Wie viel Arbeit kann eine Kraft an einer Feder leisten? (Warum sind zwei Methoden falsch?)

Was sowohl an Methode 2 als auch an Methode 3 falsch ist, ist das

An diesem Punkt liegt ihre gesamte Energie in Form der potentiellen Energie der Feder vor, wie sie in der Lösung angegeben ist.

Während die anderen Antworten vielleicht schon zeigen, warum die Buchlösung richtig ist, hier ein anderer Gesichtspunkt, der helfen könnte:

Wie groß ist die Nettokraft auf das Objekt?

Dies ist die Formel, die Ihnen die Gleichgewichtsposition von gibt$x_0=F/k$, verschieben wir also unser Koordinatensystem ein wenig, damit$x'_0=0$, dh$x' = x - F/k$.

Was ist nun die Nettokraft in unserem neuen Koordinatensystem, wo das Gleichgewicht bei 0 liegt?

Oh Moment, in diesem Koordinatensystem ist die Kraft auf das Objekt proportional zu seiner Verschiebung – das ist ein harmonischer Oszillator!
Die Ausgangsposition ist die maximale Auslenkung in eine Richtung und wie wir von harmonischen Oszillatoren wissen, ist die maximale Auslenkung in die andere Richtung gleich weit, also die volle Reichweite, die dieses Objekt schwingt$x_{max}=2 F/k$.

Zusammen mit der üblichen Formel von$W=Fx_{max}$Sie erhalten das gleiche Ergebnis wie das Buch. Sie können auch die Energieerhaltung wählen, da die gesamte Energie bei maximaler Verschiebung in der Feder gespeichert wird und sich das Objekt nicht bewegt, was die dritte Zeile ist, die Sie aus dem Buch zitiert haben.$W=\frac{1}{2}kx_{max}^2$. Das ist übrigens. auch die Energie des harmonischen Oszillators.

Oder kurz gesagt: Ihre beiden Methoden funktionieren, wenn Sie die richtige max. Verschiebung.

Ich habe versucht, den Hintergrund für die im Lehrbuch angegebene Lösung zu geben.

Die gespeicherte oder abgegebene Energie ist gegeben durch$\int \vec f \cdot d \vec x$und die wichtige Sache zu beachten ist, dass die Kraft$\vec f$ variiert je nach Erweiterung$\vec x$.
Diese Beziehung wird normalerweise geschrieben als$\vec f = - k \vec x$mit der Kraft$\vec f$die Kraft ist, die von der Feder auf ein äußeres Objekt ausgeübt wird, so dass die Beziehung für eine (äußere) Kraft, die auf die Feder wirkt, ein positives Vorzeichen hat.

Also die gespeicherte/freigesetzte Energie$\displaystyle \int_0^x kx \,dx = \frac 12 kx^2$

Lassen Sie die statische Dehnung der Feder bei einer Kraft$F$angewendet wird$x_o$und so$F=kx_o$und die in der Feder gespeicherte Energie ist$\frac 12 kx^2_o$.

Die Situation im Problem ist insofern anders, als eine konstante Kraft$F$aufgebracht wird und die Arbeit, die durch die Kraft beim Bewegen in die statische Extensionsposition verrichtet wird, ist$Fx_o$.
Beim Bewegen der Masse zu dieser statischen Verlängerungsposition wird die Kraft$F$hat auch die Masse beschleunigt.
Die Masse hat also auch kinetische Energie, die berücksichtigt werden muss, wenn man die von der Kraft geleistete Gesamtarbeit finden muss$F$bezüglich$k$Und$F$.

Nun muss die kinetische Energie die von der Kraft verrichtete Arbeit sein$Fx_o= kx^2_o$abzüglich der in der Feder gespeicherten Energie$\frac 12 kx^2_o$.
Also die kinetische Energie$\frac 12 kx^2_o$.

Beachten Sie, dass, obwohl die Nettokraft auf die Masse an der statischen Verlängerungsposition Null ist, die Masse sich bewegt und so die statische Gleichgewichtsposition und die Kraft überschreitet$F$arbeitet weiter, da die Richtung der aufgebrachten Kraft und ihre Verschiebung immer noch in derselben Richtung sind.

Lassen Sie die Verlängerung, wenn die Masse endlich aufhört sein$x_{\max}$.
Dies geschieht, wenn die von der Kraft geleistete Arbeit vollständig als potentielle Energie in der Feder gespeichert wird$FX=\frac12kx_{\max}^2$und dies ist die Gleichung, die in der Lösung des Lehrbuchs angegeben ist.

Verwenden$F=kx_o$gibt$x_{\max}= 2x_o$.

Also die maximale Arbeit, die von der Kraft geleistet wird$F$Ist$F\,2x_o=\dfrac{2F^2}{k}$