Raumfahrzeugbeschleunigung und Relativitätstheorie

Es sind zwei Effekte im Spiel: Zum anderen geht es ab$0.25c$Zu$0.30c$erfordert mehr Beschleunigung als beim Abfahren$0.20c$Zu$0.25c$, aber andererseits ist die Masse der Rakete in der zweiten Phase geringer, sodass sie eine bessere Beschleunigung erreicht. Die Antwort wird sein: Es kommt darauf an.

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Zunächst müssen wir wissen, wie Raketen nach der Newtonschen Mechanik funktionieren . Dies ist im Grunde die Ableitung der Tsoilkovsky-Raketengleichung . Um die Dinge einfach zu halten, arbeite ich in einer 1D-Welt, in der die Rakete in die positive Richtung beschleunigt.

Die Rakete funktioniert, indem sie Abgase nach hinten drückt. Die durchschnittliche Geschwindigkeit dieser im Referenzrahmen der Rakete ist$v_e$Dies ist (in einem einfachen, aber nützlichen Modell) eine Konstante, die nur vom Motor abhängt und unabhängig von den Massen der Rakete und dem verbleibenden Treibstoff ist. Wenn die Rakete eine Masse verwendet$-dm$(Wo$dm$negativ ist, was einer Änderung der Masse der Rakete entspricht) des Treibstoffs in einem kurzen Zeitraum$dt$, der Impuls des Auspuffs ist$dm \cdot v_e$. Dies ist auch die Änderung des Impulses der Rakete (aber entgegengesetztes Vorzeichen). Insbesondere, wenn die Masse der Rakete (einschließlich des Treibstoffs) ist$m$, die Änderung seiner Geschwindigkeit ist$dv = -dm \cdot v_e / m$. Wir erhalten also eine Differentialgleichung:

$$\frac{dv}{dt} = -\frac{dm}{dt} \frac{v_e}{m}$$ Integrieren Sie dies, wenn die Rakete Treibstoff verbrennt, so dass ihre Anfangsmasse beträgt $m_1$und Endmasse ist $m_2$, ändert sich die Geschwindigkeit der Rakete um $$\Delta v = v_e \ln \frac{m_2}{m_1}.$$

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Nun zur speziellen Relativitätstheorie ! Im Bezugssystem des Beobachters, wenn die Geschwindigkeit der Rakete ist$v$, dann gibt es eine Sache namens Eigengeschwindigkeit $w$welches ist$w= \gamma v$, Wo$\gamma = [1-(v/c)^2]^{-1/2}$ist der Lorentzfaktor. Dies ist nützlich, da die Änderungsrate davon$dw/dt$, Eigenbeschleunigung genannt , ist genau die Beschleunigung, die die Rakete erfährt!

Beim Verbrennen von Treibstoff gibt es im Referenzrahmen der Rakete keine relativistischen Effekte (es sei denn$v_e$ist lächerlich groß), so dass die Rakete eine richtige Beschleunigung erfährt, die die gleiche ist wie im Newtonschen Fall,

$$\frac{dm}{d\tau} \frac{v_e}{m},$$ Wo $\tau$ist Zeit im Rahmen der Rakete, bezogen auf $t$von $dt = \gamma d \tau$. Also bekommen wir $$\frac{dw}{dt} = -\frac{dm}{d\tau} \frac{v_e}{m} = -\frac{dm}{dt} \frac{\gamma v_e}{m}.$$ Andererseits, $$\frac{dw}{dt} = \frac{dv}{dt} \gamma + \frac{d\gamma}{dt} v = \frac{dv}{dt} \gamma + \frac{dv}{dt} \frac{v^2}{c^2} \gamma^3.$$ Finden $d\gamma/dt$ist einfach, aber ein bisschen lang, also werde ich es hier nicht wiederholen.

Wenn wir diese kombinieren, erhalten wir

$$\frac{dv}{dt} \left( 1 + \frac{v^2}{c^2} \gamma^2 \right) = -\frac{dm}{dt} \frac{v_e}{m}.$$ Wenn die Startgeschwindigkeit der Rakete ist $v_1$, Startmasse ist $m_1$, Endgeschwindigkeit ist $v_2$und Endmasse ist $m_2$, Integration dieser Ergebnisse $$c \left( \tanh^{-1} \frac{v_2}{c} - \tanh^{-1} \frac{v_1}{c} \right) = v_e \ln \frac{m_1}{m_2}.$$

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Betrachten wir nun Ihr Problem. Sie haben drei Parameter für die Rakete: die Effizienz der Rakete$v_e$, Masse der Rakete ohne Treibstoff$m_\text{empty}$, und Anfangsmasse des Kraftstoffs,$m_\text{fuel}$. Eigentlich nur$v_e$Und$m_\text{fuel}/m_\text{empty}$egal, also hat man in der Praxis zwei freie Parameter. Ich überlasse es Ihnen, von hier aus fortzufahren.

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Hmm. Ich habe einige Werte nur zum Spaß ausprobiert. Es scheint, dass für die letztere Beschleunigung möglich ist,$v_e$sollte oben sein$0.03c$, was eine ziemliche Rakete erfordern würde!

Hier spielen drei Faktoren eine Rolle...

1) Je weiter sich das Raumschiff von der Erde entfernt, desto weniger Schwerkraft wirkt ihm entgegen. Umso weniger Kraftstoff wird zum Beschleunigen benötigt.

2) Je näher das Raumschiff c kommt, desto mehr Energie/Treibstoff wird benötigt, um das Raumschiff um einen bestimmten Betrag zu beschleunigen.

3) Das Abbrennen von Kraftstoff entspricht weniger Masse, was weniger Energie entspricht, die zum Ändern des Impulses erforderlich ist.

Abgesehen davon müssten Sie die Berechnungen durchführen, um die Antwort auf Ihre Frage herauszufinden.