Lichtkrümmung - Trägheit des Photons statt Masse

Bei der Newtonschen Gravitation ist die Erdbeschleunigung unabhängig von der Masse des Objekts - ein fallender Elefant beschleunigt nach unten mit der gleichen Geschwindigkeit wie eine beschleunigende Mücke (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands). Das bedeutet, dass die Umlaufbahn eines Objekts nicht von der Masse des Objekts abhängt (vorausgesetzt, das Objekt ist viel leichter als der Stern).

Die Ablenkung eines Objekts durch einen massiven Körper ist nur eine hyperbolische Umlaufbahn, und wie bei jeder anderen Umlaufbahn hängt die Flugbahn nicht von der Masse des umlaufenden Objekts ab, sondern nur von seiner Geschwindigkeit und seiner Anfangsposition. Das bedeutet, wenn wir die Winkelauslenkung eines sich bewegenden Objekts berechnen$c$bei einer hyperbolischen Bahn stellt sich heraus, dass das Ergebnis unabhängig von der Masse des Objekts ist:

Wo$M$ist die Masse des Sterns/Planeten/was auch immer und$r_0$ist die Entfernung der engsten Annäherung.

Der Punkt ist, dass die Annahme eines hypothetischen Werts für die Photonenmasse die Newtonsche Vorhersage nicht beeinflusst, da die Newtonsche Vorhersage nicht von der Masse abhängt. Die Antwort auf Ihre Frage lautet also nein, mit einer effektiven Photonenmasse von$m = h/\lambda c$liefert nicht das richtige Ergebnis.

Die GR-Berechnung ergibt die Lichtablenkung als:

was das Doppelte des Newtonschen Ergebnisses ist. Dies ist jedoch kein Sonderfall, der nur für Licht gilt, da GR für alle Objekte unabhängig von der Masse unterschiedliche Ergebnisse für die Newtonsche Schwerkraft liefert - die Ablenkung von Licht ist nur ein Grenzfall.

1. Da die Schwerkraft eher mit Energie als mit Ruhemasse gekoppelt ist, liegt es nahe zu spekulieren, dass die beiden Massen in Newtons Gravitationsgesetz durch die relativistischen Massen in einer postnewtonschen Näherung ersetzt werden sollten ?

2. Der obige Vorschlag versagt bereits bei der Biegung/Auslenkung eines masselosen oder massiven Punktteilchens aus Ruhemasse$m$um eine Masse$M$. In einem Koordinatensystem wo$M$in Ruhe ist, würde ein naives relativistisches Newtonsches Gesetz dann lauten

   $$\frac{d(\gamma m {\bf v})}{dt}~ \stackrel{?}{=}~-G\gamma mM\frac{\bf r}{r^3}.\tag{1}$$ Da die Geschwindigkeit$|{\bf v}|$ungefähr konstant ist, können wir die effektiv entfernen$\gamma$Faktoren auf beiden Seiten, und wir sind wieder da, wo wir angefangen haben, vgl. das Äquivalenzprinzip :(

3. Andererseits wissen wir aus der korrekten allgemeinen relativistischen Formel , dass uns ein Faktor fehlt

   $$\color{red}{1+\frac{v_0^2}{c^2}~=~ 2-\gamma_0^{-2}}\tag{2}$$ auf der rechten Seite. von Gl. (1). Die allgemeine relativistische Biege-/Durchbiegungsformel ist ein Faktor$\color{red}{2-\gamma_0^{-2}}$mal das Newtonsche Ergebnis.

4. Der Faktor$\color{red}{2-\gamma_0^{-2}}$kann über die Strahlengleichung verstanden werden

   $$\frac{d}{ds}\left(n\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}\frac{dr_i}{ds} \right)~=~\frac{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{2n}}{\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}}\frac{\partial n}{\partial r^i} , \tag{3}$$ mit effektivem Brechungsindex $$n({\bf r})~=~1-\frac{2\phi({\bf r})}{c^2} ,\tag{4}$$ und spezifisches Gravitationspotential $$\phi({\bf r})~=~-GM/|{\bf r}|.\tag{5}$$ Hier die COM $$E~=~\gamma_0 mc^2,\qquad \gamma_0~=~\gamma(v_0), \tag{6}$$ wird asymptotisch im räumlichen Unendlichen bestimmt$|{\bf r}|=\infty$.

   Die führende Näherung der Strahlengleichung (3) ergibt ein bestimmtes 2. Newtonsches Gesetz

   $$\frac{d^2r_i}{dt^2}~\approx~v_0^2\frac{d^2r_i}{ds^2}~~\stackrel{(3)+(6)}{\approx}~ v_0^2\frac{\gamma_0^2-\frac{1}{2}}{\gamma_0^2-1}\frac{\partial n}{\partial r^i}~\stackrel{(4)}{=}~-(\color{red}{2-\gamma_0^{-2}})\frac{\partial \phi}{\partial r^i} \tag{7}$$ bis zum gesuchten Faktor$\color{red}{2-\gamma_0^{-2}}$.