Wie zeigt man, dass das Jeans-Kriterium für Masse, Radius und Dichte äquivalent sind?

Was Sie tun möchten, ist die Beziehung zwischen Masse, Radius und Dichte zu verwenden. Der richtige Ausdruck sollte sein

$$\rho_c = \frac{M_c}{(4/3) \pi R_c^3}$$

Ihre drei Jeansbedingungen sind$M_c > M_J$,$R_c > R_J$, und$\rho_c > \rho_j$. Indem Sie die obige Beziehung verwenden, können Sie jede der drei Bedingungen in eine der anderen umwandeln.

Geht zum Beispiel von$M_c > M_J \rightarrow R_c > R_J$wird wie folgt durchgeführt.

$$M_c = \frac{4}{3}\pi R_c^3 \rho_c > (\frac{5kT}{G \mu m_H})^{3/2} (\frac{3}{4 \pi \rho_c}) ^{1/2}$$

Jetzt löst man nach$R_c$gibt

$$R_c^3 > (\frac{5kT}{G \mu m_H})^{3/2} (\frac{3}{4 \pi \rho_c}) ^{3/2}$$

$$R_c > (\frac{15kT}{4 \pi G \mu m_H \rho_c})^{1/2} \equiv R_J$$

Die anderen Transformationen folgen in ähnlicher Weise.