Wie leitet man Keplers 1. Gesetz ab?

Ich muss sagen, dass ich Ihnen zustimme, diese Art der Ableitung des Kepler-Gesetzes ist nicht die intuitivste, vielleicht geben sie aus diesem Grund an: "revisited".

R1: Der Grund wird ganz am Anfang des Kapitels angegeben, wo Sie die Beziehung zwischen ableiten$r$und der Winkel zum Perihel$\theta$für den allgemeinen Fall einer Ellipse (Eq 3 in Ihrem Buch in Cap 2.1 Elliptical Orbit, aber ich kann sehen, dass ich eine ältere Version als Ihre habe), wobei:

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\,cos(\theta)}$$

hier ist die Exzentrizität einer Ellipse dann definiert als:

$$e = \sqrt{1- \frac{b^2}{a^2}}$$

im Falle des Keplerschen Gesetzes können Sie die Exzentrizität definieren als$e = D/\mu G M$Und$a$als:

$$a = \frac{L^2 G\, M}{\mu^2\,G^2\,M^2 - D^2}$$

und Sie können in Gleichung (29) arbeiten, wobei Sie die Gleichung in der gleichen Form wie für eine elliptische Umlaufbahn erhalten.

Der Grund abzuleiten$r$liegt daran, dass es die Entfernung des Objekts vom Brennpunkt (Massenmittelpunkt des Systems) angibt, was im Fall des Sonnensystems die Entfernung des Planeten zur Sonne ist (eigentlich der Brennpunkt des Sonnensystems, oder besser gesagt des Sonne-Jupiter-Systems, befindet sich einige Kilometer über der Sonnenoberfläche).

R2: die Exzentrizität$e$Quantifizieren Sie die Form eines Kegelquerschnitts Exzentrizität (Mathematik) Wikipedia .

Zum Beispiel im Fall einer Ellipse, die Sie haben$0 < e < 1$, und es zeigt an, wie stark die Ellipse "gequetscht" ist. Ein weiteres Beispiel, falls vorhanden$e=0$als du einen Kreis hast.

Im Fall von$e=1$Sie haben eine Parabel, aus der Gleichung von$e$oben bedeutet es das$a\gg b$. In einem eher physikalischen Sinne bedeutet dies, dass sich das System nicht in einem gravitativ gebundenen Zustand befindet und das weniger massive Objekt$m_1 \ll m_2$befindet sich auf einer parabelförmigen Flugbahn, die durch die Gravitationskraft von abgelenkt wird$m_2$, und wird nicht im Orbit bleiben.

Mit ausgiebiger Recherche und Nachdenken gelang es mir, meine eigene Frage zu beantworten, aber ich werde die Antwort teilen, da sie niemand zufriedenstellend beantwortet hat.

Q1: der Positionsvektor$\vec{r}$der reduzierten Masse ist auch der relative Abstand zwischen den 2 Massen. Wenn also die reduzierte Masse eine elliptische Bewegung um ihren Massenmittelpunkt erfährt, ist dies äquivalent dazu, den Referenzrahmen eines der Objekte im Binärsystem zu nehmen und den Positionsvektor zu messen des anderen Objekts seit$\vec{r}$ist die relative Entfernung. Was Keplers 1. Gesetz wirklich sagt, ist also, dass in einem binären System die Objekte eine elliptische Bewegung in Bezug auf das andere Objekt durchlaufen.

F2: Da die Exzentrizität gegen 1 tendiert, beachten Sie dies anhand der Formel$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$dass, wenn e gegen 1 tendieren würde,$\frac{b^2}{a^2}$muss gegen 0 tendieren, und dies würde dazu führen, dass sich die Ellipse der Form einer Linie annähert (aber das ist wichtig zu beachten$e=1$würde zu einer Parabel führen, nicht zu einer geraden Linie). Da in einer Geraden Geschwindigkeits- und Ortsvektor parallel sind, wäre L also 0 (da$L=m\vec{r}\times \vec{v}$und wenn sie parallel sind, wäre das Kreuzprodukt 0)