Warum setzen wir ein unbestimmtes Integral mit einem bestimmten Wert gleich?

Angenommen, wir möchten einen Verschiebungsvektor erhalten, der definiert ist als$\mathbf s(t) = x(t)\mathbf i + y(t)\mathbf j + z(t)\mathbf k$aus den Komponenten eines Geschwindigkeitsvektors$\mathbf v(t) = \dot x(t)\mathbf i + \dot y(t)\mathbf j + \dot z(t)\mathbf k=\mathbf 0$. Nach meinen Notizen kann dies erfolgen, indem jede Skalarkomponente des Verschiebungsvektors mit dem unbestimmten Integral der entsprechenden Skalare des Geschwindigkeitsvektors gleichgesetzt wird, dh

$$\mathbf s(t)=\begin{pmatrix} x(t)=\int \dot x\ dt \\ y(t)=\int \dot y\ dt \\ z(t)=\int \dot z\ dt \end{pmatrix}$$ Aber $\int f(x)\ dx=\{F(x): \frac {dF}{dx}=f(x)\}$, sollte dies syntaktisch falsch sein, weil wir implizieren, dass eine Zahl gleich einer unendlichen Menge von Zahlen ist, oder übersehe ich etwas?

Darüber hinaus führt dies auch zu einer seltsamen Gleichung beim Lösen des Integrals; beispielsweise unter Berücksichtigung der$x$-Bestandteil von$\mathbf s$, das hätten wir

$$x(t)=\int \dot x\ dt=c_1$$

Was richtig ist, aber es würde auch bedeuten, dass die$x$-Komponente der Geschwindigkeit könnte gleich einem beliebigen Wert sein$\mathbb R$. Aus diesem Grund substituieren wir$c_1$mit der Anfangsbedingung und wir setzen es mit Null gleich und geben ihm einen bestimmten Wert:$c_1=0$. Aber für mich klingt das wie ein Bruch der Definition von unbestimmten Integralen, wie$\int \dot x\ dt=c_1=0$würde im Grunde bedeuten, dass ein unbestimmtes Integral eine bestimmte Funktion ist.

Ich weiß, das ist vielleicht eine sehr dumme Frage, und vielleicht hat es mit den gleichen Abkürzungen zu tun, die uns dazu bringen, nicht zu spezifizieren.$\forall c \in \mathbb R$" beim Hinzufügen der Konstante$c$in den Lösungen eines unbestimmten Integrals, aber dieser Zweifel fordert mich wirklich heraus und ich verstehe immer noch nicht, ob ich etwas übersehe oder es eigentlich schreiben sollte$x(t)=c_1=0 \in \int \dot x\ dt$. Vielen Dank im Voraus!