Wie schnell wird Wärme durch Leitung übertragen?

Die Wärmegleichung für diese Art von Problemen (angenommen 1D) lautet

$$\frac{\partial T}{\partial t} = a \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$

Wo natürlich$T$ist Temperatur,$t$ist an der Zeit,$x$ist Position und$a$die Temperaturleitfähigkeit:$a=\frac{\lambda}{\rho c_p}$(bzw. Wärmeleitfähigkeit, Dichte und Wärmekapazität. Diese Gleichung lässt sich aus dem Fourierschen Gesetz ableiten .

Angenommen, Sie haben einen Block auf Temperatur$T_0$die Sie mit einem Temperaturblock in Kontakt bringen$T_1$bei$x=0$. Dann haben Sie eine Reihe von Randbedingungen

$$T(x,0) = T_0 \\ T(0,t) = T_1 \\ T(x\to\infty,t)=T_0$$

Es ist nicht einfach, aber es wurde abgeleitet, dass die Lösung dieser Gleichung ist

$$\frac{T-T_0}{T_1-T_0}=1-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_0^{\frac{x}{2\sqrt{at}}} e^{-s^2}ds$$ Wobei die Lösung dieses Integrals als Fehlerfunktion bezeichnet wird

Diese Lösung beschreibt das transiente und räumliche Profil des erhitzten Materialstücks.

Kurzzeitig wird nur eine bestimmte Menge des Materials erhitzt. Mit der Fehlerfunktion kann man die Eindringtiefe definieren , also$x_p=\sqrt{\pi a t}$, was offensichtlich ein Maß dafür ist, wie weit die erhöhte Temperatur in das Material hineinreicht.

Angenommen, Ihre Domäne hat eine endliche Länge und ist am anderen Ende isoliert. Der Wärmedurchgangskoeffizient von der Wand bei$x=0$ist nahezu konstant, und die Durchschnittstemperatur des Blocks konvergiert mit einem exponentiellen Abfall zur Grenztemperatur (siehe Antwort von Vladimir). Dies kann aus der Wärmegleichung abgeleitet werden, indem man davon ausgeht$\frac{T-T_0}{T_1-T_0}=1 - f(t) g(x/L)$

Hinweis: Dieses Buch wurde als Referenz für einige der Gleichungen verwendet.

Man kann die Zeit bis zum Erreichen eines stationären Zustands leicht abschätzen. Hat man eine Schicht einer bestimmten Dicke und kennt man die thermischen Eigenschaften des Materials, ist das Problem in jedem Lehrbuch zur Wärmeleitung gelöst. Die Temperatur am anderen Ende variiert mit der Zeit und die Endphase ist sehr einfach (als reguläres Regime bezeichnet):$T(t)\approx T(\infty)+Ae^{-\lambda_0 t}$. Der niedrigste Eigenwert$\lambda_0$wird mit der Schichtdicke bestimmt$L$, seine Wärmeleitfähigkeit$\kappa$, spezifische Wärmekapazität$c$und die Materialdichte$\rho$.

$$\lambda_0 = \frac{\pi^2 \cdot\kappa}{4\rho \cdot c \cdot L^2}$$