Zeitdilatationseffekte im Zentrum eines binären Schwarzen-Loch-Systems

Stellen Sie sich zwei identische Schwarze Löcher in einer kreisförmigen Umlaufbahn vor, und Alice befindet sich genau in der Mitte des Systems (im Baryzentrum). Bob ist im Unendlichen.

Nehmen wir an, dass Alice und Bob relativ zueinander stationär sind. Alice erfährt keine Nettobeschleunigung (da sie sich im Schwerpunkt des Systems befindet).

Erfährt Alice eine Zeitdilatation relativ zu Bob?

Hier sind einige Argumente dafür, warum sie es nicht tun sollte:

  1. Alice ist relativ zu Bob stationär - also keine speziellen relativistischen Effekte.

  2. Alice beschleunigt nicht - also erfährt sie nach dem Äquivalenzprinzip keine Gravitationseffekte und daher keine Zeitdilatation.

Dies scheint jedoch die falsche Schlussfolgerung zu sein, da sie immer noch im Gravitationsschacht dieses Binärsystems feststeckt und eine Fluchtgeschwindigkeit ungleich Null benötigt, um das System zu verlassen und sich mit Bob zu treffen.

In der Literatur wird in vielen Diskussionen über Zeitdilatation über die Fluchtgeschwindigkeit gesprochen, was einfach ist, wenn es um einzelne kugelsymmetrische Massen geht - aber ich bin mir nicht sicher, wie es auf dieses System zutrifft.

Natürlich könnte die Auflösung hier einfach so sein, dass beide keine relative Zeitdilatation erfahren, aber alle Signale, die sie versuchen, sich gegenseitig zu senden, werden immer gravitativ rotverschoben sein. Und es gibt keine Möglichkeit für sie, sich zu treffen und Uhren zu vergleichen, die den gleichen Zeitverlauf anzeigen.

Sie haben nicht gesagt, wie eng die Schwarzen Löcher umeinander kreisen. Bedenken Sie, ob ein schwarzes Loch oder ob ein Stern, es macht wirklich keinen Unterschied. Die Masse des Körpers und die Umlaufbahn sind alles, was wirklich zählt. Beispielsweise könnte ein Schwarzes Loch mit einer Sonnenmasse unsere Sonne ersetzen und die Mechanik des Sonnensystems wäre weitgehend unverändert. Es wäre sehr kalt und dunkel, aber Zeit und Raum um die Erde herum wären nicht anders als jetzt.
Wie viele scheinen Sie die Gravitationsbeschleunigung mit Potenzial zu verwechseln. Die Zeitdilatation ist effektiv das Gravitationspotential, daher ist die Beschleunigung proportional zum Gradienten der Zeitdilatation, aber nicht zum Wert der Zeitdilatation. Beispielsweise ist die Zeitdilatation im Erdmittelpunkt am größten, während die Erdbeschleunigung dort null ist.

Antworten (3)

Nehmen wir an, dass die Umlaufbahn sehr groß ist, sodass wir die linearisierte Theorie im Zentrum anwenden könnten. Die Raumzeitmetrik ist dann

(1) D S 2 ≈ ( 1 + 2 ϕ ) D T 2 − ( 1 − 2 ϕ ) ( D X 2 + D j 2 + D z 2 ) ,
Wo ϕ ist das Newtonsche Potential. Für zwei Schwarze Löcher auf der Kreisbahn:
(2) ϕ = ∑ k ϕ k = − 2 G M R .
Die Zeitdilatation wird durch folgende Formel definiert (für stationäre Beobachter im Zentrum und im Unendlichen):
(3) D τ = G 00 D T ≈ ( 1 + ϕ ) D T .
Also wäre die Zeitverzögerung des zentralen Beobachters
(4) Δ τ ≈ 2 G M R Δ T .
Beachten Sie, dass, wenn die Umlaufbahn sehr groß ist, damit R ≫ 2 G M , Dann Δ τ ≈ 0 . Die Zeitdilatation wäre vernachlässigbar.

Also, im Geiste der ursprünglichen Frage: Wenn die Umlaufbahn klein ist, erfährt der zentrale Beobachter eine Zeitdilatation?
@XYZT, ja, es sollte eine Zeitdilatation geben.
@XYZT Der erste Satz dieser Antwort legt nahe, dass sie überhaupt nicht auf kleine Umlaufbahnen anwendbar ist: „Nehmen wir an, dass die Umlaufbahn sehr groß ist …“.

Für Ihr spezielles Beispiel lautet die Frage: "Ist die Raumzeit an Alices Standort stärker gekrümmt als an Bobs" oder äquivalent "ist das Gravitationspotential für Alice höher als für Bob"? Und die Antwort ist „Ja“: Es würde tatsächlich Energie kosten, wenn Alice Bob besuchen würde. Sie befindet sich an einem lokalen Maximum des Potenzials, aber nicht an einem globalen Maximum. Sie erfährt also relativ zu Bob eine Zeitdilatation.

Bei der Zeitdilatation geht es mehr um das Gravitationspotential als um die Beschleunigung (genauer gesagt um die Länge des Weges durch die Raumzeit). Die Beschleunigung hat keinen Einfluss auf die Zeitdilatation, außer insofern, als sie die momentane Geschwindigkeit des Objekts ändert; Dies ist das Uhrenpostulat und wurde experimentell in Teilchenbeschleunigern verifiziert, wo Teilchen buchstäblich Millionen von g Beschleunigung erfahren, aber ihre Zeitdilatation relativ zum Laborrahmen vollständig auf ihre Geschwindigkeit zurückzuführen ist.

Das Äquivalenzprinzip besagt, dass in einem beschleunigenden Koordinatensystem (z. B. einem Koordinatensystem, das sich mit einer beschleunigenden Rakete mitbewegt) eine Art Pseudopotential erzeugt wird. Das heißt, es braucht tatsächlich Energie, damit sich jemand am Boden einer beschleunigenden Rakete nach oben bewegt. Aber aus der Sicht eines außenstehenden Beobachters sind die unterschiedlichen Zeiten, die die Uhren oben und unten auf der Rakete zählen, auf ihre unterschiedlichen Bahnen durch die Raumzeit zurückzuführen, was nur indirekt auf Beschleunigung zurückzuführen ist.

Eine teilweise Antwort / erweiterter Kommentar.

Denken Sie darüber nach, wie ein zeitgedehnter Beobachter entfernte Lichtquellen beobachten muss, um auf den Betrag ihrer Zeitdilatation blauverschoben zu werden.

Zum Beispiel: Angenommen, Bob sieht, wie Alice in ein blaues Raumschiff steigt und in Position fliegt, während Alice sieht, wie Bob einen roten Laser bereithält. Bob sieht, wie Alices Raumschiff allmählich rot wird, als sie dort ankommt. Als Alice in Position kommt, richtet Bob seinen Laser auf ihr Raumschiff.

Alice sieht einen blauen Laser, der von ihrem Schiff zurück zu Bob reflektiert wird. Bob sieht einen roten Laser, der von einem roten Raumschiff reflektiert wird. Aber Alice weiß, dass Bobs Laser in Bobs Rahmen rot ist und Bob weiß, dass Alices Raumschiff in Alices Rahmen blau ist. Wenn einer von ihnen die Berechnung durchführt, wird er feststellen, dass die Frequenz des roten Lasers um verschoben wurde + Δ v als es von Bob zu Alice reiste, dann vorbei − Δ v auf dem Rückweg von Alice zu Bob. Der Grund für die Frequenzänderung ist Arbeit: Das Gravitationsfeld wirkt auf den Strahl, wenn er von Bob zu Alice geht, und der Strahl wirkt auf das Gravitationsfeld, wenn er von Alice zu Bob geht.

Die Änderung der Photonenenergie ist proportional zur Änderung der Frequenz: Δ T = H Δ v . Energie wird eingespart. Wenn wir also die Arbeit pro Masse-Energie-Einheit kennen, die erforderlich ist, um ein Masse-Energie-Paket von einem Punkt zum anderen zu bewegen, kennen wir den Zeitdilatationsfaktor zwischen diesen Punkten, unabhängig vom Wert des Gravitations-(Pseudo-)Kraftvektors bei jeder Punkt.

Das ist falsch. Photonen ändern ihre Frequenz im Flug nicht und das Gravitationsfeld wirkt nicht auf den Strahl. Die Rot- und Blauverschiebungseffekte sind ausschließlich auf den Unterschied in den Bezugsrahmen zurückzuführen. Bei Messung im selben Rahmen gibt es keine gravitative Rotverschiebung oder Blauverschiebung. Zum Beispiel haben in Bobs Rahmen die Photonen seines Lasers die gleiche Frequenz, Energie und Farbe, wenn sie auf Alice treffen, wie sie es bei der Emission in der Nähe von Bob hatten. Sie scheinen die Allgemeine Relativitätstheorie mit der Newtonschen Gravitation zu verwechseln. In GR ist die Schwerkraft keine Kraft, also verrichtet sie keine Arbeit.
Ich verwechsle nichts. Pseudokräfte wirken gleich ihrem Abstandsintegral, gemessen durch einen Rahmen, für den die Pseudokraft gemessen wird. Alice und Bob messen beide die Pseudokraft der Schwerkraft, und obwohl Alice ein Universum mit radialer Längenkontraktion misst, misst ihr zeitgedehnter Rahmen eine reziprok schnellere Pseudokraft, so dass ihr Integral und das von Bob identisch sind.
Wenn Sie zum Beispiel einen riesigen Meteor auf einen Planeten werfen, werden die Dinosaurier wenig Trost darin finden, dass der riesige Meteor wirklich nur auf ihn zukam C in gerader Linie in Richtung einer zukünftigen Raumzeit, in der sich der Meteor und die Dinosaurier zur selben Zeit am selben Ort befanden. Die vom Gravitationsfeld geleistete Arbeit, wie sie von den Dinosauriern gemessen wird, verdampft die Dinosaurier wirklich, ob sie im metaphysischen Sinne real ist oder nicht.
Sie verwechseln immer noch die Allgemeine Relativitätstheorie mit der Newtonschen Gravitation. Die Quelle der kinetischen Energie des Meteors in GR ist nicht wie bei der Newtonschen Gravitation die vom Feld verrichtete Arbeit, sondern ein Massendefekt infolge der Zeitdilatation. Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit denselben Integralen für Bob und Alice meinen, aber sie messen eine unterschiedliche Energie desselben Photons. Die Energie eines Photons bleibt in der Schwarzschild-Raumzeit erhalten, wenn es richtig im selben Rahmen gemessen wird, nicht in verschiedenen Rahmen (z. B. zuerst Bob, dann Alice).
Zeitdilatationseffekte im Zentrum eines binären Schwarzen-Loch-Systems
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