Wenn Sie erwarten, dass jemand die metrischen Kerr-Gleichungen löst, müssen Sie wahrscheinlich einen professionellen Mathematiker einstellen; aber wenn Sie eine Annäherung wünschen, können wir das realisieren. Beginnen wir mit einigen einfachen Ergebnissen und arbeiten uns schließlich zu fortgeschrittenen Ergebnissen vor.

Zielsetzung

Unser Ziel ist es, den maximalen eindimensionalen Spannungstensor zu berechnen, der in Richtung entlang der Achse tangential zur angenommenen sphärischen Oberfläche des Schwarzen Lochs wirkt. Da alle unsere Kräfte aus der Schwerkraft des Schwarzen Lochs stammen, werden sie alle in diese Richtung wirken, also werde ich keine Vektoren verwenden.

Annahmen

• $\text{M}_{b}$ist die Masse des Schwarzen Lochs und gleich$1.99\times10^{31} \text{ kg}$(10 mal die Masse der Sonne).
• Das fragliche Objekt ist ein 1 km langer zylindrischer Stab mit einem Radius von 100 m, wobei der Stab in Richtung einer radialen Linie vom Zentrum des Schwarzen Lochs nach außen ausgerichtet ist. Das Objekt hat eine konstante Dichte$\rho = 1$, es ist gerade nicht so wichtig.
• Das Objekt wird „aufgehängt“, wobei sein Mittelpunkt bei 3/4 des Schwarzschild-Radius des Schwarzen Lochs zentriert ist.

Schwarzschild-Radius

Gegeben von

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$ wobei G die universelle Gravitationskonstante ist ( $6.67\times10^{-11}\frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$), M ist die Masse des Schwarzen Lochs und c ist die Lichtgeschwindigkeit ( $3.00\times10^{8}\frac{\text{m}}{\text{s}}$). Deshalb $$r_s = \frac{2\cdot 6.67\times10^{-11} \cdot 1.99\times10^{31}}{(3.00\times10^{8})^2} = 29500 \text{m}.$$ Daher liegt der lochnahe Punkt unserer Rute mit etwas Rundung bei 22 km, der lochferne Punkt bei 23 km.

Schwerkraft als Funktion des Abstands vom nahen Lochpunkt

Lassen Sie uns ein Koordinatensystem in einer Dimension mit definieren$l = 0$als Lochnahpunkt, und$l = 1000$(in Metern) als Fernlochpunkt unserer Rute. Wir werden die Schwerkraft auf jede infinitesimal kleine Scheibe des Stabs als Funktion davon berechnen$l$Koordinate.

Die Schwerkraft auf eine Masse ist

$$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}.$$ Die Masse einer Scheibe des Stabes (entsprechend der Abstandsableitung der Masse des Stabes) ist gleich der Masse eines Kreises $\frac{dm}{dl} = \rho \pi (100)^2$. Daher ist die Entfernungsableitung der Schwerkraft auf eine Scheibe $$\frac{dF_{slice}}{dl} = 6.67\times10^{-11} \frac{1.99\times10^{31}\cdot \rho \pi (100)^2}{(23000 + l)^2} = \frac{4.17\times10^{25}}{(23000 + l)^2}$$

Integrieren Sie die Abstandsableitung der Schwerkraft

Um die Nettokraft zwischen Punkten zu finden$l = a$und$l = b$, integrieren wir die Abstandsableitung der Schwerkraft in Bezug auf den Abstand vom lochnahen Punkt.

$$\int_a^b \frac{4.17\times10^{25}}{(23000 + l)^2} dl = \left.\frac{-4.17\times10^{25}}{23000 + l}\right|^b_a = -4.17\times10^{25}\left(\frac{1}{23000+b}-\frac{1}{23000+a}\right)$$

Wenn wir dies für die Nettokraft auf die gesamte Stange auflösen, erhalten wir

$$-4.17\times10^{25}\left(\frac{1}{23000+1000}-\frac{1}{23000+0}\right) = 7.55\times10^{19} \text{N}.$$

Jetzt muss dieser Kraft durch eine „Auftriebskraft“ entgegengewirkt werden, die den Stab aus dem Schwarzen Loch hält. Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass die Gegenkraft auf jede Scheibe des Stabes gleichermaßen wirkt, also jeweils eine Scheibe des Stabes von a nach b mit Kraft aus dem Schwarzen Loch gezogen wird

$$F_{lift} = -7.55\times10^{19}\cdot\frac{b-a}{1000}.$$ Beachten Sie, dass die Kraft negativ ist, da sie in Richtung aus dem Loch heraus wirkt.

Lösen Sie für Stress an jedem Punkt in der Stange

Bei dieser Vereinfachung wird die höchste Gravitationskraft am niedrigsten Punkt am nächsten sein$l = 0$. Daher ist die Spannung verursachende Kraft in jedem Abstand$x$In dieser Stange wird die Netto-Schwerkraft und der Auftrieb für alle Scheiben darunter minus der Netto-Schwerkraft und der Auftrieb für alle darüber liegenden Punkte sein.

$$\begin{align}F_{net} =&\left.\frac{-4.17\times10^{25}}{23000 + l}\right|^x_0 - 7.55\times10^{19}\cdot\frac{x-0}{1000}- \left.\frac{-4.17\times10^{25}}{23000 + l}\right|^{1000}_x + 7.55\times10^{19}\cdot\frac{1000-x}{1000} \\ =& 3.55\times10^{21}-\frac{8.34\times10^{25}}{23000+x} + 7.55\times10^{16}\cdot (1000-2x) \end{align}$$

Das Nettokraftdiagramm sieht folgendermaßen aus:

Maximale Kraft ist$1.61\times10^{18} \text{ N}$bei$l=500$.

Stress definiert als$\sigma = \frac{\text{F}}{\text{A}}$. Die Querschnittsfläche ist$\pi(100)^2 = 31415 \text{m}^2$, also maximaler Stress ist

$$\sigma = \frac{1.61\times10^{18} \text{ N}}{31415 \text{m}^2} = 5.12\times10^{13} \text{Pa}.$$

Fazit

Die Berechnung funktioniert und liefert logische Ergebnisse. Die Spannung sollte an den Enden der Stange Null sein (es gibt nichts, wovon man sich lösen könnte) und in der Mitte maximal sein. Die erzeugte Spannung ist sehr hoch, wie es 23 km vom Zentrum eines Schwarzen Lochs entfernt zu erwarten wäre.

Die erforderliche Streckgrenze beträgt etwa 51 TPa. Die erforderliche Materialfestigkeit ist wahrscheinlich mit keinem bekannten oder theoretischen Material erreichbar. Ich kann nichts mit einer Streckgrenze über 1 TPa finden, geschweige denn 51.