Wie lange hätte Cole gebraucht, um die Faktoren von M67M67M_{67} auf einer Tafel zu multiplizieren?

Die berühmte Anekdote von der Ankündigung der Faktorisierung von 1903 2 67 − 1 von Frank Nelson Cole wurde kürzlich diskutiert, zum Beispiel im Lichte der Ankündigung eines weiteren „twittergroßen“ Beweises von Andrew Booker X 3 + j 3 + z 3 = 33 hat eine Lösung .

Obwohl es bereits eine fantastische Aufschlüsselung der Geschichte über HSM und eine noch weitere Überprüfung der von Cole verwendeten Mathematik auf MathOverflow gibt, frage ich mich, ob es weitere Beweise gibt, die Aufschluss darüber geben, wie viel, wenn überhaupt, von der Cole-Geschichte ist wahr.

Ich nehme es als selbstverständlich an, dass Cole tatsächlich eine Rolle gespielt hat M 67 , weil er ein Papier hat, um es zu beweisen.

Die früheste Quelle der Anekdote scheint ET Bells Bericht aus dem Kapitel „Queen of Mathematics“ in James Roy Newmans herausgegebenem The World of Mathematics, Vol. 1 .

Bell schweigt sich darüber aus, wie lange die Multiplikation gedauert hätte. Aber es gibt andere, sekundäre Quellen, die darauf aufbauen. Zum Beispiel sagt Gridgemen : "Später sagte Cole privat, dass diese wenigen Minuten an der Tafel ihn drei Jahre Sonntag gekostet hätten." Wikipedia (19. März 2019) stellt jedoch fest: „Cole kehrte zu seinem Platz zurück, nachdem er während der einstündigen Präsentation kein Wort gesprochen hatte .“

Da die Geschichte, soweit zurückverfolgt werden kann, von Bell zu stammen scheint, haben viele dies als Anscheinsbeweis genommen, dass die Gesamtheit der Geschichte nicht zu glauben ist. Aber ist das hart für Mr. Bell? Eine kaputte Uhr geht zweimal am Tag richtig.

Mindestens eine Frage kann gestellt und beantwortet werden:

Wenn wir die notwendigen Teile der Geschichte berücksichtigen, wie lange würde Cole brauchen, um die Multiplikation an der Tafel tatsächlich durchzuführen ?

Vielleicht würden die Leute nicht eine Stunde schweigender Multiplikation durchhalten, wie es Wikipedia vorschlägt, sondern ein paar Minuten durchhalten, wie es Gridgemen vorschlägt. Meine grobe Schätzung ist, dass es eher zehn Minuten als eine Stunde sind.

Ich werde das Experiment in Kürze durchführen.

Drei Fragen sind irgendwie beantwortbar? Zweifelhaft. Ich denke: Cole hat bei dem Meeting nicht wirklich an der Tafel gerechnet. Diese Geschichte wurde von ET Bell erfunden. Wir kennen auch andere Geschichten in Men of Mathematics , die übertrieben oder sensationell waren. Wenn wir The Search for ET Bell von Constance Reid lesen , stellen wir fest, dass Bell sogar bestimmte Details seines eigenen Lebens fiktionalisiert hat.
Leider gewähren Sie ET Bell zu viel. Detailfragen zu seinen Konten machen keinen Sinn, weil er einfach Details fabriziert hat.
"... eine kaputte Uhr..." wenn meine Uhr kaputt geht, steht da "88:88" :-)
Basierend auf dem Ende Ihres Beitrags dauert dieses Experiment länger als eine Stunde ...
@KCd Ich war auf dem Zaun, ob ich bejahend sagen sollte, dass ich damit experimentieren würde. Ich habe es noch nicht getan, und ich bin mir nicht sicher, ob ich das angesichts der Antwort von Dave L. Renfro unten zusammen mit Ihren Kommentaren dazu tun werde 2 67 − 1 . Du hast mich! Von all den vielen Problemen mit der Cole-Geschichte könnte vieles davon abhängen, „wie lange“ eine solche Berechnung dauern würde, und wenn sie zu lang ist, ist ein Großteil des Rests der Geschichte weniger wahr. Ich stehe zu der Einschätzung, dass eine solche Frage nach dem "wie lange" mit Experimenten beantwortet werden kann, und ich fühle mich besser ...
... über die Kündigung des Kontos von Bell aufgrund der Dauer als über eine Kündigung von Bell per se
@MarkS okay, ich habe das Experiment gemacht, nur die beiden Faktoren zu multiplizieren (nicht um Rechenleistungen von 2 zu finden 2 67 − 1 direkt). Ich bin nicht in der Nähe eines Klassenzimmers, also habe ich es von Hand auf Papier gemacht und die Stoppuhr eines Telefons benutzt, um meine Zeit zu messen. (Wahrscheinlich hätte es auf einer Tafel länger gedauert, da die Berechnung nicht alle an einem Ort in Ihrem Sichtfeld ist.) Ein paar Mal musste ich anhalten und Berechnungen erneut überprüfen. Nach 11 Minuten und 7 Sekunden war ich fertig und bekam eine 21-stellige Nummer, die so aussieht 147 … 927 . Dazu passen die ersten und letzten 3 Ziffern von 2 67 − 1 , aber 9 von 21 Ziffern waren falsch.
@KCd wow, danke, dass du das tatsächlich getan hast! Selbst wenn man zugesteht, dass diese Mathematiker von 1903 geduldiger, stoischer und zurückhaltender waren als die von heute, und sogar zugibt, dass jemand, der „3 Jahre Sonntage“ in dieser Praxis verbracht hat, weniger fehleranfällig sein könnte, schweigen 11 Minuten und 7 Sekunden, plus die Zeit für die Berechnung 2 67 , an einer Tafel klingt nach lebenslanger Folter. #MythBusted?

Antworten (2)

Hand-Berechnung von 193707721 × 761838257287

Das ist ein 9 -Ziffer mal a 12 -stellige Zahl, und würde somit erfordern 9 × 12 = 108 Ziffer-für-Ziffer-Produkte, von denen einige getragen und dann hinzugefügt werden müssen 12 Spalten jeweils mit 9 Ziffern (oder addieren 9 Spalten jeweils mit 12 Ziffern). Angenommen, jeder der 108 Multiplikationen dauert 3 Zu 5 Sekunden (dazu gehört auch das Aufschreiben an der Tafel und manchmal das Tragen) und das Hinzufügen der Spalten etwa dauert 2 Minuten bekommen wir ungefähr 7.5 Zu 11 Protokoll.

Da werden es aber drei sein 7 in der „untersten Zahl“ ist (egal welche Zahl Sie für die „unterste Zahl“ verwenden), sparen Sie fast eine Minute, da Sie beim zweiten und dritten Mal die „obere Zahl“ mit multiplizieren 7 , Sie schreiben einfach auf, was Sie beim ersten Mal gemacht haben (mit einer angemessenen Anzahl von 0 ist rechts). Auch beim Multiplizieren der "obersten Zahl" mit 1 Sie kopieren einfach die "oberste Nummer". Schließlich hatte Cole dies sicherlich schon mehrmals getan, und sei es nur, um seine Arbeit zu überprüfen, so viele der Berechnungen wären ihm vertraut gewesen.

Daher würde ich wetten, dass die Multiplikation ungefähr in etwa an der Tafel durchgeführt wurde 5 Protokoll ( 2 Zu 3 Minuten, wenn er allein war und auf Papier schrieb), zumal seine Fähigkeiten bei der Durchführung solcher Berechnungen bei weitem nicht so verkümmert waren, wie es heute bei den meisten Menschen der Fall ist (aufgrund von Taschenrechnern).

Hand-Berechnung von 2 67 − 1

Meine Vermutung ist, dass er mit einer Macht von begann 2 dass jeder wusste, wie z 2 10 = 1024 , und darauf aufgearbeitet. Wahrscheinlich wäre es am schnellsten, dies zu quadrieren und dann das Ergebnis mit zu multiplizieren 1024 erhalten 2 30 , dann quadrieren Sie diese letzte Zahl, um zu erhalten 2 60 , und schließlich vermehren 2 60 von 128. Ich vermute, das würde ihn herumbringen 6 Zu 10 Protokoll. Ich benutzte einen Online-Rechner und kam zu 2 20 nahm 30 Sekunden (arbeitet schnell, versucht aber nicht, gegen die Uhr zu rennen), aber natürlich mit drei Ziffern 0 Und 1 Und 2 , wenig Arbeit war nötig.

Abschluss

Meine Vermutung ist, dass der gesamte Prozess wahrscheinlich auf relativ gemächliche, aber stetige Weise innerhalb durchgeführt werden könnte 20 Protokoll.

Für das, was es wert ist, habe ich von Zeit zu Zeit lange Multiplikationen wie diese durchgeführt, bevor irgendjemand in meiner Schule einen Taschenrechner hatte (ungefähr als ich alt war 11 Zu 16 ) . Zum Beispiel beim Überprüfen von Ergebnissen, die ich in Büchern oder Artikeln gesehen habe (wie Martin Gardners "Mathematical Games" -Artikel, die ich in Bibliotheksexemplaren von Scientific American oder in einem Bibliotheksbuch seiner Artikel gesehen habe, und ähnlich für einige der bekannten Essays von Isaac Asimov) , oder das Ausarbeiten großer Potenzen von 2 Und 3 , usw. Wie auch immer, ich habe eine ungefähre Vorstellung davon, wie viel Arbeit das bedeuten würde, und obwohl es für jemanden heute entmutigend erscheinen mag, ist es nicht wirklich allzu viel. (Was ich hier vor einem Jahr getan habe , das war jetzt entmutigend.) Es ist einfach nicht etwas, was man in einem Vortrag tun würde, selbst damals. Was ihn „drei Jahre Sonntage gekostet hat“, waren natürlich die Berechnungen, die erforderlich waren, um die Faktoren zu entdecken.

Zählen Sie auch die Rechenzeit 2 67 − 1 von Hand.
@KCd: Ich wusste nicht, dass die Macht von 2 war enthalten, bis ich gerade Ihren Kommentar gesehen habe und mir die zitierten Webseiten noch einmal etwas genauer angeschaut habe. Ich bin ursprünglich davon ausgegangen, dass seit Potenzen von 2 Hätte man einfach in einem Mathe-Handbuch nachgeschlagen, hätte er sich nicht darum gekümmert.
Das macht Bells Geschichte über Cole noch lächerlicher. Zugegeben, jemand, der 2 Potenzen von Hand macht, könnte einfach mit beginnen 2 10 = 1024 , Also 2 11 = 2048 , Also 2 12 = 4096 sagen. Unabhängig davon, ob Lehrbücher eine Tabelle mit Zweierpotenzen hatten oder nicht, konnte ein Vortrag im frühen 20. Jahrhundert nicht davon ausgehen, dass die Leute diese Potenzen irgendwo in der Nähe der 67. Potenz kannten oder dass sie sie von einem Gerät in ihrer Tasche nachschlagen konnten.
@KCd: Referenzen mit Potenztabellen von 2 wären Cole gut bekannt gewesen, und wahrscheinlich waren viele davon in der mathematischen Tabellenabteilung fast jeder halbwegs anständigen Bibliothek zu dieser Zeit zu finden. Siehe zum Beispiel diese verschiedenen Verweise auf solche Tabellen aus dem 19. Jahrhundert . So finde ich den Teil über das Rechnen 2 67 − 1 ein bisschen wahrscheinlicher als der Teil über die Multiplikation der beiden Faktoren aus 2 67 − 1.
Sie haben Recht mit der Zeit, um die beiden Zahlen zu multiplizieren: Ich habe etwas mehr als 11 Minuten gebraucht. Und es stellt sich heraus, dass ich in der endgültigen Antwort ein paar Ziffern falsch berechnet habe. Siehe einen meiner Kommentare zu der geposteten Frage.

Zufälligerweise wurde dieselbe Frage in einer Eingabe an SIGBOVIK 2019 vom 13. März 2019 behandelt und auf den Seiten 225 bis 229 des Tagungsbands veröffentlicht – vier Methoden wurden untersucht (der Autor beschreibt lange Multiplikation als Gittermultiplikation, aber schlimmer und so war es nicht getestet) mit folgenden Ergebnissen:

  • Gittermultiplikation: 11 Minuten
  • Doppelt und halbiert: 21 Minuten, gab falsche Antwort
  • Viertelquadratmultiplikation: Nicht getestet, aber angesichts von Nachschlagetabellen bis zu 200.000 schätzt der Autor, dass 12 Nachschlagevorgänge erforderlich wären, wobei jeder Nachschlag 30 Sekunden bis eine Minute dauern würde
  • Karatsuba-Multiplikation: 17 Minuten, als anachronistisch anerkannt

Die Tests wurden auf Papier durchgeführt; der Mehraufwand für die Durchführung von Multiplikationen an der Tafel wurde nicht untersucht.

Wie lange hätte Cole gebraucht, um die Faktoren von M67M67M_{67} auf einer Tafel zu multiplizieren?
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