Zeitdilatation für eine Uhr im Orbit

Die gravitative Zeitdilatation für einen statischen „Hüllen“-Beobachter in der Schwarzschild-Metrik, beobachtet von unendlich, ist

$$d\tau_{\rm shell} = dt\left( 1 - \frac{r_s}{r}\right)^{1/2}\ .$$ Wir könnten dies als „allgemein relativistische Zeitdilatation“ bezeichnen.

Die Geschwindigkeit eines Objekts in einer kreisförmigen Umlaufbahn um eine zentrale Masse, gemessen vom stationären Hüllenbeobachter am Radius$r$, Ist

$$v_{\rm shell} = c\left(\frac{r_s}{2(r-r_s)}\right)^{1/2}\ .$$

Die Zeitdilatation aufgrund der Orbitalbewegung in Bezug auf das lokale Trägheitssystem des Hüllenbeobachters ist

$$d\tau = \frac{dt_{\rm shell}}{\gamma_{\rm shell}}\ ,$$ Wo$\tau$hier ist die vom umkreisenden Beobachter gemessene Eigenzeit. Wir könnten dies als „spezielle relativistische Zeitdilatation“ bezeichnen.

In einem lokalen Inertialsystem$dt_{\rm shell} = d\tau_{\rm shell}$, So

$$d \tau = \gamma_{\rm shell}^{-1}\ d\tau_{\rm shell} = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right)^{1/2} \gamma_{\rm shell}^{-1}\ dt\ ,$$ und wir multiplizieren effektiv die "allgemein relativistischen" und "speziellen relativistischen" Zeitausdehnungen, um sie zu erhalten$^{*}$ $$d\tau = \left[ \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(1 - \frac{r_s}{2(r-r_s)}\right) \right]^{1/2} = \left(1 - \frac{3r_s}{2r}\right)^{1/2}\ .$$ Es wurden keine Annäherungen gemacht, dies ist ein exaktes Ergebnis.

• Beachten Sie, dass es nicht wirklich richtig ist, sie als separate relativistische Korrekturen zu bezeichnen. Um die Berechnung ganzheitlich zu sehen, siehe https://physics.stackexchange.com/a/110675/43351

BEARBEITEN: Um den letzten Teil der Frage anzusprechen.

Bei der eher „ganzheitlichen“ Variante der Berechnung – direkt mit der Schwarzschild-Metrik – stellt sich die Frage, warum man den „Newtonschen“ Wert von verwendet$v = rd\phi/dt = (GM/r)^{1/2}$? Beachten Sie, dass dies keine Annahme oder Annäherung ist, sondern genau für die Schwarzschild-Metrik gilt.

Entschuldigung, aber das ist eine lange Ableitung. Um dies zu sehen, müssen wir auf die Geodäten in der Schwarzschild-Metrik zurückgreifen, die durch die beiden oft bezeichneten Bewegungskonstanten definiert sind$E/mc^2$Und$L/m$, die koordinatenspezifische Energie bzw. der koordinatenspezifische Drehimpuls.

In Bezug auf diese Größen kann die Änderungsrate der radialen Koordinate in Bezug auf die Eigenzeit geschrieben werden

$$\frac{dr}{d\tau} = \pm c\left[ \left(\frac{E}{mc^2}\right)^2 - \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(1 + \frac{L^2}{m^2r^2c^2}\right) \right]^{1/2}\ , \tag*{(1)}$$ Wo $$\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^2}\ ,$$ $$r^2 \frac{d\phi}{d\tau} = \frac{L}{m}\ .$$

Wir können jetzt die Kreisgeschwindigkeit ausdrücken, wie sie von einem entfernten Beobachter gesehen wird,$v_{\rm circ} = r d\phi/dt$als :

$$v_{\rm circ}^2 = r^2\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2 = r^2\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^2 \left(\frac{d\tau}{dt}\right)^2 = \frac{L^2}{m^2r^2} \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^2 \left(\frac{mc^2}{E}\right)^2\, .$$ Aber für eine Kreisbahn$dr/d\tau=0$und Gl. (1) gibt uns eine Beziehung zwischen$E$Und$L$-- $$\left(\frac{E^2}{mc^2}\right)^2 = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(1 + \frac{L^2}{m^2r^2c^2}\right) \ ;$$ und diese in die Gleichung für einsetzen$v_{\rm circ}^2$, wir bekommen $$v_{\rm circ}^2 = \frac{L^2}{m^2 r^2} \left(1 - \frac{r_s}{r}\right) \left(1 + \frac{L^2}{m^2 r^2 c^2}\right)^{-1} . \tag*{(2)}$$

Der letzte Teil des Puzzles besteht darin, einen Ausdruck für zu finden$L/m$in Bezug auf die radiale Koordinate für eine Kreisbahn. Dies geschieht, indem man einen Ausdruck für das effektive Potential in der Schwarzschild-Metrik schreibt und herausfindet, wo es ein Minimum ist. Daher:

$$\frac{V_{\rm eff}}{mc^2} = -\frac{r_s}{2r} +\frac{L^2}{2m^2r^2c^2} - \frac{r_sL^2}{2m^2 r^3 c^2}\ .$$ Durch Differenzieren und Gleichsetzen mit Null erhalten wir $$\left(\frac{L}{m}\right)^2 = \frac{c^2\,r^2\,r_s}{2r - 3r_s}\ . \tag*{(3)}$$

Ersetzen$L^2/m^2$in Gl. (2) unter Verwendung von Gl. (3),

$$\begin{eqnarray} v_{\rm circ}^2 & = & c^2\left(\frac{2r_s}{2r- 3r_s}\right) \left(1 - \frac{r_s}{r}\right) \left(1 + \frac{r_s}{2r-3r_s}\right)^{-1} \nonumber \\ & = & c^2 \left(\frac{2r_s}{2r- 3r_s}\right) \left(\frac{r - r_s}{r}\right)\left(\frac{2r - 3r_s}{2r -2r_s}\right) \nonumber \\ & = & c^2\, \frac{r_s}{2r} = \frac{GM}{r}\, . \end{eqnarray}$$ Damit ist die Koordinatengeschwindigkeit nach einem entfernten Beobachter$\sqrt{GM/r}$, das gleiche wie das Newtonsche Ergebnis!

Das sind unterschiedliche Wirkungen. Die spezielle Relativitätstheorie (SR) übernimmt den ersten Teil, berechnen Sie einfach aus Newton die Geschwindigkeit und Sie erhalten eine Verlangsamung der Uhren im Satelliten. Mit GR erhalten Sie aufgrund der gravitativen Zeitdilatation eine schnellere Uhr. Beides gilt, subtrahieren Sie das eine vom anderen

In GPS-Umlaufbahnen beträgt der GR-Effekt etwa 45 us pro Tag und der SR-Effekt 7 us pro Tag. Der Nettoeffekt beträgt 45-7 = 38 usec pro Tag. Die GPS-Uhren gehen so viel schneller als erdgebundene Uhren. Wenn Sie Frequenzen an den GPS-Satelliten messen würden, würden Sie eine Rotverschiebung an den GPS-Satelliten messen (schnellere Uhr, niedrigere Frequenz).

Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Error_analysis_for_the_Global_Positioning_System

Die von der Uhr gemeldeten Zeiten werden dafür angepasst.

Wenn die Relativgeschwindigkeit des Satelliten Null wäre, gäbe es keinen SR-Effekt, er wäre 45 usec schneller. Und es würde fallen.

In Anlehnung an die Methode von @ProfRob können wir, anstatt die "Zeitdilatationen" von SR und GR separat zu betrachten, direkt von der Schwarzchild-Metrik aus arbeiten.

(Unterschrift verwenden$+,-,-,-,-$)

$$\boxed{ds^2 = c^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 - r^2\sin^2\theta\,d\phi^2 - r^2d\theta^2}$$

Kreisbahn, also lassen$\theta=90^\circ \implies d\theta = 0, \sin\theta=1$. Wir haben auch$d\theta = \omega dt$, So$\displaystyle r^2d\theta^2 = v^2dt^2 = \frac{GM}{r}dt^2 = c^2\frac{r_s}{2} dt^2$.

Deshalb:

$$ds^2 = c^2\left(1-\frac{3r_s}{2r}\right)\,dt^2$$

und Vergleichen mit einem momentanen Ruherahmen (IRF)$ds^2 = c^2\,d\tau^2$, wir haben das:

$$d\tau = \sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}\,dt$$

Beachten Sie, dass wir die geodätische Gleichung nicht berücksichtigen oder weitere Annäherungen als die beim Ableiten der Schwarzschild-Metrik selbst vornehmen müssen.