Als ich mit meinem Rubik's Cube spielte, dachte ich an Tatsachen darüber, die für Mathematiker unmittelbar, aber für andere neuartig sind. Hier ist eine:
Bei einem Zauberwürfel im gelösten Zustand bringt jede Abfolge von Bewegungen, wenn sie lange genug wiederholt wird, den Würfel schließlich wieder in den gelösten Zustand zurück
Für einen Mathematiker folgt das aus "Die Bewegungen eines Zauberwürfels bilden eine endliche Gruppe. Daher haben alle Elemente eine endliche Ordnung."
Jede atomare Bewegung von Rubiks Würfel hat die Ordnung 4. Die einfachste zusammengesetzte Bewegung ist RU (drehe die rechte Seite um 90° im Uhrzeigersinn, dann drehe die obere Seite um 90° im Uhrzeigersinn). Was ist die Reihenfolge von RU?
Zweitens, was ist die größte Ordnung eines Elements in der Rubik's Cube-Gruppe?
Ich habe lange versucht, RU zu wiederholen. Ich habe aufgehört zu zählen (~50 Wiederholungen), aber es ist schließlich nach Hause zurückgekehrt.
Nehmen Sie einen gelösten Würfel und tun Sie es ; Verfolgen Sie dann die Zyklusstruktur der Permutation, die es realisiert.
Die Kombination bewegt 5 Eckwürfel in einem Zyklus, bei dem ein Würfel um eine Dritteldrehung verdreht wird, wenn er in seine ursprüngliche Position zurückkehrt, das ist also ein Faktor von 15.
Es verdreht auch die FRU-Ecke um eine Dritteldrehung; auch das ist um den Faktor 15 erledigt.
Dann werden 7 Kanten zyklisch permutiert, aber diesmal hat jede Kante die richtige Orientierung, wenn sie zurückkommt.
Die Ordnung ist also das kleinste gemeinsame Vielfache von 7 und 15, nämlich 105 .
(Für einen Subercube brauchen wir einen weiteren Faktor von 4, um die Zentren wieder in die ursprüngliche Ausrichtung zu bringen).
Vor einiger Zeit habe ich meine Bachelorarbeit über das Element größter Ordnung geschrieben:
http://www.math.kth.se/~boij/kandexjobbVT11/Material/rubikscube.pdf
Tatsächlich habe ich mir einen neuen Satz für die verallgemeinerte symmetrische Gruppe ausgedacht, der als Sonderfall die Ordnungen innerhalb des Zauberwürfels einschränkt, und das Ergebnis ist ziemlich interessant. Die größte Ordnung ist 1260.
Die Reihenfolge eines beliebigen alg (Abfolge von Zügen) kann berechnet werden, indem die resultierenden Zyklen überprüft werden. Folgen Sie für jeden Würfel des Würfels seiner Verschiebung. Wenn es wieder an seinem Platz ist, stellen Sie fest, ob es verdreht oder umgedreht ist. Dann nimmt man das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zyklen. (Es muss etwas mehr Sorgfalt walten, aber das ist die allgemeine Idee.)
Für eine schnelle Berechnung können Sie https://mzrg.com/rubik/ordercalc.shtml verwenden
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Brian M. Scott