BH) zu finden, dass Sie die Wick-rotierte Metrik erweitern (

t \to i τ

$t\to i\tau$ ) um die Lösung wo

g_{τ τ}

$g_{\tau\tau}$ verschwindet, stellen Sie fest, dass die Metrik an diesem Punkt tatsächlich flach ist, und legen Sie sie fest

τ

$\tau$ -Periodizität, so dass es am Horizont keine konische Singularität gibt. Dieser Zeitraum ist dann die inverse Hawking-Temperatur

T_{H}^{- 1}

$T_H^{-1}$ .

Ich sehe keine Besonderheiten in der $g_{\tau\tau}$ Komponente jetzt, also wird keine konische Singularität erscheinen, und ich weiß nicht, wie ich das interpretieren soll. Bedeutet dies, dass es keine Beschränkung gibt $T_H$ und das $\tau$ Periodizität ist frei? Oder ist meine Art, es zu berechnen, irgendwie nicht auf BTZ-Horizonte anwendbar?

Antworten (1)

Hawking-Temperatur des BTZ-Schwarzen Lochs

123hoedjevan · Answer 1

Ich glaube, ich habe eine Koordinatentransformation gefunden, die mehr Licht darauf wirft. Anstatt nach einer konischen Singularität in zu suchen $g_{tt}$ allein muss ich konische Singularitäten in jedem Teil der Metrik betrachten (außer $g_{rr}$ ) Zunächst einmal kann die Metrik in Bezug auf ausgedrückt werden $r_\pm$ und Docht gedreht $t\to it_E$ so dass

D S_{E}^{2} = \frac{(R^{2} - R_{+}^{2}) (R^{2} + R_{-}^{2})}{l^{2} R} D T_{E}^{2} + \frac{l^{2} R^{2}}{(R^{2} - R_{+}^{2}) (R^{2} + R_{-}^{2})} D R^{2} + R^{2} (D ϕ + \frac{ich R_{+} R_{-}}{l R^{2}} D T_{E})^{2}

$ds_{E}^2 = \frac{ (r^2-r_+^2)(r^2+r_-^2)}{l^2r}dt_E^2 + \frac{l^2 r^2}{(r^2-r_+^2)(r^2+r_-^2)} dr^2 + r^2(d\phi + \frac{i r_+ r_-}{l r^2} dt_E)^2$ die unter der Koordinatentransformation

T_{E}^{'} = R_{+} T_{E} + R_{-} ϕ, ϕ^{'} = R_{+} ϕ - R_{-} T_{E}, R^{' 2} = \frac{R^{2} - R_{+}^{2}}{R_{+}^{2} + R_{-}^{2}}

$t'_E = r_+ t_E + r_-\phi, \ \ \ \phi' = r_+ \phi - r_-t_E, \ \ \ r'^2= \frac{r^2-r_+^2}{r_+^2+r_-^2}$ wird

D S_{E}^{2} = \frac{R^{' 2}}{l^{2}} D T_{E}^{' 2} + \frac{l^{2}}{1 + R^{' 2}} D R^{' 2} + (1 + R^{' 2}) D ϕ^{' 2}

$ds_E^2 = \frac{r'^2}{l^2} dt_E'^2 +\frac{l^2}{1+r'^2} dr'^2 + (1+r'^2)d\phi'^2$ wofür

r \to r_{+}

$r\to r_+$ (

r^{'} \to 0

$r'\to 0$ ) wird

D S_{E}^{2} = R^{' 2} D T_{E}^{' 2} + D R^{' 2} + D ϕ^{' 2}

$ds_E^2 = r'^2 dt_E'^2+dr'^2 +d\phi'^2$ was flache Polarkoordinaten iff darstellt

t_{E}^{'} \sim t_{E}^{'} + 2 π

$t_E' \sim t_E' +2\pi$ . Außerdem

ϕ^{'}

$\phi'$ ist nicht periodisch. Also die Periodizität von

t_{E}^{'}

$t_E'$ Ist

Δ t_{E}^{'} = 2 π

$\Delta t_E'=2\pi$ , und von

ϕ^{'}

$\phi'$ Ist

Δ ϕ^{'} = 0

$\Delta \phi'=0$ . Das Kombinieren ergibt

2 π = R_{+} Δ T_{E} + R_{-} Δ ϕ, 0 = R_{+} Δ ϕ - R_{-} Δ T_{E}

$2\pi = r_+ \Delta t_E + r_-\Delta \phi, \ \ \ \ 0 = r_+\Delta \phi - r_- \Delta t_E$ So wird die Zeitperiodizität

β = Δ t_{E} = \frac{2 π l r_{+}}{r_{+}^{2} + r_{-}^{2}}

$\beta =\Delta t_E = \frac{2\pi l r_+}{r_+^2+r_-^2}$ während auch eine feste Periodizität für festgelegt wird

ϕ

$\phi$ . Offensichtlich ist dann die Hawking-Temperatur

T_{H} = \frac{R_{+}^{2} + R_{-}^{2}}{2 π l R_{+}}

$T_H = \frac{r_+^2+r_-^2}{2\pi l r_+}$

Haben Sie überprüft, ob die Temperatur an der extremalen Grenze auf Null geht?
Ah, ich war in meiner euklidischen Beschreibung nicht vollständig genug, aber tatsächlich tut es das. In euklidischen Koordinaten ist die $r_-$ ist immer noch der oben angegebene Wert, aber rein imaginär. Also, wenn dieses BH extrem ist @ $Ml=J$ , der Zähler kürzt sich heraus. Ist dieses Verschwinden der Hawking-Temperatur etwas, das man immer sieht, wenn man mit einem BH an extreme Grenzen geht? Gibt es eine Intuition, warum das so ist?
keine Intuition, aber es scheint mit anderen Temperaturberechnungen für rotierende und geladene Schwarze Löcher übereinzustimmen
Eigentlich gibt es einen intuitiven Grund: Extremalität bedeutet, dass ein großer Teil der Masse des Schwarzen Lochs über den Penrose- oder den Blandford-Znajek-Prozess extrahiert werden kann, es sich also gewissermaßen um einen geordneten Zustand handelt, der ohne Zunahme rückgängig gemacht werden kann die Entropie. Die Masse des Schwarzen Lochs, wenn es ungeladen ist, sich nicht dreht, stellt den entropischen Energiegehalt dar, der nicht extrahiert werden kann, und scheint rein thermisch zu sein
Hmm, das ist lustig, extremale Masse gibt die kleinstmögliche Masse an, dies würde also bedeuten, dass ein nicht extremales BH Hawking-Strahlung ausstrahlt und bis zu seiner extremalen Masse schrumpft und nicht weiter (da es im Extremfall nicht strahlt). Ist dies nicht schwer mit der Tatsache zu vereinbaren, dass Hawking-Strahlung zum Verschwinden von BHs führen sollte, anstatt sie in diesen nicht strahlenden Extremzustand zu bringen?
Sehen Sie sich diese Antwort an: physical.stackexchange.com/a/46868/10531
wahrscheinlich gibt es auch andere Quantenformen von Extremalität im Zusammenhang mit „Quantenhaar“, die von der klassischen Theorie nicht berücksichtigt werden. Überprüfen Sie diese Frage: physical.stackexchange.com/q/47668/10531
Die endgültige Antwort ist maßlich falsch. Dieser Artikel (S. 7) legt das nahe $l$ sollte sein $l^2$ : arxiv.org/pdf/1110.4451v3.pdf

Hawking-Temperatur des BTZ-Schwarzen Lochs

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Diffeomorphismus

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Diffeomorphismus

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Ruben Verresen

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