Wie wird die Konstante des Biot-Savart-Gesetzes abgeleitet?

Die Konstante im Biot-Savart-Gesetz leitet sich nicht wirklich von irgendetwas ab - sie ist im Wesentlichen mit einem festen Wert definiert, der dann als Definition des SI-Ampere dient.

Das Biot-Savart-Gesetz für eine Stromschleife$C$,

$$\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I\mathrm d\mathbf l'\times(\mathbf r-\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3},$$ ist allein nicht besonders nützlich, und Sie müssen es mit der Lorentz-Kraft koppeln, um Ihnen eine messbare Konsequenz zu geben. Insbesondere die Kraft auf eine zweite Stromschleife $C'$ist dann $$\mathbf F_{C'} = \int_{C'} I'\mathrm d\mathbf l'\times\mathbf B(\mathbf r') = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C'} I'\mathrm d\mathbf l'\times\int_C \frac{I\mathrm d\mathbf l\times(\mathbf r'-\mathbf r)}{|\mathbf r'-\mathbf r|^3}.$$ Diese Kraft - die Kraft auf eine Stromschleife $C'$einen Strom tragen $I'$verursacht durch einen Strom $I$in einer Schleife $C$- hängt von zwei Faktoren ab: der Geometrie und den Werten der Ströme. Glücklicherweise trennen sich diese beiden Faktoren vollständig: $$\mathbf F_{C'} = \frac{\mu_0}{4\pi} I'I\int_{C'}\int_C \frac{\mathrm d\mathbf l'\times\left(\mathrm d\mathbf l\times(\mathbf r'-\mathbf r)\right)}{|\mathbf r'-\mathbf r|^3} =\frac{\mu_0}{4\pi}I'I \times \boldsymbol{\mathcal G}_{C'C}.$$ Hier der geometrische Faktor $\boldsymbol{\mathcal G}_{C'C}$ist unabhängig von den Strömen gleich und nur eine Funktion der Schleifen. Die Implikation ist dann, dass wir die Konstante für eine einzelne Geometrie festlegen können, ein einfacher Fall, der leicht zu analysieren und zu implementieren ist, und dann funktioniert dies für alle Geometrien. Insbesondere ist die Referenzgeometrie zwei unendliche Drähte in einer Entfernung $L$auseinander, in diesem Fall die Kraft auf eine Längeneinheit $\Delta l$jedes Drahtes ist $$\frac{\Delta \mathbf F}{\Delta l} = \frac{\mu_0 I'I}{2\pi L}\hat{\mathbf u}.$$

Hier kommt die Definition des Ampere ins Spiel: Wir legen den Wert von fest$\mu_0$bei$4\pi\times10^{-7} \:\mathrm{N/A^2}$, und dies lässt uns das Ampere definieren als

Das Ampere ist der konstante Strom, der, wenn er in zwei geraden parallelen Leitern von unendlicher Länge und vernachlässigbarem kreisförmigem Querschnitt aufrechterhalten und im Vakuum in einem Abstand von 1 Meter platziert wird, zwischen diesen Leitern eine Kraft von 2 × 10 –7 Newton pro ^erzeugen würde Meter Länge.

Es gibt viele Möglichkeiten, elektromagnetische Einheiten zu definieren, aber irgendwann müssen Sie eine neue Definition vornehmen und einen Standard für die Messung elektrischer Ladung festlegen. Im Allgemeinen kann dies entweder durch einen Ladungsstandard (im Wesentlichen durch Festlegen der Konstante auf dem Coulombschen Gesetz) oder durch einen aktuellen Standard wie oben erfolgen. Das SI entschied sich für letzteres, weil es bessere messtechnische Eigenschaften des resultierenden Systems ermöglicht: Es macht es einfacher, Messsysteme herzustellen, die überall gleich genau sind.

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Das heißt, das Formular$\mu_0/4\pi$sieht auf jeden Fall sehr verdächtig aus, ebenso wie der Wert der magnetischen Vakuumpermeabilität,$\mu_0=4\pi\times10^{-7} \:\mathrm{N/A^2}$; Die kommen bestimmt irgendwo her , oder? Die sauberste Antwort ist, dass wir, da es sich um Definitionen handelt, definieren können, was wir wollen, und wir müssen sie später (wenn überhaupt) nur rechtfertigen, indem wir zeigen, dass es sich um bequeme Entscheidungen handelt.

Natürlich hat das SI-System der elektromagnetischen Einheiten eine lange und geschichtsträchtige Geschichte, aus der diese Werte stammen, aber diese Geschichte ist im Moment nicht wirklich relevant: die SI-Konstanten wie$\mu_0/4\pi$haben die Form, die sie haben, weil es den "echten" Gleichungen des Elektromagnetismus (und insbesondere den Maxwell-Gleichungen) eine sauberere Form gibt. Ebenso die numerischen Werte der Konstanten (z. B. warum$4\pi\times10^{-7}$statt nur$4\pi$?) wurden gewählt, weil sie einen guten Mittelpunkt für die meisten alltäglichen elektrischen Messungen darstellen, um vernünftige Werte zu haben.

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Und als letztes Wort: Das Obige ist die Situation zum Zeitpunkt dieses Schreibens, aber die SI-Standards werden neu definiert , wobei das neue System wahrscheinlich um 2018 in Kraft treten wird . Im neuen System werden wir von Fixing wechseln$\mu_0$um den Wert der Ladung eines Elektrons ungefähr festzulegen

$$e=1.602\,176\,487\,186\times 10^{-19}\:\mathrm C,$$ oder genauer gesagt auf den spezifischen numerischen Wert, der laut CODATA zum Zeitpunkt des Übergangs am genauesten war , ähnlich wie mit dem Messgerät, als die Lichtgeschwindigkeit 1983 auf ihren aktuellen exakten Wert festgelegt wurde.

Die Neudefinition von Ampere und Coulomb wird einige ziemlich weitreichende Konsequenzen in Bezug auf die Implementierung der Standards haben (über die Sie in dieser Antwort von mir mehr lesen können) , und sie ändert auch, was mit der Konstante im Biot passiert -Savart-Gesetz. Insbesondere,$\mu_0$geht von einem genauen, festen Wert zu einer experimentellen Bestimmung mit dem Wert über

$$\mu_0=\frac{2h}{ce^2}\alpha.$$ Hier $h$ist die Plancksche Konstante, $c$ist die Lichtgeschwindigkeit, und $e$ist die Elektronenladung, die alle feste Werte haben. Die Ungewissheit kommt hinzu $\alpha$, die Feinstrukturkonstante , eine dimensionslose Naturkonstante, die experimentell gemessen werden muss und grob gesagt angibt, wie stark die elektromagnetische Kopplung ist (in Form der Coulomb-Konstante). $e^2/4\pi\varepsilon_0$) im Vergleich zum quantenrelativistischen Standardmaß der Kopplungsstärke, $\hbar c$.

Dies sieht aus wie ein noch komplizierterer Weg, um die Konstante im Biot-Savart-Gesetz zu definieren, aber es hat einen Grund: als Ergebnis der langen Geschichte elektrischer Messstandards und um rückwärtskompatibel mit über einem Jahrhundert elektrischer Messungen zu bleiben und Technologie, während gleichzeitig das Beste der Spitzentechnologie für Präzisionsmessungen ermöglicht wird, um in Zukunft bessere, präzisere, stabilere und konsistentere wissenschaftliche Messungen zu ermöglichen.