Was ist die relativistische Berechnung der Reisezeit nach Proxima Centauri?

Um eine solche Berechnung durchzuführen, verwenden wir die flache Minkowski-Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie. Vorausgesetzt, der Reisende kommt während der Reise keinem massiven Körper ausreichend nahe.

Um diese Berechnung nun relativistisch durchzuführen (vorausgesetzt, Sie möchten die Auswirkungen eines sich ändernden Lorentz-Faktors und der damit verbundenen Beschleunigung einbeziehen), müssen wir zunächst einen Ausdruck dafür erhalten/ableiten, wie sich der Lorentz-Faktor eines sich bewegenden Objekts transformiert. Dies ermöglicht es uns, den erforderlichen relativistischen Ausdruck für die Eigenbeschleunigung des Objekts abzuleiten.

Betrachten wir also zwei Trägheitssysteme S (den 'zu Hause bleibenden Beobachter') und S' (den Reisenden) in 'Standardkonfiguration' (d. h. unter der Annahme, dass sich S' mit Geschwindigkeit in die positive x-Richtung bewegt$v$). Lassen$\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})^{\mathsf{T}}$sei der momentane Geschwindigkeitsvektor in S des Reisenden. Wir wollen nun die Geschwindigkeit und finden$\mathbf{u}' = (u'_{1}, u'_{2}, u'_{3})^{\mathsf{T}}$des Reisenden im Rahmen S'. Wir können definieren

$$\mathbf{u} = (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t, \mathrm{d}y/\mathrm{d}t, \mathrm{d}z/\mathrm{d}t))^{\mathsf{T}},$$ $$\mathbf{u}' = (\mathrm{d}x'/\mathrm{d}t', \mathrm{d}y'/\mathrm{d}t', \mathrm{d}z'/\mathrm{d}t'))^{\mathsf{T}}.$$

Aus dieser Definition und der Tatsache, dass sich die beiden Rahmen in der 'Standardkonfiguration' befinden, können wir sofort die bekannten Geschwindigkeitstransformationsformeln (ohne Ableitung) schreiben:

$$u'_{1} = \frac{u_{1} - v}{1 - u_{1}v/c^{2}}, \; u'_{2} = \frac{u_{2}}{\gamma(1 - u_{1}v/c^{2})}, \; u'_{3} = \frac{u_{3}}{\gamma(1 - u_{1}v/c^{2})}.$$

Hier wurden keine Annahmen über die Gleichmäßigkeit getroffen und diese Formeln gelten gleichermaßen für die momentane Geschwindigkeit bei einer ungleichförmigen Bewegung.

Lassen Sie uns jetzt schreiben$u = (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2})^{\frac{1}{2}}$Und$u' = ({u'}_{1}^{2} + {u'}_{2}^{2} + {u'}_{3}^{2})^{\frac{1}{2}}$für die Beträge der entsprechenden Geschwindigkeiten in S und S'. Lassen Sie uns nun die Signatur unseres metrischen Tensors wählen$g_{\mu \nu}$unserer Minkowski-Raumzeit, so dass wir für unsere beiden Trägheitssysteme schreiben können

$$c^{2}\mathrm{d}t'^{2} - \mathrm{d}x'^{2} - \mathrm{d}y'^{2} - \mathrm{d}z'^{2} = c^{2}\mathrm{d}t^{2} - \mathrm{d}x^{2} - \mathrm{d}y^{2} - \mathrm{d}z^{2}.\;(\mathrm{A})$$

In unserer 'Standardkonfiguration' sind die Lorentz-Transformationen für unsere Koordinaten gegeben durch

$$\mathrm{d}x' = \gamma(\mathrm{d}x - v\mathrm{d}t), \; \mathrm{d}y' = \mathrm{d}y, \; \mathrm{d}z' = \mathrm{d}z, \; \mathrm{d}t' = \gamma(\mathrm{d}t - v\mathrm{d}x/c^{2}).\;(\mathrm{B})$$

Jetzt mal ausrechnen$\mathrm{d}t'^{2}$Und$\mathrm{d}t^{2}$bilden die linke und rechte Seite von (A) und mit (B) können wir schreiben

$$\mathrm{d}t^{2} (c^{2} - u^{2}) = \mathrm{d}t'^{2}(c^{2} - u'^{2}) = \mathrm{d}t^{2}\gamma^{2}(v)(1 - u_{1}v/c^{2})^{2}(c^{2} - u'^{2}).\;(\mathrm{C})$$

Jetzt stornieren$\mathrm{d}t^{2}$aus dem Obigen können wir nun die folgende Transformation für erhalten$u^{2}$, das Quadrat der Geschwindigkeit unseres Reisenden:

$$c^{2} - u'^{2} = \frac{c^{2}(c^{2} - u^{2})(c^{2} - v^{2})}{(c^{2} - u_{1}v)^{2}}.$$

Hinweis hier$u_{1}v = \mathbf{u}.\mathbf{v}$so dass die RHS tatsächlich symmetrisch ist$\mathbf{u}$Und$\mathbf{v}$- was bedeutet, dass dies für zwei beliebige unterschwellige 3-Geschwindigkeiten gilt. Schreiben Sie nun die obigen Terme um$\gamma(u)$Und$\gamma(u')$, mit etwas Arbeit erhalten wir die folgenden nützlichen Beziehungen

$$\frac{\gamma(u')}{\gamma(u)} = \gamma(v)(1 - \frac{u_{1}v}{c^{2}})$$

Dieser Ausdruck zeigt, wie sich der Lorentz-Faktor eines sich bewegenden Objekts transformiert (für +ive$v$). Wir können dies nun verwenden, um einen Ausdruck für unsere Eigenbeschleunigung zu erhalten.

Mit der Rapidity-Funktion können wir nun die folgende Ableitung vereinfachen (stark!). Die Schnelligkeitsfunktion$\phi(u)$kann geschrieben werden als

$$\phi(u) = \tanh^{-1} (\frac{u}{c}),$$

wodurch die Geschwindigkeitsadditionsformel in bemerkenswert einfacher Form umgeschrieben werden kann

$$\phi(u) = \phi(v) + \phi(u'),$$

jetzt differenzierend nach (WRT)$t$Erträge

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi(u) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}\phi(u')\frac{\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t}.\;(\mathrm{D})$$

Was geschrieben werden kann als

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi(u) = \frac{1}{c}\gamma^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t},$$

und von (C) oben können wir schreiben$\mathrm{d}t'/\mathrm{d}t = \gamma(u')/\gamma(u)$. Setzen Sie dies und die obige Gleichung (und ihre gestrichene Version) in den obigen Ausdruck für ein$\phi(u)$wir können die gewünschte Beschleunigungstransformationsformel schreiben (hoffentlich habe ich keine Fehler gemacht! :])

$$\gamma^{3}(u')\frac{\mathrm{d}u'}{\mathrm{d}t'} = \gamma^{3}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}.$$

Nun, wenn wir die richtige Beschleunigung definieren$\alpha$(sagen wir), als das, was in unserem reisenden Ruherahmen S' gemessen wird, finden wir auf Einstellung$u' = 0$Und$\mathrm{d}u'/\mathrm{d}t' = \alpha$, unter Verwendung unserer Beschleunigungstransformationsgleichung erhalten wir

$$\alpha = \gamma^{3}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\gamma(u)u].$$

Diese richtige Beschleunigung$\alpha$ist genau der Stoß, den wir in einer beschleunigenden Rakete spüren. Nun endlich, in unserem interessierenden Fall, die geradlinige Bewegung mit konstanter Eigenbeschleunigung$\alpha$. Wir können die obige Gleichung einmal integrieren und wählen$t = 0$Wenn$u = 0$

$$\alpha t = \gamma(u) u. \; (\mathrm{E})$$

Quadriere dies, löse auf$u$und wieder integrieren mit den gleichen Anfangsbedingungen ergeben uns die folgende Bewegungsgleichung

$$x^{2} - c^{2}t^{2} = c^{4}/\alpha^{2}.$$

daher heißt Bewegung mit konstanter Eigenbeschleunigung hyperbolisch!

Wir können Ihre Frage jetzt lösen. Es ist wahrscheinlich, dass wir bei 20 g für die halbe Strecke weit über der Lichtgeschwindigkeit liegen werden. Nehmen wir die obige Version der abgeleiteten relativistischen Bewegungsgleichung für den Frame S. Wenn wir nun die Entfernung auf 2,125 Lichtjahre mit einer Beschleunigung von 20 g setzen, können wir die Zeit berechnen, die benötigt wird, um den halben Weg zu erreichen (unter Verwendung der relativistischen Gleichung). Bewegung oben), vom Referenzrahmen des heimischen Beobachters, der sich als 1531 Tage (oder 4,19 Jahre) herausstellt. Diese Bewegung wird symmetrisch sein, so dass die Zeit, die für die gesamte Reise im Rahmen S benötigt wird (unter Berücksichtigung der vollen relativistischen Bewegung!), 3062 Tage (oder 8,39 Jahre) beträgt.

Nun zu der in Frame S' gemessenen Zeit... Ich lasse Sie das ausrechnen! Es ist nicht so einfach, eine Lorentz-Transformation für die in diesem Fall benötigte Gesamtzeit zu verwenden; wie wir gesehen haben, ändert sich der Lorentzfaktor für einen beschleunigenden Körper.

Was die Höchstgeschwindigkeit angeht, werde ich dies auch als Übung belassen - ich habe absichtlich den Schritt ausgelassen, für den wir die Gleichung herleiten$u$. Du kannst bekommen$u$aus (E) und berechnen Sie die Höchstgeschwindigkeit entsprechend.

Sie werden auch feststellen, dass in der Newtonschen Berechnung die Zeit, die benötigt wird, um den halben Weg zu erreichen, 166 Tage beträgt. Denn die Lichtgeschwindigkeit wird in 17,69 Tagen bei einer Entfernung von 212 Lichtminuten erreicht; mit einer Geschwindigkeit auf halber Strecke von satten 9,38 c! Die relativistische Berechnung spiegelt die Grenze von c in der Berechnung wider.

Ich hoffe, Sie haben genauso viel Spaß beim Lesen wie ich beim Lesen. Sie können sagen, dass ich arbeitslos bin!

Alles Gute.