Zusammenhang zwischen Aufprallparameter und Entfernung der größten Annäherung eines Lichtstrahls in der Schwarzschild-Geodätik

Die Beziehung zwischen$b$Und$r_0$für die Schwarzschild-Metrik ist:

$$b = \frac{r_0}{\sqrt{1 - \tfrac{r_s}{r0}}}$$

Wo$r_s$ist der Radius des Ereignishorizonts. Siehe dieses Papier für die blutigen Details.

Die in den beiden Artikeln angegebenen Gleichungen werden in der schwachen Feldgrenze abgeleitet, dh$r \gg r_s$So$b \approx r_0$sowieso und es macht keinen wirklichen Unterschied, welchen Sie verwenden. Wenn ich den Artikel schreiben würde, würde ich ihn beschreiben$b$als Aufprallparameter und nicht als Entfernung der engsten Annäherung , aber ich fühle mich nicht stark genug, um den beleidigenden Wikipedia-Artikel bearbeiten zu wollen.

Die Quantität$b$in diesen Gleichungen ist der Schlagparameter und ist definiert als$L/E$(in Einheiten wo$c=1$). Es heißt so, weil$L/E$ist der senkrechte Abstand zwischen der Flugbahn eines Photons bei$r \gg r_s$und eine radiale Linie durch den Ursprung, wo das Photon einen linearen Impuls hat$E$und Drehimpuls$bE$.

Um zu sehen, wie dies mit der engsten Annäherung zusammenhängt, ist es besser, die Gleichung für die Koordinatenlichtgeschwindigkeit als zu schreiben

$$\frac{dr}{dt} = \pm \frac{b}{r_s} \left(1- \frac{r_s}{r}\right)\left[ \left(\frac{r_s}{b}\right)^2 - \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\frac{r_s^2}{r^2}\, \right]^{1/2}\ .$$

Die "Wendepunkte" sind, wenn die rechte Seite gleich Null ist. Eines davon ist wann$r=r_s$, weil Licht den Ereignishorizont in Schwarzschildkoordinaten nicht überschreiten kann. Das Gleichsetzen des Inhalts der eckigen Klammer mit Null ergibt dann eine kubische Gleichung$r$die die Position aller anderen möglichen Wendepunkte bestimmen

$$r_{0}^3 - b^2 r_{0} + b^2 r_s = 0\ .$$

Wenn Sie an Lichtannäherung interessiert sind$r \gg r_s$mit$dr/dt<0$dann ist es die größte der drei möglichen Wurzeln, mit$r_0 \geq 3r_s/2$, das ist von Interesse (der mittlere entspricht Licht, das von nach außen wandert$r < 3r_s/2$, zunächst mit$dr/dt>0$, und dann zurückfallen; die kleinste Wurzel ist unkörperlich). Echte Wurzeln mit$r_0 > r_s$gibt es nur für$b \geq 3\sqrt{3}r_s/2$. Kleiner$b$Werte bedeuten das$dr/dt$ist immer negativ bis$r \rightarrow r_s$.

Die obige kubische Gleichung kann auch neu angeordnet werden, um zu geben$b$als Funktion von$r_{0}$:

$$b = \pm \frac{r_{0}}{\sqrt{1 - r_s/r_{0}}}\ .$$ Die Plus- und Minuszeichen können hier als Kreise im oder gegen den Uhrzeigersinn interpretiert werden.

Wenn$r_{0} \gg r_s$dann sieht man das$b \simeq \pm r_{0}$und es wäre ok zu verwenden$b$Und$r_0$austauschbar unter diesen Umständen (z. B. die Beugung des Lichts von Sternen um den Rand der Sonne, wo$R_\odot \gg r_s$).