Wie kann ich die Gewinnmarge in dieser Übertragungsfunktion und der Konstante K berechnen?

Question

Wie kann ich die Gewinnmarge in dieser Übertragungsfunktion und der Konstante K berechnen?

Kontrolle
Physik
Kontrollsystem
Kontrolltheorie

JEAN LEONARDO

Das ist die Problemstellung:

Es gibt einen mechanischen Kran, dessen Übertragungsfunktion gezeigt wird. Wenn das gezeigte automatische System implementiert ist, die Schleife geschlossen und der/die G1-Block(s) hinzugefügt wird/werden, werden Sie gefragt:

a) Bestimmen Sie analytisch, was die Übertragungsfunktion einfacher sein sollte („Typ 0“) für G1 (s), wenn Sie möchten, dass das geschlossene Regelkreissystem stabil ist und dass der Modul der Phasengrenze 60 ° beträgt.

b) Wie hoch wäre die Gewinnspanne unter Berücksichtigung der vorherigen Antwort?

Meine Lösung ist:

Erster Teil:

Zweiter Teil:

Und meine Frage ist:

Die Frequenz w sollte positiv herauskommen, aber sie kommt negativ heraus, das ist nicht gültig, richtig? Im Unterricht meinte mein Lehrer, dass wenn es sich um komplex konjugierte Pole handelt, diese maximal -180° beitragen, aber da der Arkustangens auf -90° begrenzt, müssten wir anders vorgehen, weiß jemand, wie ich diese Aufgabe lösen könnte?

AKTUALISIEREN

Nach Chus Beobachtung

Das sind die Antworten:

a) K = 0,009342

b) GM = 8,54954 ≈ 8,55

Um es zu überprüfen, simulieren Sie es in Scilab, erhalten Sie das Bode-Diagramm in Größe und Phase und trennen Sie GM und seine Frequenz (in Hertz, um es an rad / s weiterzugeben, dividieren Sie es durch 2pi); und auch PM und seine Frequenz (in Hertz, um es in rad / s umzuwandeln, durch 2pi teilen)

Scilab-Konsole

Bode-Plot

jonk

Was ist mit den zwei Parametern arctan ?

Antworten (1)

Wie kann ich die Gewinnmarge in dieser Übertragungsfunktion und der Konstante K berechnen?

Chu · Answer 1

Die Arbeit in arctan ist ziemlich schwierig. Verwenden Sie stattdessen die komplexe Notation, und dies gibt die Antwort: $\omega =\large \frac{\sqrt{5}}{2}$ Rad/Sek.

... Als Antwort auf den Kommentar des OP ...

Ignorieren Sie daher die Zählerverstärkung (10), da diese den Phasenwinkel nicht beeinflusst, und arbeiten Sie von:

G (S) = \frac{(S + 5)}{S (S^{2} + S + 1)}

$G(s)=\frac{(s+5)}{s(s^2 +s +1)}$

Lassen $s\rightarrow j\omega$ :

G (J ω) = \frac{(5 + J ω)}{J ω ((1 - ω^{2}) + J ω)}

$G(j\omega)=\frac{(5+j\omega)}{j\omega((1-\omega^2)+ j\omega)}$ Rationalisierung:

G (J ω) = \frac{(5 + J ω)}{- ω^{2} + J ω (1 - ω^{2})} \times \frac{- ω^{2} - J ω (1 - ω^{2})}{- ω^{2} - J ω (1 - ω^{2})}

$G(j\omega)=\frac{(5+j\omega)}{-\omega^2+j\omega(1-\omega^2)}\times \frac{-\omega^2-j\omega(1-\omega^2)}{-\omega^2-j\omega(1-\omega^2)}$

∴ G (J ω) = \frac{(- 5 ω^{2} + ω^{2} (1 - ω^{2})) - J (ω^{3} + 5 ω (1 - ω^{2}))}{ω^{6} - ω^{4} + ω^{2}} (*)

$\therefore G(j\omega)=\frac{(-5\omega^2+\omega^2(1-\omega^2))-j(\omega^3+5\omega(1-\omega^2))}{\omega^6-\omega^4+\omega^2}\:\:\:(*)$

Für einen Phasenwinkel von $0^o$ oder $-180^o$ , der Imaginärteil des Zählers muss Null sein, also:

ω^{3} + 5 ω (1 - ω^{2})) = 0

$\omega^3+5\omega(1-\omega^2))=0$

∴ ω = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} R A D / S e C

$\therefore \omega=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\mathrm{rad/sec}$

Die negative Frequenz kann ignoriert werden (mathematisch ergibt $0^o$ ), daher ist der Phasenwinkel $-180^o$ bei der Frequenz:

ω = \frac{\sqrt{5}}{2} R A D / S e C

$\omega=\frac{\sqrt{5}}{2}\mathrm{rad/sec}$

... Als Antwort auf den Kommentar des OP (2) ...

Aus Gleichung (*) wird ein Phasenwinkel von -120 Grad erhalten, wenn:

\frac{- (ω^{2} + 5 (1 - ω^{2})}{(- 5 ω + ω (1 - ω^{2}))} = \sqrt{3}

$\frac{-(\omega^2+5(1-\omega^2)}{(-5\omega+\omega(1-\omega^2))}=\sqrt{3}$

∴ \sqrt{3} ω^{3} + 4 ω^{2} + 4 \sqrt{3} ω - 5 = 0

$\therefore \sqrt{3}\omega^3+4\omega^2+4\sqrt{3}\omega-5=0$ Die einzige wirkliche Lösung ist

ω = 0.52576

$\omega=0.52576$ Rad/Sek. Stecken Sie dies daher in den Verstärkungsausdruck, um den erforderlichen K-Wert zu finden, um die Open-Loop-Verstärkung auf 0 dB zu bringen

Was meinst du mit "komplexer Notation", um das Problem zu lösen? kannst du es mir bitte erklären
Danke, ich werde es überprüfen, ich finde es interessant, wie Sie es angegangen sind.
Aber wie würden Sie mit dem ersten Fall arbeiten, in dem der Phasenabstand 60 beträgt? Die Phase wäre -120, um mit der Phase zu arbeiten, müssten Sie immer noch nicht mit dem Arkustangens arbeiten?
@JEANLEONARDO Hier hilft Jonks Vorschlag . atan2()wird im Allgemeinen für Übertragungsfunktionen 2. Ordnung (und höher) verwendet, da es das Vorzeichen verfolgt.
Wie? Könnten Sie es bitte detailliert beschreiben @aconcernedcitizen
@JEANLEONARDO Hast du den Link gesehen, den Jonk gepostet hat? Haben Sie sich insbesondere die Mühe gemacht, zu diesem Abschnitt zu scrollen ?
Ja, @aconcernedcitizen, ich habe die Theorie gelesen, die Jonk über atan2 gepostet hat, aber ich weiß nicht, wie ich sie auf mein Problem anwenden soll.
@Chu Ich habe es gerade mit allen angegebenen Details beendet, die Antworten lauten wie folgt: a) K = 0,009342 b) GM = 8,54954 ≈ 8,55 Um es zu überprüfen, simulieren Sie es in Scilab und erhalten das Bode-Diagramm in Größe und Phase und auseinander GM und seine Frequenz (in Hertz, um es an rad / s weiterzugeben, durch 2pi dividieren); und auch PM und seine Frequenz (in Hertz, um es in rad / s umzuwandeln, durch 2pi teilen); Ich werde die Simulation in meinem ursprünglichen Beitrag anhängen.

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