Wie viel Wasser muss durch den Kanal fließen, um eine konstante Wassertiefe aufrechtzuerhalten?

Aufgrund der möglichen Anwendung der Frage gehe ich davon aus, dass die Frage Konstruktionsparameter für eine Wasserrutsche liefern soll. Da die Wassertiefe durch die Beschleunigung verringert wird, ist die eigentliche Frage, wie dem Kanal Widerstand hinzugefügt werden kann. Widerstand kann durch die Unterbrechung durch die Verwendung von Drehungen und Wendungen bereitgestellt werden. Ich würde empirische Daten eines tatsächlichen Aufbaus für ein Modell generieren. Ein Wasserdurchflussmesser könnte zeigen, wie verschiedene Graddrehungen die Geschwindigkeitsreduzierung der Flüssigkeit beeinflussen. Die Verwendung einer Flüssigkeit mit niedrigerer Viskosität könnte helfen, die Größe des Rohrs für Modellierungszwecke zu verringern. Da die Flüssigkeit nicht unbedingt im Durchmesser eines Rohrs enthalten ist, sind gängige Gleichungen nicht anwendbar, aber jemand in diesem Forum kann etwas Nützliches im Modellierungsbereich liefern.

Ich denke, es gibt einen grundlegenden Unterschied zwischen dem geneigten Hang und einer ebenen Fläche.

Wenn Sie den geneigten Fall betrachten, haben Sie die Schwerkraft als treibende Kraft, um die Strömung nach unten zu beschleunigen. Wenn die Flüssigkeit beschleunigt, wissen Sie aus der Massenerhaltung, dass der Wert von$h$am Hang nimmt ab. Aber irgendwann gab es Reibung an der Wand, die eine weitere Beschleunigung verhinderte. Konzentrieren wir uns auf diesen weit stromabwärts gelegenen Punkt, wo

Daher wissen wir das auch$\vec{u}(x,y)$reduziert zu$u(y)$, nur eine Geschwindigkeitskomponente in Richtung parallel zum Boden, die sich nur in Richtung senkrecht zum Boden ändert.

Wir wissen aus Erfahrung, dass diese Art von laminarer Strömung ein Poisseuille-Profil ergibt, also gehen wir davon aus$u(y)=ay^2+by+c$und Randbedingungen.

• Bei$y=0$,$u(0)=0$
• Bei$y=h$,$\frac{du}{dy}=0$, weil es an der freien Oberfläche keinen Schlupf gibt.
• Wir wissen jetzt, dass die Masse also erhalten bleibt$\int_0^h u(y)dy=Q$mit$Q$die Durchflussmenge. Beachten Sie, dass$Q$Maße hat$m^2/s$da dieser Fall zweidimensional ist.

Dies geben$c=0$,$b=-2ha$Und$a=-\frac{2}{3}\frac{Q}{h^3}$jeweils und damit

Jetzt werden wir die Reibung entlang des Bodens mit der Schwerkraft auf die Masse ausgleichen. Dies gilt, da kein Druckgefälle wirkt (der Druck oben ist gleichmäßiger Umgebungsdruck).

Die Reibungskraft entlang des Bodens über eine Länge$\Delta x$gleich$\mu\frac{du}{dy}(0)\Delta x$und die Schwerkraft in dieser Richtung gleich ist$\rho h g \sin \alpha$, Wo$\mu$ist die Viskosität,$\rho$die Dichte u$\alpha$der Neigungswinkel zur Horizontalen.

Aus diesem Ausdruck sehen Sie, dass mit zunehmender Durchflussrate die Höhe des Films zunimmt. Auch wenn Sie den Neigungswinkel verringern, nimmt die Filmdicke zu.

Schließlich erhöht eine Erhöhung der Viskosität die Filmhöhe. Das macht Sinn, wenn man bedenkt, dass bei mehr Reibung die gleiche Fläche mehr Masse aushalten kann.