Wie können Sie modellieren, wie weit sich ein sich drehender Zylinder im freien Fall vorwärts bewegt?

Update : Ich war so interessiert, diese Frage zu beantworten, dass ich eine kleine Simulation des Effekts gemacht habe. Siehe: https://joeiddon.github.io/magnus_effect/ .

Nachdem wir die Wikipedia-Seite zum Magnus-Effekt überflogen haben , können wir davon ausgehen, dass die Magnus-Kraft,$F_m$, ist proportional zur Geschwindigkeit des Zylinders und senkrecht dazu. Beachten Sie, dass es in Wirklichkeit von anderen Faktoren abhängt, wie der Winkelgeschwindigkeit und dem Radius des Zylinders sowie der Dichte der Flüssigkeit (hier Luft), aber ich überlasse es Ihnen, dies hinzuzufügen, wir nehmen es einfach als proportional an zu Geschwindigkeit.

$$F_m \propto v = kv \label{1}\tag{1}$$

Wir wissen auch, dass es die nach unten gerichtete Kraft aufgrund der Schwerkraft gibt. Diese ist proportional zur Masse des Zylinders, kann aber ansonsten über eine kleine Strecke als konstant angenommen werden. Abgesehen von anderen aerodynamischen Effekten sind dies die einzigen zwei Kräfte auf den Zylinder:$F_m$, die gekrümmte Magnuskraft, die senkrecht zur Zylindergeschwindigkeit wirkt, und$W$, das nach unten wirkende Gewicht.

Um dieses Problem zu lösen, sehe ich zwei Ansätze: entweder die Winkeländerung auf Null annähern, sodass die Magnus-Kraft immer nach links wirkt und das Gewicht die einzige vertikale Kraft ist, oder wir versuchen, die Bewegungsgleichung aufzustellen für den Zylinder und genau lösen.

Ich werde den letzteren Ansatz zuerst ausprobieren.

Die Geschwindigkeit des Zylinders habe zwei Komponenten: horizontal$v_x$, und vertikal$v_y$. Wir versuchen nun, die Kräfte auf den Zylinder in Bezug auf diese zu berechnen, dh in ihre vertikalen Komponenten aufzuteilen.

Beginnen wir ohne den Magnus-Effekt. Wenn die einzige Kraft auf den Zylinder sein Gewicht wäre, dann wäre die Beschleunigung in x-Richtung Null,$\dot{v_x} = 0$, und die Beschleunigung in y-Richtung wäre minus der Erdbeschleunigung,$\dot{v_y} = -g$.

Dies wären unsere Bewegungsgleichungen, und wir könnten fortfahren und sie lösen.

Lassen Sie uns nun versuchen, den Magnus-Effekt hinzuzufügen. Da diese Kraft senkrecht zur Geschwindigkeit steht und ihr proportional ist (Gl$\ref{1}$), seine x-Komponente ist proportional zur y-Komponente der Geschwindigkeit und seine y-Komponente ist proportional zur x-Komponente der Geschwindigkeit. Dies ist für Sie möglicherweise nicht intuitiv, ich persönlich habe ein Diagramm mit einem Winkel gezeichnet$\theta$(wie Sie in Ihrer Frage begonnen haben) und ging die Geometrie der Situation durch, bevor Sie zu dem Schluss kamen, dass die x-Komponente der Kraft war$v\cos\theta$, was natürlich die y-Komponente der Geschwindigkeit ist, und ebenso die y-Komponente der Kraft war$v\sin\theta$das ist die x-Komponente der Geschwindigkeit. Wenn Sie dies besser verstehen möchten, werfen Sie einen Blick auf die kreisförmige Bewegung , die die grundlegende Grundlage dieser Idee ist.

Also können wir algebraisch die Magnus-Kraft als Vektor schreiben (als Vektor schreiben, weil man sie nicht tiefstellen kann$F_m$!):

$$\vec F_m = \pmatrix{kv_y \\ kv_x}$$

Jetzt können wir sagen, dass die Gesamtkraft auf den Zylinder,$F$, ist gegeben durch:

$$\vec F = \pmatrix{kv_y \\ kv_x - W}$$

was nur die vertikale Kraft aufgrund der Schwerkraft hinzufügt.

Wir können jetzt das zweite Newtonsche Gesetz verwenden,$\vec F = m\vec a$Bewegungsgleichungen herauszufinden.

$$\vec a = \frac{1}{m}{\vec F} = \frac{1}{m}\pmatrix{kv_y \\ kv_x - W}$$

Das bedeutet, unsere Gleichungen lauten:

$$\begin{align} \dot{v_x} &= \frac{k}{m}v_y \\ \dot{v_y} &= \frac{k}{m}v_x - \frac{1}{m}W \end{align}$$

Dieses System von Differentialgleichungen kann gelöst werden, um die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu finden. Durch Integrieren der vertikalen Geschwindigkeit können Sie die Zeit ermitteln, zu der der Zylinder den Boden erreicht, da Sie die Anfangshöhe kennen, und dann können Sie die horizontale Geschwindigkeit bis zu diesem Zeitpunkt integrieren, um die in x-Richtung zurückgelegte Strecke zu ermitteln!

Ich werde dies nicht für Sie lösen, aber dies ist ein gut definiertes Rechenproblem, dessen Lösungsmethode Sie leicht recherchieren können (die Mathematiker haben den leichten Job, die Physik ist der schwierige Teil!).

Nur zum Abschluss zeige ich Ihnen, wie Sie die einfachere Näherungsmethode lösen, an die ich gedacht habe.

Hier sagen wir, dass wir sagen können, dass der Magnus-Effekt im Vergleich zum Gewicht klein ist, so dass die vertikale Geschwindigkeit von der Magnus-Kraft unbeeinflusst bleibt. Das macht unsere Bewegungsgleichungen viel einfacher:

$$\begin{align} \dot{v_x} &= \frac{k}{m}v_y \\ \dot{v_y} &= \frac{1}{m}W = g \end{align}$$

Um diese einfacheren Gleichungen für die horizontale Verschiebung (unser Ziel) zu lösen, verwenden wir die zweite, um die Zeit bis zum Erreichen des Bodens zu ermitteln, und verwenden dann die erste, um die horizontale Verschiebung zu ermitteln.

Die zweite Gleichung beschreibt eine konstante vertikale Beschleunigung,$a_y = g$, das heißt, es gibt fünf allgemeine Gleichungen, die als SUVAT- Gleichungen bezeichnet werden und auf diese Situation zutreffen. Wir können diese Ergebnisse zitieren, ohne sie herleiten zu müssen.

Wir kennen die anfängliche vertikale Höhe,$s=10m$, und die Anfangsgeschwindigkeit$u=0ms^{-1}$, und wir wollen die Zeit,$t$, also wählen wir die Gleichung, die diese Variablen beinhaltet:

$$s = ut + \frac{1}{2}at^2$$

was unsere Zeit als gibt$t = \frac{2s}{a} = \frac{2s}{g}$.

Jetzt kennen wir die Zeit, die der Zylinder benötigt, um den Boden zu erreichen, und wir können die erste Bewegungsgleichung verwenden, um die horizontale Verschiebung zu finden. Wir sehen, dass diese Gleichung beinhaltet$v_y$das ist die Vertikalgeschwindigkeit als Funktion der Zeit. Glücklicherweise liefern uns die SUVAT-Gleichungen dies, da wir eine konstante Beschleunigung in y-Richtung haben:$v_y = u + at = gt$. Das Einsetzen in die erste Gleichung ergibt

$$\dot{v_x} = \frac{k}{m}gt.$$

Die Horizontalbeschleunigung ändert sich also mit der Zeit. Um die horizontale Verschiebung zur Zeit zu finden$t=\frac{2s}{g}$, müssen wir diese Gleichung zweimal integrieren!

Zuerst integrieren wir, um die horizontale Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu finden.

$$v_x = \frac{k}{2m}gt^2 + c$$

Und die horizontale Geschwindigkeit ist anfangs Null, also$v_x(t=0) = 0$, So$c=0$.

Jetzt können wir wieder unsere Geschwindigkeit integrieren, um die horizontale Verschiebung als Funktion der Zeit zu finden.

$$s_x = \frac{k}{6m}gt^3 + c'$$

Auch hier ist die anfängliche horizontale Verschiebung Null, also$c' = 0$.

Daher kommen wir schließlich zu unserer Endgleichung für die horizontale Verschiebung (natürlich mit Näherung), die lautet:

$$s_x = \frac{k}{6m}gt^3$$

Einstecken in unsere Zeit von$\frac{2s}{g}$gibt die endgültige horizontale Verschiebung an, wenn der Zylinder auf dem Boden auftrifft$\frac{4sk}{3mg^2}$.

Es gibt definitiv Fehler in diesen Berechnungen (das Endergebnis ist nicht einmal dimensional konsistent, also kommentieren Sie die Korrekturen bitte!), Aber sie sollten Sie auf jeden Fall auf den Weg bringen - ich bin von der Korrektheit der Bewegungsgleichungen und des Prozesses überzeugt sie zu bilden, sollte helfen.