Wie ist der Spin in der Quantenmechanik genau definiert?

Teilchen mit Spin 1/2 wird Drehimpuls in zwei Dimensionen zugeordnet und Teilchen mit Spin 1 wird Drehimpuls in drei Dimensionen zugeordnet.

Das ist bestenfalls absolut falscher und mehrdeutiger Unsinn, und Sie sollten den schlampigen Text, in dem Sie es gesehen haben, wegwerfen. Es ist eine schweinische lateinische Gruppentheorie. Eine gute Einführung in die Lie-Gruppen-Theorie könnte durchaus angebracht sein. Ich verstehe, dass Sie genau das vermeiden wollen, aber es ist ein bisschen so, als würde man darum bitten, die Analysis zu umgehen und trotzdem ihre Techniken zu nutzen. Das Beste, was Sie sich wünschen können, ist eine sanfte Einführung .

Ihre Verwirrung ergibt sich aus den Anfängerversuchen der Physiker der 1920er Jahre, den Quantendrehimpuls und -spin zu verstehen, und wie sie in die Lorentz-Gruppe und ihre Theorien eintreten.

Sowohl Spin 1 als auch Spin 1/2 (und übrigens höhere ganzzahlige oder halbzahlige Spins) sind mit der gleichen Lie -Algebra-Struktur (1) verbunden, die Sie aufgeschrieben haben. ((2) ist eine einfache Folge davon.) Die drei ("Generatoren") Operatoren$S_i$dieser Algebra beschreiben bei geeigneter Potenzierung die Rotationsgruppe und eine zugehörige Lie-Gruppe mit derselben Lie-Algebra.

Es stellt sich heraus, dass diese Operatoren, ganz unabhängig von der Physik, durch unausweichliche mathematische Notwendigkeit irreduzibel durch 2×2-, 3×3-, 4×4-, 5×5-, ...- Matrizen dargestellt werden können , die auf Räumen von 2d, 3d wirken , 4d, 5d, ... Vektoren. Die Dimensionalität dieser Vektorräume entspricht dem Spin s = 1/2, 1, 3/2,2 usw. ( D=2s+1 ). Der Betreiber$S^2$in Ihrem (2) hat charakteristische unterschiedliche "Eigenwerte" für jeden solchen Irrep, nämlich Zahlen, die die Identitätsmatrix in jeder "Raum" -Dimension D = 2 s + 1 multiplizieren:$~~~S^2=s(s+1) 1\!\!1$. Studieren Sie diese Matrizen, die sicherlich die Spin-1-Matrizen enthalten, nach denen Sie fragen.

Diese Räume können besondere interne Symmetrien wie Isospin usw. darstellen, aber in der Raumzeit entspricht die 3D-Darstellung unseren drei Raumdimensionen, in denen wir uns drehen, und die 2D-Irrep einem abstrakten komplexen 2D-„Spinorraum“, ganz anders als unsere drei Raumdimensionen, also wird es Sie verwirren, wenn Sie in einem Atemzug mit den drei Raumdimensionen sprechen, da Ihr lästiges Zitat Sie verwirren wird.

Diese wunderbare Gruppentheorie wurde im 19. Jahrhundert aus purer Vernunft erfunden/entdeckt, und als QM im 20. Jahrhundert auftauchte, hatten die Physiker die Werkzeuge bereit, um zu erkennen, dass sie die Auswahlregeln und die beteiligten Zeeman-Phänomene beschrieb. Der Versuch, es von physikalischen "Axiomen" "abzuleiten", ist genauso dumm wie der Versuch, die Matrixrechnung oder sogar Geometrie aus der Physik abzuleiten. Da die Physiker damals mit Lie-Algebren nicht allzu vertraut waren, machten es ihnen raffinierte Köpfe wie Wigner und Dirac (Schwager) leicht, diese Strukturen ohne übermäßigen Formalismus auf die QM anzuwenden; aber am Ende des Tages sollten Sie am besten mit der eleganten und strengen mathematischen Theorie beginnen und sie einfach auf die Physik anwenden, indem Sie sie fast magisch anpassen - so wie es die Geometrie tut.

Sie wissen, dass sich der Spin natürlich aus Diracs Gleichungen ergibt, aber klassischerweise war die Rechtfertigung für den Spin historisch eher ad-hoc. Die Rolle, die Spin spielt, wird gut beschrieben von Anna v.

Was ist Spin? Wann immer Sie diese Art von Frage in QM stellen, geraten Sie in unangenehmes Gebiet, aber hier geht es. Es ist die Eigenschaft, die von gehorchenden Operatoren gemessen wird

$$[L_i, L_j] = i \hbar e_{ijk} L_k$$ Sie ist eine der einfachsten nicht-trivialen Algebren und hat eine gewisse Schönheit. Beispielsweise ist es auf kein Koordinatensystem angewiesen und hat einen natürlichen Maßstab. Dh wenn du dich änderst$L_i \rightarrow \lambda.L_i$ist sofort erkennbar.

Sie brauchen keine Gruppentheorie, um die Darstellung zu verstehen (aber es hilft). Definieren Sie für 1/2 Spin 2 Zustände

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ Und $$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ und suchen Sie nach 3 2x2-Matrizen, die auf ihnen operieren, und befolgen Sie die Kommutatorbeziehungen. Wenn Sie genug herumspielen, springen die Pauli-Matrizen heraus. Einige Algebra zeigt in diesem Fall der Drehimpuls ist$\pm\hbar/2$(Drehung 1/2).

Wenn Sie ein Teilchen mit 3 möglichen Zuständen haben, erhalten Sie (offensichtlich) unterschiedliche Matrizen, und der Spin nimmt die Werte an$-\hbar, 0, \hbar$.

Die Aussage „ Teilchen mit Spin 1/2 ist Drehimpuls in zwei Dimensionen zugeordnet und Teilchen mit Spin 1 ist Drehimpuls in drei Dimensionen zugeordnet “ ist verwirrend. Teilchen mit Spin 1/2 sind mit einem komplexen und 2D-Spinraum verbunden, sie entsprechen nicht direkt dem 2D-Raum (oder der Raumzeit).