Wie steigt sogar Wasser entlang einer Glasplatte auf?

Also habe ich mich mit allgemeinen Eigenschaften von Materie und Themen wie Oberflächenspannung beschäftigt. Ich bin auf das Phänomen gestoßen, dass Wasser wie auf dem Bild entlang einer Glasplatte aufsteigt. Ich habe im Internet und in einigen Büchern nach einer mathematischen Interpretation dafür gesucht.

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Ich habe im Internet und in einigen Büchern nach einer mathematischen Interpretation dafür gesucht. Ich habe ein mathematisches Verständnis des Phänomens in dem Buch Kapillaritäts- und Benetzungsphänomene gefunden: Tropfen, Blasen, Perlen, Wellen und auch ausführliche Antworten auf StackExchange wie diese: Wie weit kann Wasser über den Rand eines Glases steigen?

Aber ich beschloss, die Höhe zu finden, entlang der das Wasser auf dem Glas klettert, indem ich die Kräfte auf dem unendlich langen Wasserelement ausbalanciere:

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Es ist zu beachten, dass die Höhe dieses Wasserelements ist H und es hat eine unendliche Länge in der horizontalen Richtung.

Jetzt die Druckkraft P kann berechnet werden als P = ∫ 0 H ρ G z D z = 1 2 ρ G H 2

Beim Ausgleich von Kräften in horizontaler Richtung erhalten wir

P + S = S Sünde ⁡ θ
⇒ 1 2 ρ G H 2 = S ( Sünde ⁡ θ − 1 )
was sicherlich ein Widerspruch ist , da der Term auf der linken Seite zwangsläufig positiv sein muss. Damit glaube ich offenbar widerlegt zu haben, dass Wasser entlang der Glasplatte aufsteigen würde. Aber ich weiß auch, dass das wahr ist, dass Wasser steigen muss, wie aus täglichen Erfahrungen ersichtlich ist. Also, wo geht meine Mathematik schief?

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Antworten (1)

Wenn die Tiefe z von der oberen Spitze des Meniskus nach unten gemessen wird, dann wird in der Tiefe z unterhalb der Spitze der Flüssigkeitsdruck angegeben als:

P ( z ) = P ( 0 ) + ρ G z
wobei p(0) der Flüssigkeitsdruck an der Spitze ist (er ist aufgrund der gekrümmten Grenzfläche zwischen der Flüssigkeit und der Atmosphäre nicht gleich dem atmosphärischen Druck).

Und in der Tiefe z = h, die die untere flache Oberfläche der Flüssigkeit darstellt, ist der Druck atmosphärisch:

P ( H ) = P A = P ( 0 ) + ρ G H
Wenn wir also diese beiden Gleichungen kombinieren, erhalten wir:
P ( z ) = P A − ρ G ( H − z )
Daraus folgt, dass die Druckkraft auf das Fluid (pro Breiteneinheit) vom linken Rand in Ihrer Abbildung (nach rechts wirkend) ist
P = P A H − ρ G H 2 2
Und die Kraft (pro Breiteneinheit) aus der Luft an der rechten Grenze Ihrer Flüssigkeit (nach links wirkend) ist gerade P A H . Die Nettokraft auf die Flüssigkeit (nach rechts wirkend) ist also gerade − ρ G H 2 / 2 . Der Rest Ihrer Analyse ist richtig.

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