Wie weit kann eine Zivilisation ohne Zero werden?

Mehr oder weniger genau das, was auf der Dose steht. Beginnen Sie mit einer Gruppe von Höhlenmenschen auf der prähistorischen Erde, entdecken Sie Feuer, Sprache, Räder usw. und gehen Sie mit ihnen auf den Weg zur Zivilisation, aber mit einem großen Unterschied: Zu keinem Zeitpunkt wird irgendjemand jemals an das Konzept der mathematischen Null denken.

Wie groß wäre das Hindernis? Wie viele Technologien hätten ohne Null-inklusive-Mathematik erfunden werden können? Sie könnten Dinge wie Töpferei, Schmelzen und Landwirtschaft haben, alles gut. Vielleicht stolpern Sie sogar in einige der grundlegenderen Technologien wie die Druckerpresse oder die Baumwollentkörnung, ohne sich der Null bewusst zu sein. Aber Dinge wie Physik oder Wirtschaft wären knifflig oder vielleicht sogar unmöglich. Wie viel von unserer modernen Gesellschaft ist in irgendeiner Weise auf Null angewiesen, und wie weit wären wir ohne sie gekommen?

Ein paar Details:

  • Base 10 existiert nicht, wir laufen wahrscheinlich von Base 9 ab
  • Alles, was kompliziertere Mathematik als einfache Algebra beinhaltet, kommt überhaupt nicht in Frage (Orbitalphysik, fortschrittliche Elektronik usw.).
  • Alles, was machbar herausgefunden werden könnte, ohne zuerst zu rechnen, ist Freiwild, aber nicht, wenn es eine vorausgesetzte Entdeckung hat, die Mathematik erfordern würde. So könnten Sie zum Beispiel wahrscheinlich eine Dampfmaschine erfinden, wenn Sie nur genug über Dampfdruck und dessen Verhalten auf engstem Raum wissen, aber Sie könnten wahrscheinlich kein Radio erfinden. Außerdem ist es möglicherweise keine sehr gute Dampfmaschine, weil Sie möglicherweise nicht einfach in der Lage sind, die Kräfte zu berechnen, die auf das Metall wirken, aus dem der Kessel besteht, sodass das Ganze explodieren könnte.
  • Vieles davon wird wahrscheinlich mit größeren Organisationsstrukturen zu tun haben. Mit anderen Worten, es geht nicht darum, den Zug zu erfinden, sondern dafür zu sorgen, dass der Zug pünktlich fährt.
Obwohl dies eine interessante Frage ist, scheint sie äußerst meinungsbasiert zu sein. Vielleicht könnten Sie weitere Einschränkungen hinzufügen, um dieses Problem zu beheben.
Das Fehlen einer Null würde die Mathematik erschweren. Die meisten Technologien wurden jedoch von Praktikern und Frauen ohne den Vorteil von Zahlen entwickelt. Technologie könnte eine vernünftige Distanz entwickeln, würde es. Die Wissenschaften wahrscheinlich nicht. Das Problem ist, dass das Konzept der Null zu nützlich ist, als dass jemand es nicht erfinden könnte. Dies wird viele Male unabhängig voneinander geschehen.
Jedes Standard-Stellenwertsystem benötigt eine Null, egal ob zur Basis 10 oder zur Basis 9 oder zur Basis 27. (In der Standardbasis 9 verwenden Sie die Symbole „10“, um 8+1 darzustellen.)
Eine Sache ist, kein Symbol zu haben, das Null darstellt, und eine andere Sache, kein abstraktes Konzept von "Nichts" zu haben. Sogar ein Kleinkind weiß, dass es ohne Spielzeug bleibt, wenn es ein Spielzeug hat und Sie ihm dieses Spielzeug wegnehmen. Und er weint. Alle Mathematik beginnt mit dem Zählen, und selbst die einfachsten Tiere kennen den Unterschied zwischen „etwas“ und „nichts“.
Was meinen Sie mit dem „Konzept der mathematischen Null“ ? Wenn Sie ein Mittel zur Darstellung von "keine Äpfel" meinen, dann habe ich noch nie von einer Sprache gehört, in der ein Wort für "nichts" fehlt. Latein hat nullus und nihil (und nil ), Griechisch hat οὐδείς ... Wenn Sie in der Geschichte der Zahlentheorie sind, dann wissen Sie wahrscheinlich, dass man für die alten Griechen keine Zahl war.
Das ist eine ziemlich interessante Frage, aber einige Ihrer Prämissen sind falsch. Basis 10 wurde ohne Null entwickelt (zumindest Griechen). Sie entwickelten auch Mathematik, die komplexer als Arithmetik ist: Geometrie, Trigonometrie und "Methode der Erschöpfung", die Proto-Kalkül ist. Auch die Griechen haben eine Dampfmaschine erfunden, bevor sie eine Null hatten – eine der großen Fragen der Geschichte ist, warum sie sie nie weiterentwickelt haben. Übrigens, wie andere angemerkt haben, hatten die meisten alten Zivilisationen ein Konzept der Nichtigkeit; Was erfunden werden musste, war die Positionsnull .
Obligatorischer Dilbert: dilbert.com/strip/1992-09-08
Ich persönlich bin ein wenig gespannt, ob ein Zahlensystem ohne Nullkonzept die klassische Ausnahme „Teilen durch Null“ vermeiden oder zu einer Alternative führen würde.
Einer der weniger bekannten Gründe für den Niedergang der römischen Zivilisation war, dass sie mangels Null keine Möglichkeit hatten, ihre C-Programme erfolgreich zu beenden (Dieser Witz ist fast so alt wie C oder die Römer; ich kann keine Anerkennung dafür beanspruchen dafür)
@DavidThomas Römische Ziffern hatten nicht wirklich Null. Andererseits war die Division mit römischen Ziffern ohnehin schwierig. Auf die Idee, durch Null zu dividieren, wäre sicherlich nie gekommen – aber nur, weil die Römer ohnehin nie höhere Mathematik entwickelt haben. Nichts außer grundlegendem Zählen und Geometrie.
Die Römer hatten ein 0- und ein Stellensystem, nur keine Notation dafür. Sie verwendeten den Abakus in der Technik, der ein vollständiges Stellenwertsystem mit Nullen in den entsprechenden Spalten ist. (Und der Abakus kann auch zum Multiplizieren und Dividieren verwendet werden.) Römische Ziffern wurden notational verwendet, nicht rechnerisch.
@DoktorJ ist mir zuvorgekommen :(
@AlexP: Ich denke, die Stoßrichtung des "Konzepts der mathematischen Null" lässt sich am besten wie folgt beschreiben: Wenn Sie gefragt werden: "Wie viele Äpfel haben Sie?", Ist Ihre Antwort eine Quantifizierung ("Null") oder lehnen Sie die Prämisse ab ( "Ich habe keine Äpfel."). Manche Menschen können sich heute nur noch letzteres vorstellen; dass die Verwendung des Wortes "Null" nur eine lustige Art ist, es auszudrücken.
@Hurkyl: In diesem Fall hatten die Römer das Konzept der Null, weil man auf Latein "nullum mālum habeo" antworten kann , ich habe keine Äpfel.
"Base 10 existiert nicht, wir laufen wahrscheinlich von Base 9 ab" - der Punkt? 1, 2.. 9, 1a, 11.. und a wird nie allein verwendet. Ein weiteres Problem wäre, warum diese Zivilisation eine bestimmte Basis verwendet, aber das ist hier nicht relevant.

Antworten (3)

Ich denke, die Frage ist nicht so sehr, was wir ohne Null tun können, sondern wie die Null unentdeckt bleiben könnte, wenn die Menschen voranschreiten.

Eines meiner Lieblingszitate von einem meiner liebsten zeitgenössischen Mathematiker (Roger Penrose) ist, dass es immer möglich ist, Gleichungen aus Zahlen eines bestimmten Typs zu erstellen, deren Antwort über diesen Typ hinausgeht:

  • Positive ganze Zahlen: 1 − 1 = a oder 1 − 6 = a
  • Alle ganzen Zahlen: 1 2 = a
  • Begründungen: 2 = a
  • Irrationale: − 1 = a

Vor der Wissenschaft war der Handel der Hauptantrieb der Mathematik. Wie können wir möglicherweise ein Konto auszahlen, wenn es kein Nullkonzept gibt? Wie verbuchen wir Salden als vollständig bezahlt?

Es ist nicht so sehr, dass wir ohne das Konzept der Null nicht vorankommen könnten, es ist vielmehr so, dass die Entdeckung des Konzepts der Null immer ein Nebenprodukt des Fortschritts war. Konzeptionell sollte es immer in der Mathematik auftauchen, weil es ein notwendiges Konzept ist, auf dem wir zusätzliche Grundlagen aufbauen.

Ich würde argumentieren, dass der anfängliche Kampf der Griechen mit Null als Konzept die westliche Zivilisation nur um mehrere Jahrhunderte zurückgedrängt hat, anstatt sie wirklich zu behindern. Als es im Mittelalter von den spanischen Mauren (wieder) in die europäische Kultur eingeführt wurde, wurde es als Notwendigkeit angenommen. Dass Ägypten (zum Beispiel) das Konzept der Null fast 2 Jahrtausende vor der Zeit Jesu hatte, sollte es als ein Konzept identifizieren, das immer unvermeidlich war.

Um die Irrationalen zu entdecken, ist sqrt(2) eine einfachere Methode, die innerhalb der Grenzen der Algebra bleibt.
Ich denke, die Frage ist tatsächlich, wie wir all das Zeug machen könnten. Und wenn nicht, was würden wir stattdessen tun? Es ist eine mentale Übung, kein Aufruf zur Revolution. Sprechende Baummenschen sind noch weniger plausibel, aber das hinderte Tolkien nicht daran, eine vollkommen gute Welt zu bauen.
Zum letzten Absatz: Es wäre umstritten, dass sie kein Konzept von Null hatten. Sie wussten wahrscheinlich ziemlich genau, dass es null Mengen von etwas geben kann. Wie sie es in ihrem Schriftsystem und ihren numerischen Darstellungen symbolisieren , war das große Problem, nicht dass sie keine Ahnung von dem Konzept hatten, dass es null Mengen von etwas geben kann.
@Draconis Möglicherweise, aber ich denke, dies veranschaulicht besser, dass alles eine Frage der Definition ist.
@vsz Nein, sie hatten genau keine Ahnung von "null Menge von etwas" . Sie hatten die Vorstellung, dass es „ eine Menge von etwas“ und „ nichts “ gibt. Für sie war es ein Kategoriefehler, kein Punkt auf einem einheitlichen Gradienten.
In ähnlicher Weise "wie verbuchen wir Salden als vollständig bezahlt?" Sie löschen, kreuzen, stempeln usw. den Hauptbucheintrag. Es gibt keine Schulden, es gibt keine Schulden in Höhe von null.
Diese Gleichungen sollten eigentlich lauten: ● „Positive ganze Zahlen: 1 = 1 + a oder 1 = 6 + a “, ● „Alle ganzen Zahlen: 1 = 2 · a “, ● „Rationale Zahlen: Sei a die kürzeste Länge eines geschlossenen Pfades um ihn herum irgendeinen Punkt p haben kann, ohne sich p jemals auf eine Entfernung von weniger als ½ zu nähern“, ● „Irrationale Zahlen: a ² = -1“. Denn Konzepte wie der Divisionsoperator oder die Quadratwurzel aus Negativen sind einfach nicht sinnvoll , bevor man definiert, welche Eigenschaften dieser eigentlich erfüllen soll.
Ohne Null oder Negative ist Ihre Vorstellung davon, was Subtraktion ist, anders. 1 - 2 ist nicht "-1", es ist nichts, weil Sie vom Ende des Diagramms gefallen sind. Ohne Brüche ist Ihr Divisionskonzept anders. „1/2“ ist nicht „halb“, sondern „Rest 1“, denn so funktioniert die reine ganzzahlige Division.
Warten Sie, was ist mit diesem "es ist immer möglich"-Zeug? Was sind die nächsten zwei Klassen von Zahlen in dieser Folge?
@lly - wenn du die Buchhaltung machst, kannst du nicht einfach streichen, du musst etwas auf die Zeile schreiben. Damit bleibt "Kreuz, Stempel" eine effektive Darstellung eines Konzepts von Null.
@Alexander Nein, tust du nicht und sie taten es oft nicht . Sie können die Ledger-Seite (oder Chit, Token, Marker usw.) genauso einfach vollständig zerstören . Ihr Schuldenkonzept beinhaltete nicht die Idee von „keinen“ Schulden, die in irgendeiner Form aufgezeichnet werden müssten. Das Fehlen von Schulden war eine völlig separate Kategorie, für die keine Aufzeichnungen erforderlich waren.
Für das, was es wert ist, sage ich nicht, dass Null kein gutes und nützliches Konzept ist. Ich sage nur, nein, sie brauchten es in diesem Fall nicht und sie kamen tatsächlich buchstäblich Tausende von Jahren ohne Schulden zurecht.
@Ily Ich spreche von Buchhaltung im Allgemeinen - wenn wir ein Zwischenergebnis als Null erhalten - was machen wir? Das Zerstören von Hauptbuchseiten ist nicht das, was ein umsichtiger Geschäftsinhaber tun würde.

Das Fehlen einer Null würde die Mathematik nicht so stark einschränken, wie Sie denken.

Entgegen der landläufigen Meinung ist es möglich , ein ortsabhängiges Zahlensystem ohne Ziffer zur Darstellung von Null zu haben. Es ist etwas umständlich, kann aber jede rationale Zahl außer Null selbst darstellen.

Wie es funktioniert:

(Hinweis: Ich werde zuerst Beispiele in der Basis zehn geben und dann zeigen, wie das Konzept genauso gut in der Basis neun funktioniert. Ich denke, die Beispiele wären sonst zu schwer zu lesen.)

Wenn Sie die Null eliminieren, brauchen Sie nur eine zusätzliche Ziffer einzuführen, um die Zahlenbasis darzustellen. In der Basis zehn könnte die Ziffer für zehn beispielsweise "X" sein.

Um also von eins bis fünfundzwanzig (in der Basis zehn) zu zählen, hätten Sie:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X , 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1X , 21, 22, 23, 24, 25

Beachten Sie, dass "1X" für zwanzig steht, obwohl es mit einer 1 beginnt. Genauer gesagt bedeutet "1X", dass Sie zehn Einsen ("X" in der Einerspalte) und eine Zehn ("1" in der Zehnerspalte) haben. Wenn wir mit diesem System aufgewachsen wären, würden wir diese Nummer wahrscheinlich "Zehn-Teen" oder ähnliches nennen.

Das Zählen von 95 bis 115 würde so aussehen:

95, 96, 97, 98, 99, 9X , X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 , X7 , X8 , X9 , XX , 111, 112, 113, 114, 115

"9X" steht für einhundert ("neun Zehner und zehn Einer") und würde wahrscheinlich so ausgesprochen werden wie "neunzig-zehn".

Sie könnten nicht ganzzahlige Werte als einfache Brüche darstellen:

195 X 1 1385 X

Sie könnten bei diesem System auch einen Dezimalpunkt verwenden, aber es ist etwas umständlich, weil Sie für Zahlen kleiner als eins die wissenschaftliche Notation verwenden müssten:

1,234567 = 1,234567
2,01 = 1 ,X1
0,00201 = 2,01 × 10 –3 = 1,X1 × X –3

Alle obigen Beispiele basieren auf der Zehnerbasis, aber Sie können natürlich jede gewünschte Zahlenbasis verwenden. In der Basis neun würden die ersten dreiundzwanzig positiven ganzen Zahlen beispielsweise wie folgt geschrieben:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25

Es ist schwer vorstellbar, dass die wissenschaftliche Notation (die Exponenten erfordert) ohne das Konzept der Null entwickelt wird.
@Draconis Ich finde es nicht allzu schwer vorstellbar. Exponenten sind nur eine Erweiterung des Konzepts der Multiplikation, und die Multiplikation funktioniert gut ohne Null. Außerdem müssen Sie Exponenten nicht wirklich verstehen, um die Idee hinter der wissenschaftlichen Notation zu verwenden. Alles, was Sie wirklich wissen müssen, ist, dass diese Zahl um drei Stellen verschoben werden muss, wenn Sie sie zu dieser Zahl hinzufügen.
@plasticinsect Stattdessen können Sie sich einfach an die einfachen Brüche halten (sie waren lange vor Dezimalbrüchen bekannt und tatsächlich universeller )
@hyst329 Danke. Ich habe der Antwort eine Erwähnung einfacher Brüche hinzugefügt.
Ich sehe keine Notwendigkeit, ein ähnliches Zahlensystem wie unser eigenes zu erzwingen, in das eine Nullziffer natürlicher passen würde ... betrachten Sie etwas, das auf einem losen Analogon römischer Ziffern in Basis 9 basiert ... I, II, III, IIII, IIIIN, IIIN, IIN, IN, N, NI, NII, NIII, NIIII, NIIIIN usw. „nichts“ / „leer“ ist nur ein Leerzeichen und keine Zahl. Potenzen von 9 (oder vielleicht 3) erhalten einzigartige Symbole. Einfache Brüche mit 9er-Potenzen als Nenner entsprechen der „wissenschaftlichen Schreibweise“. Da Null nicht als Demoninator eines einfachen Bruchs erscheinen kann, bestätigt dies weiter, dass das Konzept keiner Zahl entspricht.
@Steve Der Hauptnachteil von Ziffern im römischen Stil besteht darin, dass sie nicht ortsabhängig sind. Aus diesem Grund ist es sehr schwierig, mit ihnen zu rechnen. Platzempfindliche Zahlen (einschließlich des Systems, mit dem wir vertraut sind, und des in meiner Antwort beschriebenen Systems) ermöglichen Dinge wie lange Multiplikationen, Divisionen, Additionen, Subtraktionen usw. Dies ist ein großer Vorteil.
@Steve: Zahlen im "römischen Stil" wurden noch nie für Mathematik verwendet. Sie wurden verwendet, um numerische Werte in Text zu schreiben . Für die Mathematik verwendeten die Römer das griechische System, das dem, was diese Antwort beschreibt, sehr ähnlich ist. (Und das ein Symbol für "nichts" enthielt, das in mathematischen Tabellen verwendet wird.)
Gute Antwort. Dieses System fühlt sich verrückt an, weil wir so an unseres gewöhnt sind, aber ich finde es tatsächlich etwas überzeugend. Ich vermute, es wäre eigentlich nicht schlecht, wenn wir ein solches konsequent nullfreies System verwenden würden, im Gegensatz zu einer Null, die immer noch von eins aus zu zählen beginnt. (Ich denke jedoch, dass der beste Ansatz darin besteht, immer bei Null zu zählen, wie es die meisten Programmiersprachen tun.)
Stellen Sie sich dieses System vor, das sich mit dem Zählen der Hände zur Basis fünf entwickelt, mit dem Daumen als X und einer Hand als Einer-Spalte und der anderen Hand als Fünfer-Spalte. Das ist (ähm) praktisch, weil wir jetzt an unseren Fingern bis 30 zählen können – und der Daumen ist schon eindeutig eine „besondere“ Art von Ziffer. Ich habe gerade versucht, auf diese Weise zu zählen, und es fühlt sich tatsächlich intuitiver an, als mit zwei Händen und Null zur Basis 6 zu zählen.

Ein Weg, auf dem das Konzept der Null unentdeckt bleiben könnte: die frühe Verfügbarkeit von Computern, die auf einem Fließkommasystem basieren. Die einfachste Erklärung wäre, dass die Computer entweder von einer außerirdischen Zivilisation oder einer längst verlorenen, fortgeschritteneren menschlichen Bevölkerung stammen.

Unser aktueller Standard für Fließkomma, IEE 754 , hat einen Sonderfall für Nullwerte. Die normale Darstellung kann Zahlen bis 10⁻³⁸ = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 001 verarbeiten. Kleinere Zahlen werden als denormale Zahlen gespeichert, von denen Null ein weiterer Sonderfall ist.

Das Fehlen von Null als Konzept ist Gleitkommadarstellungen eigen, die versuchen, den erforderlichen Speicherplatz zu minimieren. Da alle anderen Zahlen mindestens ein 1Bit haben, wird das erste 1Bit nicht im Format gespeichert. Beachten Sie jedoch, dass die Null als Ziffer immer noch existiert.

Nun, wenn die Leute kein bereits existierendes Konzept von Null hätten, würden sie es dann von den Computern entdecken? Es scheint wahrscheinlich, dass sie zumindest für eine Weile alles so Kleine als unbedeutend betrachten würden, um darüber zu diskutieren, und der Unterschied zwischen 10⁻³⁸ und 0 für sie verloren wäre.

Wie weit konnten sie vor diesem Hintergrund vordringen?

Ich würde sagen, sie könnten sogar komplexe Berechnungen gut bewältigen, indem sie sie an die Maschine delegieren. Es würde an Interesse an der Entwicklung manueller Berechnungstechniken fehlen, wenn Computer dies so viel schneller tun.

Eine gründliche Erforschung der Mathematik würde jedoch dazu führen, dass Null schließlich entdeckt wird. Daher wäre jede Technologie ausgeschlossen, deren Konstruktion tiefgreifende Kenntnisse in Mathematik oder Physik erfordert , obwohl sie sie wie Computer bedienen könnten, wenn sie sie fertig hätten.

Dies wird zu einem Henne-Ei-Dilemma. Wie sie Fließkomma-Computer ohne Null bekommen würden, wird nicht verraten. -1
Wenn wir davon ausgehen, dass diese Computer von einer anderen Zivilisation entwickelt wurden, die ein Konzept von Null hatte (was meiner Meinung nach eine notwendige Annahme für sie ist, um Computer erfunden zu haben), warum sollten die Computer nicht so konzipiert sein, dass sie Null darstellen und anzeigen? Es scheint, als wäre die junge Zivilisation, die diese Computer entdeckt/erbt, gezwungen, etwas über Null zu lernen, um sie überhaupt zu benutzen.
Ich denke, Gleitkommazahlen können leicht als Kopf/Zahl, Hände/Füße, links/rechts dargestellt werden. Das Konzept der Null müsste also nicht als Konzept für die mechanische Manipulation des Systems verwendet werden. Das "Paddy-Kuchen"-Spiel könnte eine Berechnung sein.
@plasticinsect: Die Idee ist, dass die Computer Null als denormalen Wert / Sonderfall darstellen würden, aber für einen Benutzer, der Null nicht versteht, würde jeder so kleine Wert unbedeutend erscheinen und er würde sich nicht die Mühe machen, den Unterschied zwischen wahrer Null zu lernen und sehr klein.
Während Gleitkommaberechnungen das Problem der Null für einige Zeit umgehen können, ist das Konzept der Null absolut vorhanden. "1.-1." sollte "0." ausgeben, und "1./(1.-1.)" sollte zu einem Fehler oder "unendlich" führen, wenn die Software diesen Zustand behandelt. Software kann jedoch absichtlich so gestaltet werden, dass sie 0 vor dem Benutzer verbirgt, aber wenn dafür jemand erforderlich ist, der "Null" sehr gut versteht.
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