Wie kann der Raum euklidisch sein, wenn sich Licht krümmt?

Ich habe Leute gelesen, die argumentierten, dass dreidimensionale Raumabschnitte des Raum-Zeit-Kontinuums (unabhängig von seiner Anzahl von Dimensionen) aufgrund empirischer Beweise euklidisch zu sein scheinen. Ich kann es mit meinem Verständnis nicht vereinbaren

  1. Masse existiert
  2. Masse krümmt das Raumzeit-Kontinuum und 3D-Raumabschnitte
  3. Lichtkrümmung wurde durch Raumzeitkrümmung erklärt.
Die Theorie der Raumzeit und ihrer Krümmung ist die Allgemeine Relativitätstheorie (GR). In GR ist die Raumzeit eine Mannigfaltigkeit , die ein geometrisches Objekt ist, das lokal so aussieht R 3 , dh euklidischer Raum. Ich kenne keine spezifischen experimentellen Beweise, aber sie sollten dem zustimmen.
Ich denke, es ist fair zu sagen, dass die Frage nicht gültig ist, weil der Raum im Allgemeinen nicht euklidisch ist.

Antworten (3)

Es braucht Zeit, bis sich Licht biegt, dh die Lichtbeugung ist eine Folge der Krümmung der Geodäten in der vierdimensionalen Raumzeit. Andererseits scheint eine dreidimensionale Momentaufnahme des Weltraums Geodäten zu haben, die gerade Linien sind (einige Einzelheiten werden unten gezeigt). Genau aus diesem Grund dachten wir so lange, der Weltraum sei euklidisch, und deshalb passen alle erdgebundenen Experimente auf lokaler Ebene gut zur Hypothese der euklidischen Geometrie.

Nehmen Sie zum Beispiel die Schwarzschild-Metrik der Raumzeit um eine kugelförmige Masse (aus Wikipedia):

D S 2 = ( 1 − R S R ) D T 2 − ( 1 − R S R ) − 1 D R 2 − R 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 )

Für R ≫ R S , ist die räumliche Komponente dieser Metrik einfach

D l 2 = − D S 2 ∣ D T = 0 = D R 2 + R 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 )

das ist nur die dreidimensionale euklidische Metrik in sphärischen Koordinaten. Natürlich ist dies nur näherungsweise euklidisch (und die Näherung bricht zusammen für R ∼ R S ), aber es war genug, um uns alle bis Einstein zu täuschen.

Dies sollte also ziemlich einfach mit empirischen Beweisen in Einklang zu bringen sein. Schauen Sie sich einfach die Dinge an und fragen Sie sich: "Die Geometrie der High School funktioniert ziemlich genau, nicht wahr?".

Danke Jwimberley. Erster von zwei Kommentaren. Ich habe Schwierigkeiten mit deinem ersten Teil. In der Tat: Wenn ich mir einen Beobachter und einen Stern vorstelle, die in Bezug auf die Sonne diametral gegenüber sitzen, und den vom Beobachter erfassten Lichtstrahl des Sterns, kann ich nicht anders, als mir eine gekrümmte Flugbahn des Lichtstrahls vorzustellen (Projektion der Strahlbewegung auf die himmlische Äquatorialebene der Sonne im 4D-Zeitraum ) – das ist eine räumliche 2D-Geodäte, die im 2D-Raum gekrümmt ist, wenn man sie einfach von einem euklidischen 3D-Raum aus betrachtet. Sicher fehlt mir etwas. Danke noch einmal
Danke Jwimberley. Zweiter von zwei Kommentaren. Ich habe Schwierigkeiten mit Ihrer Verwendung der Schwarzschild-Metrik. Zunächst interessiert mich r in der Größenordnung von rs – ansonsten haben wir einen flachen Minkowski-Raum. Siehe dann zum Beispiel P. Collier, A Most Incomprehensible Thing, S. 255,6,7 : Für jedes feste t ist der Raum eine Schichtung von Sphären, wahr. Da „r“ jedoch nicht „eigentlicher Abstand (radial)“ ist, verhalten sich Kreise nicht wie im flachen Raum: der richtige räumliche Abstand d zwischen zwei räumlichen koplanaren und konzentrischen Umfängen der Längen 2r und 2r+dr ) ist nicht dr, sondern dr/√(1-2m/r). Danke noch einmal.
Entschuldigung für den Zeichenverlust: Sie waren: räumliche Distanz dsigma; Längen 2 Pi r und 2 Pi (r+dr). Danke.
@massimo Du machst die Dinge viel zu kompliziert. Der Punkt ist, dass, obwohl Ihr Verständnis Nr. 2 wahr ist, die Krümmung des 3D-Raums nicht groß ist, außer in extremen Szenarien. Ich denke auch, dass Sie "scheint euklidisch zu sein" falsch lesen - dies bedeutet, dass der Raum innerhalb der Empfindlichkeit der meisten Experimente ungefähr euklidisch, nicht genau euklidisch ist. Ein solches Experiment: Messen Sie die Fläche eines Dreiecks. Eine andere: Senden Sie eine Sonde zu Pluto mit einem Navigationssystem, das davon ausgeht, dass der 3D-Raum euklidisch ist, wie es die NASA tut.
@massimo Wenn Sie an r in der Größenordnung von rs interessiert sind (was nur ein gutes Modell für Schwarze Löcher ist, da die Schwarzschild-Lösung innerhalb des Sterns ungeeignet ist, insbesondere am Schwarzschild-Radius, der viel kleiner ist als der Radius von ein Stern), dann bricht die annähernd euklidische Natur des Raumes zusammen. Es ist definitiv eine gute Annäherung auf moderaten Skalen, entfernt von Schwarzen Löchern und Bereichen mit extremer Krümmung und kleiner als Hubble-Skalen, bei denen das Universum eine positive oder negative Krümmung aufweisen könnte (obwohl es selbst dort flach erscheint).
Danke Jwimberley. Erster Kommentar von zweien. Über Rs. Rs für die Sonne ist 3 km. Suns R beträgt 700.000 km. Rs/R ca. 10exp(-6), was nicht vernachlässigbar ist (als Stellvertreter der Sonnenoberfläche). Vielen Dank.
Danke Jwimberley. Zweiter Kommentar von zwei. Ich habe es aufgegeben, Dreiecke zu messen, um Nicht-Euklidisch zu erkennen  Denn ich habe das gesehen: Wir messen nur Zeitintervalle (von EW). Die Zeit unterliegt der speziellen Relativitätstheorie und wird auch durch Massenpräsenz beeinflusst. Die Massenverteilung wird von der Störungstheorie behandelt. Genaue Massenwerte sind uns nicht bekannt. usw. Es ist daher nicht möglich festzustellen, inwieweit all diese Faktoren die Berechnung der (sehr kleinen) SPACE-Krümmung aufheben/stören können. Vielen Dank.
@massimo Ich würde sagen, dass Korrekturen in der Größenordnung von 10 ^ -6 für die meisten Zwecke ziemlich vernachlässigbar sind! Etwas, das Berechnungen in der 6. Dezimalstelle bewirkt, wäre historisch schwer zu bemerken gewesen, selbst wenn wir Experimente an der Sonnenoberfläche durchführen könnten (um nicht zu sagen, dass ein Experiment, das dies messen könnte, nicht interessant und wichtig wäre).

Die Aussage, dass der Raum euklidisch ist, ist eine weit gefasste Aussage, die nicht dazu gedacht ist, in der Nähe von sehr massiven Körpern oder in willkürlichen Volumina zu gelten. Ein Sinn, in dem es gemeint sein kann, ist, "im Durchschnitt" für die gesamte Raumzeit - das Universum - als solches zu gelten.

Der beste Kandidat für die Gesamtmetrik der Raumzeit ist die FRLW-Metrik , die die exakte Lösung für ein Universum ist, das homogen und isotrop ist (an allen Punkten in allen Richtungen gleich aussieht). Auf großen Skalen deutet die Homogenität des kosmischen Mikrowellenhintergrunds darauf hin, dass dies eine gute Annäherung an unser Universum insgesamt ist. Es ist geschrieben als

D S 2 = − D T 2 + A ( T ) 2 D Σ 2

modulo ein Gesamtzeichen und ein Faktor von C einstellen 1 , Wo D Σ 2 ist die Metrik eines dreidimensionalen Raums mit gleichmäßiger Krümmung. Nun, es gibt drei verschiedene Arten von Räumen, die sein könnten – ein hyperbolischer (negative Krümmung), ein elliptischer (positive Krümmung) oder ein euklidischer (flacher) Raum.

Diese werden effektiv durch die Art und Weise unterschieden, wie sich die Winkel in einem Dreieck addieren. Betrachten Sie nun den Raum um Sie herum in astronomischen Maßstäben (nehmen Sie also ein Dreieck aus Sternen). Beobachtungen von Astronomen in dieser Richtung haben ergeben, dass es keinen wesentlichen Hinweis darauf gibt, dass der räumliche Teil der Raumzeit in großem Maßstab gekrümmt ist (obwohl dies lokal durchaus der Fall sein kann), obwohl wir aufgrund experimenteller Fehler natürlich nur sagen können, dass die Krümmung liegt sehr nahe bei null.

Eine andere Möglichkeit, in den euklidischen Raum zu gelangen, besteht darin, eine Annäherung an ein schwaches Feld vorzunehmen, dh weit vom Schwarzschild-Radius eines supermassiven Körpers entfernt zu sein.

Der Raum kann willkürlich nahe an Minkowski (Raumteil Euklidisch) gemacht werden, indem ein ausreichend kleiner Viererwürfel der Raumzeit gewählt wird. Ausreichend kleine Volumina sind also in gewisser Weise genau euklidisch.
Danke ACuriousMind. Sie haben genau die Argumente berichtet, die mich ratlos gemacht haben, aber Sie haben ein für mich grundlegendes Unterscheidungsmerkmal hinzugefügt: "[...] es gibt keinen wesentlichen Hinweis darauf, dass der räumliche Teil der Raumzeit in großem Maßstab gekrümmt ist (obwohl dies lokal durchaus der Fall sein kann) [ ...]" indem Sie sagten "obwohl es lokal wohl sein kann", haben Sie meinen Punkt deutlich gemacht: Ist es nicht bereits bewiesen, dass der Raum lokal gekrümmt ist, durch die Tatsache, dass die Raumbahn des Lichtstrahls eines Sterns um die Sonne gekrümmt ist? ? Siehe auch meine Antwort an die freundliche Jwimberley. Danke noch einmal
@massimo Die Krümmung des Lichts um die Sonne ist ein Beweis dafür, dass die Raumzeit lokal gekrümmt ist, nicht der Raum . Natürlich ist der Raum gekrümmt, nur nicht sehr.
@jwimberley, Thks, also können wir uns darauf einigen, dass SPACE zwar "sehr wenig" gekrümmt ist?
Meine Zusammenfassung für Ihren freundlichen Scheck: TEIL1. Geometrie des Raumes - Lokal: Unsere Gleichungen, zB Schwarzschild, sagen uns, dass der RAUM in der Nähe großer Massen gekrümmt ist. Mit Ausnahme von BH ist die Krümmung jedoch zu klein, um unsere Experimente/Anwendungen zu bewirken.
Meine Zusammenfassung für Ihren freundlichen Scheck: TEIL2. Geometrie des Raums global: Unabhängig davon, ob er lokal „leicht holprig“ ist, wenn ich den gesamten Raum betrachte, ist er flach oder gekrümmt (als Kugel oder Hyperboloid)? Zu dieser Frage haben wir KEINE Gleichungen und wir können nur sagen, was aus Beobachtungen hervorgeht: dass es FLACH erscheint.
Ich möchte mich für die anregende Diskussion bedanken und meine bescheidene Schlussbemerkung hinzufügen. Unsere mathematischen Modelle (selbst so einfach wie die von Schwarzschild) sagen uns, dass der Raum lokal gekrümmt und nicht euklidisch ist. Auf qualitativer Ebene macht dies einen großen Unterschied in unserem Verständnis davon, wie radikal und komplex wir sein müssen, um das Universum zu modellieren. Was die quantitativen Aspekte betrifft, scheinen sie vernachlässigbar zu sein 1. HEUTE, aber sie waren sicherlich nicht in den frühen Stadien der Massenkonzentration des Universums 2. Weit entfernt von großen Körpern 3. Für unsere aktuellen Anwendungen/Erfassungswerkzeuge. Vielen Dank
@massimo Ja, ich denke, die Aussagen in deinen letzten drei Kommentaren sind alle richtig

Sie haben absolut Recht, dass dreidimensionale Abschnitte der Raumzeit nicht der euklidischen Geometrie genügen – sie sind nicht flach. Allerdings sind sie fast flach. Auf zimmergroßen Maßstäben ist die Krümmung tatsächlich sehr klein.

Ich kenne den genauen Kontext nicht, in dem Sie gelesen haben, dass "dreidimensionale Raumabschnitte des Raum-Zeit-Kontinuums (unabhängig von seiner Anzahl von Dimensionen) aufgrund empirischer Beweise euklidisch zu sein scheinen", aber ich gehe davon aus, dass die Autoren nicht behauptet haben, dass räumliche Abschnitte wirklich euklidisch sind (im Sinne von flach) nach bestem Wissen und mit unendlicher Präzision. Sie meinten nur, dass solche Schnitte euklidisch erscheinen, wenn man sie mit einfachen Methoden beobachtet .

Wie kann der Raum euklidisch sein, wenn sich Licht krümmt?
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