Wie wirkt sich die Fermion-Entartung auf die elastische Streuung in astrophysikalischen kompakten Objekten aus?

Nehmen Sie ein beliebiges System, dessen Zustände mit gekennzeichnet sind$i$und Berufsnummern beschriftet mit$f_i$. Dh$f_i$ist die erwartete Anzahl von Teilchen im gegebenen Zustand und wird nicht auf eins, sondern auf normiert$\sum_i f_i = N$. Nun soll dieses System eine Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit aus dem Zustand haben$i$zu einem anderen$j$bezeichnet durch$P_{ij}$. Das bedeutet, dass$f_i P_{ij}$Partikel springen zu$j$aus$i$in Einheitszeit. Andererseits,$f_j P_{ji}$Partikel springen ab$j$Zu$i$in der gleichen Zeit. Daher können wir die zeitliche Ableitung der Besetzungszahl als charakterisieren

$$\frac{d f_i}{d t} = \sum_j (P_{ji} f_j - P_{ij}f_i)$$ In vielen Systemen, insbesondere reversiblen, die wir haben $P_{ij}=P_{ji}$.

Stellen Sie sich aber vor, wir haben es mit identischen Quantenteilchen zu tun, da können wir aus den Permutationssymmetrien ableiten, wie die Übergangsraten modifiziert werden müssen

$$\frac{d f_i}{d t} = \sum_j [P_{ji} f_j(1\pm f_i) - P_{ij}f_i(1 \pm f_j)]$$ wobei das Plus für Bose-Statistiken und das Minus für Fermi-Statistiken steht. Insbesondere sieht man daran, dass für Fermionen die Übergangswahrscheinlichkeit abnimmt $j$Zu $i$ist null, wenn der Zustand bereits besetzt ist.

---

Der spezielle Fall eines Gases in der Astrophysik kann durch die Boltzmann-Gleichung modelliert werden

$$\partial_t f + \partial_p H \partial_x f - \partial_x H \partial_p f = \delta f_{coll}$$ Wo $f(p,x)$steht nun für die Besetzungszahl in einer Phasenraumzelle des Volumens $\sim \hbar$bei $p,x$, Und $H$ist ein effektiver Einzelteilchen-Hamiltonoperator, der das freie Driften der mikroskopischen Teilchen in den makroskopischen Feldern darstellt. Die rechte Seite ist der Stoßterm, der (in gewisser Näherung) das Verhalten der Besetzungszahl durch Kollision zwischen Teilchen moduliert.

Teilchen nach der Boltzmann-Statistik hätten

$\delta f_{coll}(p,x) = \int Q(p,q \to p',q') [f(p,x) f(q,x)- f(p',x)f(q',x) ] dq' dq dp'$

Wo$Q(p,q \to p',q')$ist eine Streumatrix, die für zwei Teilchen berechnet wird, die aneinander streuen, während sie allein im Universum sind. In Analogie zum vorherigen Teil dieser Antwort haben jedoch fermionische Teilchen

$\delta f_{coll}(p,x) = \int Q(p,q \to p',q')$

$\left[ f(p) f(q)(1-f(p'))(1-f(q')) - f(p')f(q')(1-f(p))(1-f(q)) \right] dq' dq dp'$

wo ich geschrieben habe$f(q,x) \to f(q)$der Kürze halber.

Also die Wahrscheinlichkeit, in einen mit Dichte besetzten Zustand zu streuen$f(p,x)$wird moduliert durch a$1-f$Faktor. Wenn$f$nahe bei eins liegt, wird diese Streuung im Wesentlichen verboten. In stark entarteten Gasen bedeutet dies, dass wir jegliches Streuergebnis in der Fermi-Phasenraumoberfläche, sei es elastisch oder nicht elastisch, im Wesentlichen vernachlässigen können .