Wird ein Flüssigkeitstropfen durch die Wirkung von Luftdruck von der weiten Öffnung zur schmalen Öffnung eines dünnen Trichters fließen?

Für den Fall, dass Sie gezeichnet haben, ist das Verhalten des Tropfens genau das Gegenteil von dem, was Sie erwähnen: Er bewegt sich von rechts nach links .

Dies wird durch die Oberflächenspannung und die Krümmung der Tropfenkappen verursacht, die im Tropfen auf Seite B einen größeren Druck erzeugen als auf Seite A.

Um es quantitativer zu machen. Nehmen wir an, dass der Trichter achsensymmetrisch ist, so dass der Radius des Rohrs$R$und die Neigung des Trichters$\beta$sind die einzigen geometrischen Parameter. Der Luftdruck an der Außenseite des Tröpfchens ist atmosphärisch$P_{atm}$und der Druck im Inneren des Tröpfchens an den Punkten A und B sind$P_A$Und$P_B$bzw.

Wenn wir den Kapillardrucksprung über die Grenzflächen berechnen$A$Und$B$wir bekommen:

$$P_A-P_{atm}=\Delta P_{c,A}=\frac{2 \gamma}{R_A} \tag{1}$$ Und $$P_B-P_{atm}=\Delta P_{c,B}=\frac{2 \gamma}{R_B} \tag{2}$$ Wo $\gamma$ist die Flüssigkeits-Gas-Oberflächenspannung und $R_A$Und $R_B$sind die Radien der kreisförmigen Gas-Flüssigkeits-Grenzflächen.

Wenn wir jetzt eliminieren$P_{atm}$durch Subtrahieren$(1)$Und$(2)$wir finden:

$$P_A-P_B=2\gamma \left(\frac{1}{R_A}-\frac{1}{R_B}\right)$$

Weil$R_A>R_B$(wie aus Ihrem Bild hervorgeht) bedeutet dies das$P_A-P_B<0$was zu einem Flüssigkeitsstrom von rechts nach links führt, der das Tröpfchen antreibt. Eine größere Änderung in$R$aus$A$Zu$B$wird, dh größer$\beta$, führt zu einem steileren Druckgradienten.

Beachten Sie, dass ich hier angenommen habe, dass die Situation wie in Ihrer Abbildung gezeichnet ist: mit positiven Krümmungen aus Sicht der Flüssigkeit. Wenn der Kontaktwinkel so ist, dass das Tröpfchen negative Krümmungen hat (d. h. die Mitte des Kreises, der die Grenzfläche beschreibt, befindet sich im Gas), wie unten gezeigt, bewegt sich das Tröpfchen nach rechts in Richtung B.

Zufälligerweise erschien diese Woche in Langmuir ein Artikel, der genau diesen Fall sowohl für benetzende als auch für nicht benetzende Tröpfchen beschreibt. Leider hinter einer Paywall, aber für Uni-Login: Luo et al. 2014 Langmuir , Verhalten eines Flüssigkeitstropfens zwischen zwei nicht parallelen Platten

Betrachten Sie diesen Behälter in Druckluft, aber Schwerelosigkeit (und ignorieren Sie die Oberflächenspannung, die den Flüssigkeitsball aufwirbeln würde).

Wenn Ihre Vermutung richtig wäre, würde die Flüssigkeit aus dem kleinen Loch auf der rechten Seite spritzen, aber das ignoriert die Rolle der Wand auf der rechten Seite, die dem Druck auf der linken Seite entgegenwirkt. Stellen Sie sich die Flüssigkeit als eine Ansammlung horizontaler Zylinder vor, die durch Seidenpapier getrennt sind, von denen einige rechts eine Wand und einer rechts ein Loch hat. Diejenigen, die rechts eine Wand haben, werden sich nicht bewegen, und die, die rechts ein Loch haben, werden sich auch nicht bewegen, weil sie auf beiden Seiten die gleiche Kraft haben.

Auch die Form der Wand rechts spielt keine Rolle. Es kann beliebig geneigt werden. Es wird keine Flüssigkeit zwischen die Zylinder gedrückt, da der Flüssigkeitsdruck überall gleich dem Luftdruck ist.

(Auf der anderen Seite hat die Kapillarwirkung alles mit der Oberflächenspannung zu tun, nicht mit der Änderung des Durchmessers des Rohrs. Durch die Kapillarwirkung trinken Pflanzen gegen die Schwerkraft.)

Es gibt keine schnelle Antwort, außer wenn das Tröpfchen vollständig nicht benetzend oder zumindest teilweise benetzend ist.

• Wenn es völlig unbenetzt ist, wird es zur breiten Seite des Trichters bewegt, bis es ein kugelförmiger Tropfen ist, der nur seine Wand berührt.

• Wenn es zumindest teilweise benetzt ist, bewegt es sich auf die schmale Seite, bis es seinen Scheitel erreicht (wenn die Luft natürlich ausströmen kann!).

• Wenn es so ist, wie Sie es zeichnen, kommt es darauf an . Dann gibt es ja einen optimalen Abstand$d$von$B$von der Spitze, die ungefähr für klein angegeben werden kann$\beta$von

  $$d = \frac{L_0}{\beta} \frac{\cos \theta}{2 \sin \theta + \cos \theta}$$ Wo$\pi/2 \leq \theta \leq \pi$ist der Kontaktwinkel, und$L_0$die Höhe eines Kegels mit dem Volumen des Tropfens und dem Winkel$\beta$. Der Tropfen bewegt sich von seiner Ausgangsposition in Richtung dieses Gleichgewichts, also entweder nach links oder rechts, je nachdem, wo er beginnt.

Dieses Ergebnis erhält man, indem man die Druckdifferenz zwischen den beiden Menisken schreibt,

$$\delta p = \frac{\cos(\theta-\beta)}{h_B} - \frac{\cos(\theta+\beta)}{h_A}$$ und dass die Höhen am Punkt B, $h_B \simeq d \beta$, und ein, $h_A \simeq h_B + L \beta \simeq h_B + L_0 - \beta d^2$. Dann kann man das klein erweitern $\beta$und das Gleichgewicht finden.