Warum muss die Beschleunigung beim Integrieren konstant sein?

Die Beschleunigung muss nicht konstant sein. Per Definition,$a=dv/dt$. Sie können immer noch nach lösen$v(t)$durch Integration$\int a(t) dt$.

Wenn die Beschleunigung konstant ist, kommen Sie zu der üblichen Situation von$v(t)=v_0 +at$. Wenn die Beschleunigung nicht konstant ist, erhalten Sie ein anderes (interessanteres) Ergebnis$v(t)$da Sie jetzt über eine Funktion integrieren, die enthält$t$.

Zum Beispiel, wenn$a(t)=\frac{a_0}{t^2}$, Dann$v(t)=-\frac{a_0}{t}+v_0$.

Warum muss die Beschleunigung konstant sein?

Die Gleichungen, die Sie angeben, erfordern keine konstante Beschleunigung, sie sind unabhängig davon wahr:

$$\begin{align} v(t) &= \int^t_0 a(t')dt' + v_0 \\ &= \int^t_0 \frac{dv(t')}{dt'}dt' + v_0 \\ &= \int^t_0 dv(t') + v_0 \\ &= v(t) - v(0) + v_0 \\ &= v(t) \end{align}$$

wo ich die Definition von Beschleunigung verwendet habe,$a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$, in Zeile 2. Und ähnlich für Position

$$x(t) = \int^t_0 v(t')dt' + x_0 = \int^t_0 \frac{dx(t')}{dt'}dt' + x_0 = \int^t_0 dx(t') + x_0 = x(t) - x(0) + x_0 = x(t)$$

mit der Definition der Geschwindigkeit,$v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$, im$2^{nd}$Schritt. Entscheidend ist, dass keine konstante Beschleunigung angenommen wurde:$a(t)$könnte alles differentielle sein.

Ich verstehe nicht, warum die Integration als solche eine ständige Beschleunigung braucht.

Im Allgemeinen nicht, aber wenn Sie davon ausgehen, vereinfachen sich die Gleichungen massiv :)

Wenn die Beschleunigung konstant ist, dann$a(t) \rightarrow a$da es nicht zeitabhängig ist. Dadurch können Sie es aus dem Integral herausziehen, wodurch das Integral lösbar wird. Ausgehend von der Definition der Beschleunigung in integraler Form

$$\begin{align} v(t) &= \int a(t)dt \\ &\rightarrow a\int dt \quad\text{ (!!)} \\ &= at+c \end{align}$$

Wo$c$ist eine Konstante und$(!!)$bedeutet, dass ich die Tatsache verwendet habe, dass die Beschleunigung konstant ist. Wenn Sie bedenken$t=0$:$v(t=0) = c$dann wird das klar$c$ist die Anfangsgeschwindigkeit,$v(t=0)$, während ich als umbenennen werde$v_0$.

$$\begin{equation} v(t) = at+v_0 \tag{1} \end{equation}$$

Sie können diesen Vorgang dann mit Position wiederholen,$x$, gegeben die Definition der Geschwindigkeit

$$\begin{align} x(t) &= \int v(t)dt \\ &= \int (at+v_0)dt \quad\text{ (!!)} \\\\ &= \int at dt + \int v_0 dt \\ &\rightarrow a\int t dt + v_0\int dt \quad\text{ (!!)} \\\\ &= \frac{1}{2}at^2 + v_0t + c \end{align}$$

Angesichts$t=0$nochmal:$x(t=0) = c$, also haben wir

$$\begin{equation} x(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + x_0 \tag{2} \end{equation}$$

Die Gleichungen 1 und 2 werden in der gesamten klassischen Physik ausgiebig verwendet, da wir oft einfache Fälle mit konstanten Kräften (z. B. Gravitation und Elektrostatik) betrachten, die konstante Beschleunigungen erzeugen. Es gibt auch einige weitere Gleichungen für konstante Beschleunigung, mehr dazu hier .

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Wenn die Beschleunigung nicht konstant ist, haben Sie eine Funktion von$t$. Zum Beispiel,

$$\begin{align} a(t) &= xt^2 + yt + z \\ v(t) &= \int a(t) dt \\ &= \int (xt^2 + yt + z) dt \\ &= \int xt^2 dt + \int yt dt + \int z dt \\ &= x\int t^2 dt + y\int t dt + z\int dt \\ &= \frac{1}{3}xt^3 + \frac{1}{2}yt^2 + zt + c \end{align}$$