Wie lange würde ich brauchen, um zu einem fernen Stern zu reisen?

Beginnen Sie damit, darüber nachzudenken, was die Menschen sehen, die Sie von der Erde aus beobachten. Nichts kann schneller reisen als die Lichtgeschwindigkeit,$c$, so dass Sie Kepler 186f am schnellsten erreichen könnten, wenn Sie mit reisen würden$c$in diesem Fall würde es 490 Jahre dauern. In der Praxis würde es länger dauern, weil Sie aus dem Stand heraus beschleunigen müssen, wenn Sie die Erde verlassen, und wieder bis zum Stillstand abbremsen müssen, wenn Sie Ihr Ziel erreichen.

Bisher ist das nicht sehr interessant. Was das Problem interessant macht, ist, dass Uhren auf sich schnell bewegenden Objekten aufgrund von Zeitdilatation langsam laufen . Wenn Sie in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit reisen könnten, wäre die Zeit, die für Sie vergeht, weniger als 490 Jahre und kann tatsächlich viel weniger sein, wie wir weiter unten sehen werden.

Nehmen wir zunächst den einfachen Fall, in dem Sie mit einer konstanten Geschwindigkeit reisen$v$, und wir kümmern uns nicht darum, wie Sie beschleunigt haben$v$oder wie Sie wieder langsamer werden. Wir nennen die Entfernung zum Stern$d$. Für die Leute, die von der Erde aus zuschauen, ist die benötigte Zeit nur die Entfernung, die Sie zurücklegen, geteilt durch Ihre Geschwindigkeit:

$$t = \frac{d}{v}$$

Wenn die Entfernung also 490 Lichtjahre beträgt und Sie mit Lichtgeschwindigkeit reisen, beträgt die benötigte Zeit nur 490 Jahre. Aber wie viel Zeit würden Sie auf Ihrer Armbanduhr messen? Um die Berechnung richtig durchzuführen, müssen Sie die Lorentz-Transformationen verwenden , aber tatsächlich erweist sich die Antwort als sehr einfach. Die Zeit, die Sie messen,$\tau$, ist gegeben durch:

$$\tau = \frac{t}{\gamma}$$

wo$t$ist die auf der Erde gemessene Zeit und$\gamma$ist der Lorentzfaktor und ist gegeben durch:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}}$$

Oder wenn Sie möchten, dass der gesamte Ausdruck vollständig ausgeschrieben wird, messen Sie die Zeit:

$$\tau = \frac{d}{v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Um Ihnen ein Gefühl dafür zu geben, habe ich die Berechnung für die 490 Lichtjahre lange Reise zu Kepler 186f durchgeführt und eine Grafik der von Ihnen gemessenen Zeit als Funktion Ihrer Geschwindigkeit gezeichnet:

Die blaue Linie ist die auf der Erde gemessene Reisezeit, sie geht also auf 490 Jahre zurück$v \rightarrow c$. Die rote Linie ist die auf Ihrer Armbanduhr gemessene Zeit, die gegen Null geht$v \rightarrow c$.

Dies ist jedoch nicht sehr realistisch, da Beschleunigung und Verzögerung ignoriert werden. Nehmen wir stattdessen an, Sie reisen mit konstanter Beschleunigung auf halbem Weg zum Stern, dann überschlagen Sie sich und reisen mit konstanter Verzögerung auf halbem Weg. Dadurch können Sie in Ruhe starten und in Ruhe enden, und Sie erhalten während der Fahrt auch eine schöne künstliche Schwerkraft. Aber wie berechnet man die Zeitdilatation für eine Fahrt mit Beschleunigung?

Die Einzelheiten der Berechnung sind in Kapitel 6 von Gravitation von Misner, Thorne und Wheeler angegeben . Ich werde die Berechnung hier nicht wiedergeben, weil sie überraschend langweilig ist. Sie lösen ein paar simultane Gleichungen, um Differentialgleichungen für die Zeit zu erhalten,$t$, und Entfernung,$x$, und Sie lösen diese beiden Differentialgleichungen, um zu erhalten:

$$t = \frac{c}{a} \sinh\left(\frac{a\tau}{c}\right) \tag{1}$$

$$x = \frac{c^2}{a} \left(\cosh\left(\frac{a\tau}{c} \right) – 1 \right) \tag{2}$$

In diesen Gleichungen$\tau$ist die auf Ihrer Armbanduhr gemessene Zeit,$t$ist die von den Beobachtern auf der Erde gemessene Zeit und$x$ist die von den Beobachtern auf der Erde gemessene zurückgelegte Strecke. Die Zeiten$t$und$\tau$Beginnen Sie in dem Moment, in dem Sie beginnen, zu beschleunigen und die Erde zu verlassen, bei Null. Endlich$a$ist deine konstante Beschleunigung. Beachten Sie, dass$a$ist die Beschleunigung, die Sie messen, dh es ist die Beschleunigung, die von einem Beschleunigungsmesser angezeigt wird, den Sie halten, während Sie in der Rakete sitzen.

Für die Berechnung, zum Beispiel für die Fahrt zu Kepler 186f, nimmt man die erste Hälfte der Fahrt, während die Rakete beschleunigt und untergeht$x$auf diese Distanz. Also für Kepler 186f$x = 245$Lichtjahre. Dann lösen Sie Gleichung (2), um die verstrichene Zeit auf der Rakete zu erhalten$\tau$, und setzen Sie dies schließlich in Gleichung (1) ein, um die verstrichene Zeit auf der Erde zu erhalten. Dies ist die Zeit für die Hälfte der Reise, also verdoppeln Sie sie einfach, um die Zeit für die gesamte Reise zu erhalten. Ich habe dies für eine Reihe von Beschleunigungen getan, um dieses Diagramm zu erhalten:

Auch hier ist die blaue Linie die auf der Erde gemessene Zeit und die rote Linie Ihre Zeit. Bei einer Beschleunigung von nur 0,1 g beträgt die Fahrzeit bereits 76 Jahre (gerade noch machbar in einem einzigen Leben) und bei komfortableren 1 g beträgt die Fahrzeit eine Nuance mehr als 12 Jahre.

Da die Werte aus der Grafik nicht so einfach abzulesen sind, hier einige repräsentative Werte:

$$\begin{matrix} a (/g) & \tau (/\text{years}) & t (/\text{years}) \\ 0.01 & 374.9 & 655.9 \\ 0.1 & 76.8 & 509.0 \\ 1 & 12.1 & 491.9 \\ 10 & 1.7 & 490.2 \end{matrix}$$

Fußnoten für Nicht-Nicht-Nerds

Angenommen, Sie haben mehr als nur ein gelegentliches Interesse an Physik (warum sollten Sie dies sonst lesen!), gibt es noch viel mehr interessante Dinge über beschleunigte Bewegung. Zum Beispiel fragen Sie sich vielleicht, wie das Raumschiff, das mit 1 g beschleunigt, in 12,1 Jahren 490 Lichtjahre zurücklegen kann, wenn nichts schneller als das Licht reisen kann. Die Antwort ist, dass das Raumschiff keine 490 Lichtjahre zurücklegt - die durch seine hohe Geschwindigkeit verursachte Lorentz-Kontraktion bedeutet, dass es eine viel kürzere Strecke zurücklegt.

Wir haben oben die Gleichungen für Entfernung und Zeit, und Sie können sie kombinieren, um die Geschwindigkeit als Funktion der Raumschiffzeit zu berechnen$\tau$. Ich werde das nicht tun, da es nur Algebra ist; Stattdessen zitiere ich einfach das Ergebnis:

$$v = c \tanh \left( \frac{a\tau}{c} \right) \tag{3}$$

Wenn das Raumschiff mit Geschwindigkeit reist$v$relativ zur Erde und zum Zielstern bewegen sich Erde und Stern mit Geschwindigkeit$v$relativ zum Raumschiff, und die Besatzung des Raumschiffs sieht Entfernungen, die durch den Lorentz-Faktor kontrahiert sind:

$$d’ = \frac{d}{\gamma} = d\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

Wenn das Raumschiff abhebt, beträgt seine Entfernung zum Stern 490 Lichtjahre, aber wenn es beschleunigt, verringert sich diese Entfernung aus zwei Gründen. Erstens bewegt sich das Schiff (offensichtlich) auf den Stern zu, aber zweitens verringert die Lorentz-Kontraktion die verbleibende Entfernung.

Um diesen Effekt zu berechnen, arbeiten Sie$x(\tau)$unter Verwendung von Gleichung (2) für die erste Hälfte der Fahrt. Da die Reise symmetrisch ist, können Sie überlegen, bis zur Hälfte der Strecke zu gelangen$x(\tau)$für die zweite Hälfte der Reise. Dann beträgt die verbleibende Entfernung nur noch (für Kepler 186f) 490 Lichtjahre -$x$. Berechnen Sie die Geschwindigkeit mit Gleichung (3) (erneut für die erste Hälfte, dann reflektieren Sie über den halben Punkt). Berechnen Sie den Lorentz-Faktor aus der Geschwindigkeit und multiplizieren Sie, um die kontrahierte verbleibende Entfernung zu erhalten. Die Ergebnisse für 1g Beschleunigung sehen so aus:

Um die Daten übersichtlicher zu machen, habe ich rechts die verbleibende Distanz für die letzte Hälfte der Reise in einem erweiterten Maßstab aufgetragen. Die Diskontinuität ist dort, wo das Raumschiff von Beschleunigung auf Verzögerung umschaltet. Die Grafik zeigt, dass die Schiffsinsassen mit zunehmender Geschwindigkeit die noch zu fahrende Strecke schnell schrumpfen sehen. Umgekehrt nimmt die Lorentz-Kontraktion ab, wenn sie beginnen, langsamer zu werden, und die verbleibende Entfernung nimmt nur langsam ab, bis sie sich dem Ziel nähern.

Sie können sehr schnell zu einem entfernten Stern reisen, indem Sie sich extrem der Lichtgeschwindigkeit nähern ... Wenn Sie dies tun, wird die Zeit, die Sie erleben werden, aufgrund der Zeitdilatation sehr gering sein.

Sobald Sie dort gelandet sind und sich die lokale Zeitung angesehen haben, ist für den Rest der Welt natürlich eine Menge Zeit vergangen, was bedauerlich ist :/

In gewisser Weise ist auch für Sie die gleiche "Zeit" vergangen, Sie haben es nur nicht erlebt!