Wie würde die Schwerkraft unter Verwendung normaler Schwerkraftregeln auf einer flachen "Welt" funktionieren?

Es gibt einen netten Weg, dies zu lösen. Betrachten Sie die Newtonsche Gleichung:

Formal ist dies identisch mit dem Grundgesetz der elektrischen Kraft, dem Coulombschen Gesetz:

Nun ist es möglich, das Coulombsche Gesetz so umzuschreiben, dass es so aussieht:

Wo$E$ist das elektrische Feld, das Integral ist über einer beliebigen geschlossenen Fläche und$Q_{inc}$ist die von dieser Oberfläche eingeschlossene Ladung.

Betrachten wir eine unendliche Ladungsschicht mit Ladung pro Flächeneinheit$\sigma$, dann zeichnen wir einen Zylinder mit Enden parallel zur Oberfläche, und wir wissen, dass das Feld senkrecht zu den Enden und parallel zu den Seiten ist, und unsere Konstruktion gibt uns$Q_{inc} = \sigma A$, also haben wir:

Da unsere Anfangsgleichungen identisch sind, können wir die Ergebnisse einfach durch die Newtonsche Gleichung ersetzen, indem wir ersetzen$k\rightarrow G$und Dolmetschen$\sigma$als Masse pro Flächeneinheit, und es gilt:

Also, wenn Sie eine unendliche Massenschicht mit einer Masse pro Flächeneinheit von 23.000.000.000 haben$\rm kg/m^{2}$, dann ist die Erdbeschleunigung überall 1 g.

Wenn Sie über die Newtonsche Schwerkraft sprechen, dann ist eine entscheidende Information, die Sie benötigen, dass die Schwerkraft eine zentrale Kraft ist . Das heißt, zwischen zwei beliebigen Massen wirkt die Kraft entlang der Verbindungslinie der beiden Massen.

Die flache konstante Schwerkraft, die wir normalerweise in der realen Welt annehmen, liegt daran, dass die Erde eine Kugel ist, die groß genug ist, dass sie auf ausreichend kleinem Raum einheitlich aussieht. Aber alle Gravitationskraftvektoren zeigen zum Erdmittelpunkt. Wenn Sie sich also die flache Scheibe ansehen, sieht es so aus, als ob alles senkrecht zur Ebene zeigt. Wenn Sie es ein wenig krümmen (was einem größeren Stück Land entspricht, das groß genug ist, um eine Krümmung zu erkennen), zeigt jeder Vektor immer noch senkrecht zur Oberfläche. So sollte es gemacht werden.

Wenn Sie naiv einfach ein Blatt Massen nehmen und fragen, wie das Gravitationsfeld aussieht, dann beachten Sie, dass ein solches Blatt instabil ist : Die Gravitationskraft zwingt das gesamte Blatt dazu, sich zusammenzurollen und sich schließlich zu einer Kugel zu stabilisieren, gerade weil es eine zentrale Kraft ist . Dies ist der Grund, warum wir keine "quaderförmigen Planeten" oder andere nicht eng kugelförmige Planeten sehen.

Kurze Antwort: Wenn Sie die Erdoberfläche nachahmen, muss Ihre Gravitationskraft einfach an jedem Punkt genau senkrecht zur Oberfläche sein, genauso wie die Gravitationskraft zum Erdmittelpunkt zeigt. Der "Rand" Ihrer Welt muss etwas künstlich behandelt werden, denn wenn Sie der konventionellen Physik folgen, ist Ihr gekrümmtes Blech nicht stabil, es sei denn, Sie können es durch andere Kräfte starr halten (z. B. hat die Welt vielleicht ein Stahlgerüst oder so). In diesem Fall müssen Sie wirklich numerische Berechnungen durchführen, um z. B. Kräfte an einer Kante aufgrund der anderen Kanten zu berücksichtigen.

Die gesuchten Eigenschaften würden von einer unendlich breiten flachen Platte mit der gleichen durchschnittlichen Dichte wie die Erde und einer Dicke von 2/3 des Erdradius gezeigt. Die Fallbeschleunigung wäre an jedem Punkt der Oberfläche 1 g. Und, noch interessanter, es wäre auch 1 g in jedem Abstand über der Oberfläche. Daher würde sich die Gravitationsbeschleunigung nicht mit der Höhe ändern, egal wie weit Sie entfernt sind. Bis an den Rand dieser „Erde“ könnte man leider nicht gehen, weil sie in alle Richtungen unendlich weit wäre.

Diese Ergebnisse stimmen mit dem überein, was @Jerry Schirmer in seiner Analyse unter Verwendung des Gaußschen Gesetzes gefunden hat, wenn ich das Produkt aus Plattendicke und Dichte gleich seinem Parameter nehme$\sigma$, die die Masse pro Flächeneinheit seiner Oberfläche darstellt. In der von mir durchgeführten Analyse habe ich jedoch die tatsächliche Gravitationskraftgleichung mit umgekehrtem Quadrat über die Platte integriert, sowohl seitlich als auch durch die Dicke der Platte für eine beliebige Testmasse, die sich über der Plattenoberfläche befindet.