Wie stellt die Fläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm die Größe der Verschiebung dar?

Stellen Sie sich vor, Sie teilen Ihr Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm in eine Reihe extrem dünner vertikaler Rechtecke. Es ist vernünftig zu sagen, dass die Geschwindigkeit über eine so kurze Zeit in jedem gegebenen Rechteck konstant ist. Wir können also sagen, dass die in jedem winzigen Moment zurückgelegte Strecke gleich der Geschwindigkeit in diesem Intervall multipliziert mit der Länge des Intervalls (dh der Fläche des Rechtecks) ist. Addieren Sie die über jedes dünne Rechteck zurückgelegte Distanz und Sie erhalten die zurückgelegte Gesamtdistanz.

Denken Sie so darüber nach
Die Geschwindigkeitsfunktion ist ein unendlicher Satz von Werten (entsprechend der Zeit), die einen unendlichen Satz von Geschwindigkeiten (Punkten) beschreiben. In dieser Situation ist diese Menge von Punkten in ihrer Änderungsrate vollkommen konstant. Ein Beispielbereich ist [ 0, 1, 2, 3, 4 ]. Nun ist ein einzelner Wert, der alle diese Werte perfekt darstellt, ein Durchschnitt, da die Änderungsrate konstant ist. Das bedeutet, dass Sie diesen Satz von Werten perfekt mit einem Durchschnitt darstellen können, wobei dieser Durchschnitt ( 4 - 0 ) / 2 ist. Jetzt können Sie mit einem einzigen Wert, der den gesamten Wertebereich (die Geschwindigkeitsfunktion) perfekt repräsentiert, die Fläche berechnen ! Stellen Sie sich vor, dass anstelle eines Diagramms mit steigenden Werten eine positiv geneigte Linie zwischen Zeit 0 und Zeit x (Zeit auf der x-Achse) entsteht. Sie stellen die gleiche Wertemenge mit dem konstanten Einzahlwert Mittelwert dar (in unserem Beispiel 2) und haben als Ihre neue wertrepräsentative Funktion eine Gerade mit der Steigung Null. Multiplizieren Sie einfach die Breite des Rechtecks ​​(Delta x) mit der Höhe des Rechtecks ​​(der Durchschnitt, den wir berechnet haben, 2) und Sie haben Ihre Fläche. Dies ist praktisch die Formel für die Fläche eines Dreiecks.

Ich habe diese Antwort gegeben, weil ich annehme, dass die Frage eine begrenzte oder keine Erfahrung mit Kalkül impliziert, und ich sehe, dass alle anderen Antworten von Konzepten aus Kalkül abgeleitet sind.

Ich schlage vor, für ein intuitiveres Verständnis dieser Situation in den Fundamentalsatz der Analysis zu schauen oder alternativ in die Riemann-Rechtecksummierung zu schauen, die wahrscheinlich von jemandem zu dieser Frage beschrieben wurde.

Nun, das ist der Punkt, Sie können (1) nicht verwenden, außer wenn das Intervall sehr klein ist, so dass Ihre "Entfernung / Zeit" eine gute Annäherung an Ihre momentane Geschwindigkeit ist. Um also die Gesamtdistanz oder Verschiebung zu erhalten (je nachdem, wie Sie es definieren, aber nehmen wir an, wir sprechen von Distanz), müssen Sie die während der gesamten Zeit zurückgelegte Distanz finden, aber die Geschwindigkeit, mit der Sie gefahren sind, hat sich geändert die ganze Zeit, also teilen Sie stattdessen die gesamte Zeit in sehr kleine Zeitintervalle, so dass Ihre Geschwindigkeit in diesen Intervallen als konstant angenähert werden kann, und verwenden Sie dann den Wert der Geschwindigkeit$\frac{dx}{dt}$am Anfang jedes kleinen Intervalls und multiplizieren Sie es mit dem Wert, der das Zeitintervall darstellt, um die Entfernung zu erhalten, d. h. zu integrieren$\frac{dx}{dt}$im Laufe der Zeit. Aber wenn Sie die Geschwindigkeit auf der y-Achse und die Zeit auf der x-Achse darstellen, finden Sie sich selbst, während Sie alle zusammenzählen$\frac{dx}{dt} * \Delta t$, eigentlich Bereiche kleiner Rechtecke zusammenfassend, deren Höhen sind$\frac{dx}{dt}$und deren Breiten sind$\Delta x$. Mit anderen Worten, die ganze "Fläche unter dem Diagramm" ist nur eine Folge Ihrer Darstellung von Geschwindigkeit und Zeit mit rechtwinkligen Koordinaten.

Gleichung (1), wie Sie sie angeben, gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit an. Es passiert einfach so, dass, wenn die Momentangeschwindigkeit (die Geschwindigkeit zu einem einzelnen Zeitwert) konstant ist, wie es der Fall ist, wenn die Beschleunigung 0 ist, die Durchschnittsgeschwindigkeit gleich der Momentangeschwindigkeit ist.

Im Falle einer konstanten Beschleunigung ungleich Null ändert sich die Geschwindigkeit, wie Sie darauf hingewiesen haben. Die durchschnittliche Geschwindigkeit$v_{av}$in diesem Fall ist

Beachten Sie, dass die obigen Gleichungen nur für konstante Beschleunigung gelten.

Daher würde ich deine Gleichungen umwandeln

(1) Durchschnittliche Geschwindigkeit = Weg / Zeit

(2) Verschiebung = Durchschnittsgeschwindigkeit x Zeit

Sowohl im Fall der Nullbeschleunigung als auch im Fall der konstanten Beschleunigung (nicht Null) ist der "Geschwindigkeits"-Wert bei gegebenem festen Zeitintervall ein einzelner Wert, die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Der entscheidende Punkt ist hier genau die Idee der konstanten Geschwindigkeit (Rechteck).

Sei es eine sich beliebig ändernde Geschwindigkeit. Da sich die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt ändert, ist es fast unmöglich, die Verschiebung zu berechnen. An dieser Stelle können Sie am besten den tatsächlichen Wert preisgeben und einen ungefähren Wert akzeptieren . Um dies zu tun, wählen Sie zu bestimmten Zeitpunkten, sagen wir alle 2 Sekunden, den entsprechenden Geschwindigkeitswert und berechnen die Verschiebung, als ob die Geschwindigkeit konstant wäre. An diesem Punkt erhalten Sie am Ende kleine Rechtecke, die kleine Beträge der Verschiebung darstellen. Die angenäherte Gesamtverschiebung ist die Summe der kleinen Verschiebungen.

Um dies besser zu zeigen, verwenden wir das Dreieck (konstante Beschleunigung) Ihres Beispiels. In der ersten Abbildung ist die Verschiebung über der Zeit für ein Teilchen dargestellt, das sich mit einer konstanten Beschleunigung von bewegt$\rm a=1m/s^2$wird gezeigt. Nach$\rm t=10 s$es bildet das Dreieck mit Seiten von 10 mal 10 Einheiten, dessen Fläche ist$\rm \frac{1}{2}×10×10$in rot dargestellt.

Nach dem Anwenden des 2 mal 2 Sekunden langen Abtastvorgangs erhalten Sie die grünen Rechtecke des zweiten Bildes. Wie Sie sehen, ist die angenäherte Gesamtverschiebung eine Unterschätzung der tatsächlichen Verschiebung, da beispielsweise in$\rm t=3s$Sie betrachten immer noch diese Geschwindigkeit als gleich$\rm 2m/s$aber in Wirklichkeit ist es höher ($\rm 3m/s$).

Wenn Sie jedoch immer dünnere Rechtecke erstellen und diese dann zusammenfassen, wird Ihre Annäherung dem tatsächlichen Wert immer näher kommen. Wenn man zum Beispiel ein 1-Sekunden-Sampling verwendet, zeigt der Fehler vorher für for an$\rm t=3s$verschwindet, aber nicht der Fehler für$\rm t=2.5s$oder$\rm t=3.5s$.

Wenn Sie am Ende Instant Sampling (unendlich dünne Rechtecke) verwenden und dann die resultierende unendliche Anzahl von Rechtecken summieren, stimmt Ihr angenäherter Wert mit dem tatsächlichen Wert überein und der grüne Bereich (von dem wir gezeigt haben, dass er der angenäherten Verschiebung entspricht) wird gleich in den roten Bereich, dh der tatsächliche Wert für die Verschiebung entspricht der Fläche unter der Geschwindigkeits - Zeit-Kurve.

Suchen Sie zum Weiterlesen nach den folgenden Schlüsselwörtern .

1. Geometrische Darstellung der Integration.

2. Integration als Summation.

PS: Das bedeutet nicht, dass Vertreibung eine Art „Bereich“ ist. Es ist nur das Ergebnis der Darstellung von Graphen oder Plots von Funktionen auf einem „Blatt Papier“. Das bedeutet, dass, wenn man eine Größe als Graphen darstellt, die Größe einer solchen Größe als Länge dargestellt wird, daher wird jede Größe, die sich aus der Multiplikation der Achsen eines solchen Graphen ergibt, als Fläche dargestellt. Beispielsweise entspricht die Arbeit der Fläche unter der Kraft - Verschiebungs-Kurve, und die elektrische Ladung entspricht der Fläche unter der Stromstärke - Zeit-Kurve.