Wird die Kapazität über ein endliches Volumen oder über den gesamten Raum berechnet?

Question

Wird die Kapazität über ein endliches Volumen oder über den gesamten Raum berechnet?

Kordon

Wird die Kapazität eines Leitersystems in einem endlichen Volumen oder über den ganzen Raum berechnet?

Meine Frage ist durch folgendes Problem motiviert.

Ein Volumen $V$ im Vakuum wird durch eine Fläche begrenzt $S$ bestehend aus mehreren getrennten leitenden Flächen $S_i$ . Ein Leiter wird auf Einheitspotential gehalten und alle anderen Leiter sind auf Nullpotential. Zeigen Sie, dass die Kapazität des einen Leiters ist
$C = ϵ_{0} \int_{v} {| \nabla Φ |}^{2} D^{3} X$ $C = \epsilon_0 \int_V \left| \nabla \Phi \right|^2 d^3x$ Wo $\Phi(\mathbf{x})$ ist die Lösung für das Potential.

(Quelle: Problem 1.17 in Jackson, 3. Aufl.)

Die potentielle Gesamtenergie des Systems ist

W = \sum_{ich}^{N} \sum_{J}^{N} \frac{1}{2} C_{ich J} v_{ich} v_{J} = \frac{1}{2} C_{11} v_{1}^{2} = \frac{1}{2} C

$W = \sum_i^n \sum_j^n \frac{1}{2} C_{ij} V_i V_j = \frac{1}{2}C_{11} V_1^2 = \frac{1}{2} C$

Seit Dirigent $1$ wird auf Einheitspotential gehalten und alle anderen werden auf Nullpotential gehalten.

Allgemeiner ist die potentielle Energie eines Systems

W = \frac{ϵ_{0}}{2} \int {| E |}^{2} D^{3} X

$W = \frac{\epsilon_0}{2} \int \left| \mathbf{E} \right|^2 d^3x$ Das Gleichsetzen der letzten beiden Ausdrücke ergibt,

C = ϵ_{0} \int {| \nabla Φ |}^{2} D^{3} X

$C = \epsilon_0 \int \left| \nabla \Phi \right|^2 d^3x$ Dieses Integral gilt über den gesamten Raum, nicht nur im Volumen

V

$V$ . In der Tat, wenn sich dieses Integral auf knapp über das Volumen vereinfacht

V

$V$ , würde das nicht bedeuten, dass das Feld außerhalb der Oberfläche liegt

0

$0$ überall (da jeder zusätzliche Beitrag zu diesem Integral positiv definit ist)? Meine Intuition sagt mir, dass das Feld außerhalb der Leiter ungleich Null ist, weil es einen Potentialunterschied zwischen Unendlich (definiert als

0

$0$ ) und einem der Leiter (auf Einheitspotential), daher sollten Feldlinien von der Oberfläche mit Einheitspotential weg gerichtet sein und mit niedrigerem (Null-) Potential ins Unendliche fließen.

Meine Vermutung ist, dass es ein Problem mit dem Eigenenergiebeitrag gibt, der im Energieintegral über den gesamten Raum verborgen ist. Wenn dies der Fall ist, hat jemand eine intuitive Erklärung dafür, warum der Eigenenergiebeitrag nur außerhalb des Volumens existiert $V$ ?

Meine Fragen:

Ist das Feld außerhalb der leitenden Fläche 0? Wenn ja warum?
Fehlt ein kleines Detail, das diesen Lösungsansatz verbietet?

Kordon

@Angelika, die Oberfläche

S

$S$ , die das Volumen umschließt

V

$V$ , besteht aus mehreren getrennten leitenden Flächen

S_{i}

$S_i$ .

Antworten (3)

Wird die Kapazität über ein endliches Volumen oder über den gesamten Raum berechnet?

@Angelika, die Oberfläche $S$ , die das Volumen umschließt $V$ , besteht aus mehreren getrennten leitenden Flächen $S_i$ .

Tee ist Leben · Answer 1

Steve B hat Recht. Ich möchte nur ein Diagramm einfügen. Das sieht man an der Oberfläche $\rm S$ bestehend aus den leitenden Flächen $\rm S_1, S_2, S_3,...., S_i$ umschließt das Volumen $\rm V$ .

Vermuten $\rm S_1$ auf Einheitspotential liegt und alle anderen auf Nullpotential. Wenn $\rm S_1$ hat $\rm Q$ Ladungsmenge, dann wird auf den anderen Leitern eine gleiche Menge negativer Ladung induziert. Also, die Nettoladung auf $\rm S$ ist Null. Der elektrische Fluss durch eine Gaußsche Oberfläche, die gerade außerhalb gemacht wird $\rm S_3$ ist also null. Wir wissen es nicht und es spielt keine Rolle, wie die Gebühren verteilt werden $\rm S_i's$ . Da das elektrische Feld senkrecht zur Oberfläche eines Leiters ist, daher das elektrische Feld außerhalb der leitenden Oberfläche $\rm S_3$ ist auch null.

Wie Steve B gesagt hat, wenn es gegeben wäre, dass die Oberfläche $\rm S$ eine Nettoladung ungleich Null hat, dann müssten wir die Kapazität berechnen $\rm S$ die als Eigenkapazität bezeichnet wird. Beispielsweise wird die Eigenkapazität einer leitenden Kugel auf diese Weise berechnet: Zuerst wird die Kapazität eines Kugelkondensators berechnet, dann erhält man im Grenzbereich des Radius der äußeren Platte gegen unendlich die Kapazität der inneren leitenden Kugel.

Steve Byrnes · Answer 2

Ja, das Feld außerhalb der leitenden Oberfläche ist 0. Wenn die Nettoladung innerhalb der leitenden Oberfläche 0 ist, dann sind die Felder außerhalb der Oberfläche null. Es ist im Grunde der Faraday-Käfig-Effekt.

Und die Nettoladung innerhalb der leitenden Oberfläche ist 0, denn das ist die Definition eines Kondensators.

Sie könnten fragen: "Ähm, nun, aber was ist, wenn die Nettogebühr nicht null ist?" In diesem Fall wären in der Frage zwei relevante Kondensatoren:

Kondensator Nr. 1 ist der Kondensator, nach dem Jackson dich fragt,
Kondensator Nr. 2 ist der Kondensator, bei dem eine Platte die Oberfläche S ist und die andere unendlich ist.

Zu sagen „S trägt eine Nettoladung ungleich Null“ ist genau dasselbe wie zu sagen „Wir haben Kondensator Nr. 2 aufgeladen“.

Da sich die Frage speziell auf die Kapazität von Kondensator Nr. 1 bezieht, sollten Sie davon ausgehen, dass andere Kondensatoren wie Kondensator Nr. 2 nicht aufgeladen sind.

"Wenn die Nettoladung innerhalb der leitenden Oberfläche 0 ist, dann sind die Felder außerhalb der Oberfläche null." Ich muss etwas übersehen, das Gaußsche Gesetz besagt, dass der elektrische Feldfluss durch die Oberfläche Null ist, nicht, dass das Feld Null ist. Könnten Sie näher darauf eingehen?
Das elektrische Feld steht senkrecht zur Oberfläche eines Leiters und ist daher ebenfalls Null.

Prish Chakraborty · Answer 3

Laut Griffith ist das Integral über das Volumen, das sich über das Volumen hinaus und effektiv in den gesamten Raum erstreckt, nur eine mathematische Bequemlichkeit. $\mid E\mid^2$ nimmt mit zunehmender Entfernung schnell ab $(\propto\frac{1}{r^4})$ . Wenn wir also den gesamten Raum nehmen, sind die Beiträge des Integrals über das Volumen hinaus, mit dem wir uns befassen, vernachlässigbar, aber das bedeutet nicht, dass das Feld es ist $0$ .

Also ja, es gibt ein Feld dahinter $V$ ; wir ignorieren einfach seine Auswirkungen.

Wird die Kapazität über ein endliches Volumen oder über den gesamten Raum berechnet?

Kordon

Kordon

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Tee ist Leben

Steve Byrnes

Kordon

Tee ist Leben

Prish Chakraborty

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