Wie kann ich die Zeit zum Durchlaufen einer Strecke mit der Tsiolkovsky-Gleichung berechnen?

Nein, Sie können die mittlere Beschleunigung nicht so verwenden, wie Sie es vorschlagen, weil die Gleichung$t = \sqrt{\frac{2\,s}{a}}$geht von konstanter Beschleunigung aus.

Sie müssen das System mit einer Differentialgleichung beschreiben, die die Dynamik des Systems berücksichtigt: Da Sie als Hobby lernen, haben Sie vielleicht nicht viel davon gesehen. Ihr letzter Absatz ist eine korrekte Argumentation und kommt dem, was Sie brauchen, näher. Die richtige Formulierung ist "lösen" oder "umkehren" oder "neu anordnen" der Gleichung, aber "umkehren" ist ziemlich eindrucksvoll und kommt "umkehren" am nächsten.

Sie benötigen weitere Informationen, um Ihr Problem zu lösen: Sie benötigen ein Modell, wie die Masse Ihrer Rakete mit der Zeit abnimmt. Das einfachste (und wahrscheinlich ziemlich genaue Modell) ist, dass die Geschwindigkeit der Massenabnahme eine konstante Massenflussrate ist: Nennen wir dies$q$.

Gehen wir zurück zur Differentialgleichung, aus der die Tsiolkovsky-Gleichung abgeleitet wird. Wir berechnen die Geschwindigkeitsänderung der Rakete$\mathrm{d}\,v$nachdem es eine Masse geworfen hat$\mathrm{d}\,m$hinten raus mit geschwindigkeit$v_e$relativ dazu: relativ zum Rahmen zu einem bestimmten Zeitpunkt, bevor die Masse geworfen wird, ist der lineare Impuls des Gesamtsystems Null: also muss dies der Impuls relativ zu diesem Rahmen sein, nachdem die Masse geworfen wurde. Die Beschleunigung der Rakete ist$m\,\mathrm{d} v$, die durch den Impuls der geworfenen Masse in der entgegengesetzten Richtung ausgeglichen werden muss, so dass:

$$m\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} m} = v_e$$

Dies ist die Differentialgleichung, die gelöst wird, um die Tsiolkovsky-Gleichung zu erhalten. Mit etwas Jonglieren arrangieren wir es neu zu:

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d} s} = \frac{v_e}{m}\,\frac{\mathrm{d}\,m}{\mathrm{d}t} = \frac{v_e\,q}{m}\tag{1}$$

Der erste Schritt ist eine Standardidentität, die die Beschleunigung – also die Änderungsrate – umrechnet$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t}$der Geschwindigkeit über der Zeit$t$, in eine Änderungsrate in Bezug auf die zurückgelegte Entfernung$s$. Nun, aus der Tsiolkovsky-Gleichung haben wir$m(v) = m_0\,\exp\left(-\frac{v-v_0}{v_e}\right)$, Wo$v_0$ist die Anfangsgeschwindigkeit und$m_0$die Anfangsmasse: Wenn wir dies in Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir:

$$\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d} s} = v\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} s}=\frac{v_e\,q}{m_0}\,\exp\left(\frac{v-v_0}{v_e}\right)\tag{2}$$

Dies ist die Differenzialgleichung, die Sie integrieren müssen, um die zurückgelegte Strecke als Funktion davon zu erhalten$v$. Lassen Sie mich wissen, wie Sie mit diesem gehen. Auch aus (1) erhalten wir in obiger Weise aus der invertierten Tsiolkovsky-Gleichung:

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} t} = \frac{v_e}{m}\,\frac{\mathrm{d}\,m}{\mathrm{d}t} = \frac{v_e\,q}{m_0}\,\exp\left(\frac{v-v_0}{v_e}\right)\tag{3}$$

Das ist die Differentialgleichung, die Sie lösen müssen, um sie zu erhalten$v$als Funktion der Zeit.

Die Zeit als Funktion der Entfernung ergibt sich aus dieser letzten Gleichung. Wenn Sie diese letzte Gleichung integrieren, erhalten Sie

$$v(t) = v_o+v_e\log\left(\frac{m_0}{m_0 - q\, t}\right)$$

und dann musst du das integrieren, weil du jetzt die Differentialgleichung hast$\frac{\mathrm{d}\,s}{\mathrm{d}\,t}=v_0+ v_e\log\left(\frac{m_0}{m_0 - q\, t}\right)$. Diese letzte Integration hinterlässt Ihnen:

$$s(t) = v_e\, \left(t-\frac{m_0}{q}\right) \log \left(\frac{m_0}{m_0-q\, t}\right)+t\, (v_0+v_e)$$

Um Zeit zu finden, um eine bestimmte Strecke zurückzulegen, muss, wie angegeben, numerisch vorgegangen werden$s$, Sie haben eine transzendente Gleichung in$t$.