Wie lautet die allgemeine Formel für die Zeitdilatation aufgrund von Geschwindigkeit und Schwerkraft zusammen?

Sie haben die Gleichung von Wikipedia falsch verstanden :

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \beta^2 - \beta_e^2 - \frac{\beta_{||}^2 \beta_e^2}{1-\beta_e^2}} \tag{1}$$

In dieser Gleichung$\beta$ist die Radialgeschwindigkeit und$\beta_{||}$ist die Tangentialgeschwindigkeit (beide in Einheiten von$c$). Wenn Sie also ein Objekt betrachten, das radial nach innen fällt, hätte es eine Tangentialgeschwindigkeit von Null, und Gleichung (1) vereinfacht sich zu:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \beta^2 - \beta_e^2 } \tag{2}$$

Auch Wikipedia benennt sehr irreführend$\beta_e$die Fluchtgeschwindigkeit. Sie ist numerisch gleich der Newtonschen Fluchtgeschwindigkeit, aber diese ist nicht gleich der tatsächlichen Fluchtgeschwindigkeit des Objekts. Es ist nur eine bequeme Art, sich auf die Menge zu beziehen:

$$\beta_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{r_s}{r}}$$

Gleichung (2) wird also:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \beta^2 - \frac{r_s}{r} } \tag{3}$$

Die Geschwindigkeit des aus dem Unendlichen einfallenden Objekts ist gegeben durch:

$$\frac{v}{c} = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\sqrt{\frac{r_s}{r}} \tag{4}$$

Siehe zum Beispiel meine Antwort auf Wird ein Objekt in einem Schwarzen Loch immer mit unendlicher Geschwindigkeit fallen? . Das Ableiten von Gleichung (4) ist für den Anfänger etwas umständlich, also überlasse ich das dem Leser als Übung.

Wie auch immer, für Ihr Beispiel eines Objekts, das frei in das Schwarze Loch fällt, das uns Folgendes geben wird:

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^2\frac{r_s}{r} - \frac{r_s}{r} } \tag{5}$$

Ich habe dies grafisch dargestellt, um zu sehen, wie es aussieht, und ich habe Folgendes erhalten:

Also das Verhältnis$d\tau/dt$am Ereignishorizont wie erwartet glatt auf Null geht.