Zwei Objekte werden in ein schwarzes Loch geschleudert. Der erste überquert den Ereignishorizont am Ende der Zeit, also wann überquert der zweite den Ereignishorizont?

Es ist verlockend, die Unendlichkeit als Zahl zu betrachten, dh es gibt eine Zeit$t=\infty$, aber unendlich ist keine Zahl. Stattdessen ist es eine Grenze, und es ist eine Grenze, die niemals erreicht werden kann. Wenn wir die radiale Entfernung unseres einfallenden Objekts gegen die Zeit auftragen, erhalten wir so etwas wie:

Aber die$t$Achse endet nie und die rote Linie trifft sie nie. Es gibt also kein Ende der Zeit , das Sie beschriften können$\infty$und das einfallende Objekt trifft niemals den Ereignishorizont.

Das ist das Problem bei deiner Frage. Es macht keinen Sinn zu fragen, wie viel später das zweite Objekt den Horizont trifft, weil kein Objekt jemals den Horizont trifft.

Zugegebenermaßen haben Physiker die Angewohnheit, in ihre Raumzeitdiagramme - diese sind als Penrose-Diagramme bekannt - Unendlichkeit zu setzen, aber es versteht sich, dass dies eine Grenze darstellt, keine tatsächliche Zeit oder Entfernung.

Im Gegensatz zu den aktuellen Abstimmungen ist dies eine ausgezeichnete Frage!

Lesen Sie zunächst die Antwort von John Rennie, seine Vorbehalte sind vollkommen gerechtfertigt, und jede Antwort, die es wagt, über seine Antwort hinauszugehen, muss mit großer Vorsicht betrachtet werden.

Zweitens basieren Ihre Frage und die aktuellen Antworten auf der Sichtweise eines Beobachters außerhalb des Schwarzen Lochs. Zu unterscheiden ist a) die Wahrnehmung des Beobachters (was er sehen konnte) und b) das Raumzeitdiagramm eines Beobachters, das nicht dasselbe ist (in seinem Raumzeitdiagramm kann man ablesen, was für den Beobachter gleichzeitig ist etc.). Es ist wichtig zu beachten, dass das Phänomen in beiden Blickwinkeln dasselbe ist: a) der Beobachter beobachtet ein einfallendes Objekt, dass es ewig außerhalb des Ereignishorizonts bleibt, und gleichermaßen b) gemäß seinem relativen Konzept der Gleichzeitigkeit (Raumzeitdiagramm) dies gilt für alle einfallenden Gegenstände.

Wir könnten also die Datei schließen und sagen, dass beide Objekte niemals den Ereignishorizont erreichen. Allerdings sollten wir uns bewusst sein, dass diese Antwort nicht so zweifelsfrei ist, wie es scheint: Wir wissen, dass einfallende Beobachter die unendliche Zeit vor dem Ereignishorizont nicht wahrnehmen. Aus ihrer Sicht erreichen (und überschreiten?) sie den Ereignishorizont in endlicher Zeit. Ihr Raum-Zeit-Diagramm (siehe oben b)) würde ihnen jedoch sagen, dass gleichzeitig mit dem Überqueren des Ereignishorizonts auch das Äußere des Ereignishorizonts an sein Ende gekommen ist.

Es ist merkwürdig festzustellen, dass alle anderen Beobachter des Universums (und alle anderen Objekte und Teilchen, wenn wir sie als Beobachter betrachten) dasselbe erleben: Alle Objekte des Universums erreichen alle Ereignishorizonte des Universums gleichzeitig mit dem Ende von Zeit (entsprechend ihrem jeweiligen relativen Raum-Zeit-Diagramm, siehe oben b)).

Als Ergebnis könnten wir also sagen: Eine unendliche Zeit ist kein mathematisch definierter Moment. Aber wir sollten uns bewusst sein, dass die Unendlichkeit innerhalb der Logik des Universums eine gewisse Rolle spielen könnte.

Mit anderen Worten, das erste Objekt überschreitet den Ereignishorizont ganz am Ende der Zeit.

Unter der Annahme der Schwarzschild-Lösung des Schwarzen Lochs sind die Schwarzschild-Koordinaten$r,t$nicht den gesamten Ereignishorizont abbilden, dh ein einzelnes Ereignis (der Einfachheit halber Unterdrückung der Winkelkoordinaten) wird abgebildet$r = 2M, -\infty \lt t \lt \infty$.

Es ist also nicht so, dass ein Testteilchen in dieser Geometrie „am Ende der Zeit“ den Horizont überquert. Bei den Schwarzschild-Koordinaten handelt es sich um die Koordinaten des Beobachters$r = \infty$', gibt es keinen Wert der Zeitkoordinate$t$das dem Ereignis entspricht, dass das Teilchen den Horizont überquert.

Die Idee von „in unendlicher Zeit“ ist hier ein Artefakt der Verwendung von Schwarzschild-Koordinaten zur Beschreibung des Schwarzen Lochs. Die Schwarzschild-Koordinaten sind für viele Zwecke praktisch – in erster Linie, weil sie außerhalb des Schwarzen Lochs stationär sind – aber sie beschreiben nur eine richtige Teilmenge der gesamten idealen Raumzeit der Lösung des Schwarzen Lochs für die GR-Gleichungen.

Stellen Sie sich als einfache Analogie vor, wir hätten einen guten Grund, Punkte in der Ebene nicht durch gewöhnliche Koordinaten, sondern durch die Logarithmen dieser Koordinaten zu beschreiben. Diese Beschreibung könnte uns denken lassen, dass alles, was existiert, der erste Quadrant des Raums ist – ein Punkt, der sich in Richtung des bewegt$x$- oder$y$-Achse wird sehen, dass eine ihrer Koordinaten in Richtung negative Unendlichkeit geht. Mit der gleichen Argumentation wie in Ihrer Frage könnten wir also sagen, dass wir diese Achsen unmöglich überqueren können, weil uns zuerst „die Zahlen ausgehen“.

Wir können das Schwarzschild so neu koordinieren, dass einem Teilchen, das sich dem Ereignishorizont nähert, nicht die Zahl ausgeht. Kruskal-Szekeres-Koordinaten sind eine solche Neukoordinierung, bei der der äußere Schwarzschild-Raum als offene Teilmenge passt.

In den Kruskal-Szekeres-Koordinaten können wir sehen, dass zwei Teilchen, die aus der gleichen Richtung in das Schwarze Loch fallen, aber zur gleichen Zeit starten, tatsächlich den Ereignishorizont bei verschiedenen Ereignissen überqueren, die durch eine lichtähnliche Kurve verbunden sind ( dh a null geodätisch). In diesem Koordinatensystem haben die Kreuzungsereignisse gewöhnliche endliche Zahlen als Koordinaten. Im Allgemeinen werden die Teilchen dann getrennte Wege durch die innere Raumzeit gehen und die Singularität an verschiedenen Punkten treffen.

(Es ist wichtig anzumerken, dass dies natürlich von einem idealisierten mathematischen Aufbau spricht - im wirklichen Leben hält ein echtes Schwarzes Loch nicht unendlich lange und es ist auch nicht sicher, ob das Universum dies tun wird.)

Beide erreichen es zu unendlicher Zeit. Aus dem gleichen Grund sind die Grafiken von beiden$f(x) = \frac{1}{x + 1}$Und$g(x) = \frac{1}{x + 2}$haben Grenze 0 bei unendlich$x$trotz Start an verschiedenen Punkten, wenn$x = 0$.

ADD (2018-01-16): Die andere Antwort hier erwähnt, dass „unendlich“ „keine Zahl“ ist und „nicht als eine betrachtet werden sollte“. Ich würde sagen, das hängt von deiner Sichtweise ab. Ob Sie "Unendlichkeit" eine "Zahl" nennen oder nicht, hängt davon ab, welche Objekte Sie unter dem Etikett "Zahl" zulassen (und auch, welche Objekte Sie mit dem Wort "Unendlichkeit" etikettieren), was zugegebenermaßen etwas ist eher keine präzise formale Definition zulässt (das heißt, es gibt keine präzise formale mathematische Definition dessen, was eine „Zahl“ ist, außer in Anbetracht der Tatsache, dass einige Arten von mathematischen Objekten als solche bezeichnet werden). Der relevante Begriff von "unendlich" ist hier der des "erweiterten reellen Zahlenstrahls". - Ich stelle fest, dass der ursprüngliche Fragesteller in seinem Beitrag etwas über Unendlichkeiten erwähnte und sagte, sie seien wie unendliche Kardinalitäten. Dies ist nicht korrekt - der relevante Begriff ist die "Unendlichkeit", wie sie im Kalkül verwendet wird, der formal ein Mitglied dieser erweiterten Menge ist, und eine geeignet stetige Funktion kann darauf erweitert werden, indem die Grenze genommen wird.

Wenn man gegen diesen Formalismus Einwände erhebt (obwohl ich nicht sehe, warum man das tun sollte - es ist absolut vernünftig, solange man sich an die Regeln hält, die ihn regeln, was für alle Mathematik erforderlich ist), anstatt zu sagen, "dass es erreicht ist zu unendlicher Zeit'" kann man sagen, beide "nähern sich dem Horizont zu angemessen großen Zeiten beliebig nahe" oder "beide erreichen den Horizont in der Grenze beliebig großer Zeiten". In jedem Fall ist eine Begrenzung erforderlich, da die relevanten Funktionen nicht direkt bei definiert sind$t = \infty$(auf dem ERL) - es ist ziemlich der gleiche Fall wie bei einer "entfernbaren Singularität" wie von$f(x) = x^0$.

Nun, was die physische Welt betrifft , so können wir nicht empirisch testen oder bestätigen, ob die Zeit beliebig weit vergeht, geschweige denn am Endpunkt$t = \infty$das würde in einer erweiterten Einrichtung für reelle Zahlen der Einfachheit halber hinzugefügt werden, die tatsächlich existierte. Es ist vielmehr ein Merkmal unserer , zugegebenermaßen ziemlich idealisierten Modelle , das weggelassen werden kann, ohne dass eine eigentlich überprüfbare Vorhersage beeinträchtigt wird. (In der Tat könnte man argumentieren, dass jede Behauptung bezüglich eines mutmaßlichen „Endes der Zeit“ überhaupt nicht empirisch prüfbar ist, weil wir, sobald es eintritt, aufhören zu existieren und es daher nicht als Wahrheit registrieren können.) In Wirklichkeit ist es ein echtes Schwarzes Loch mit ziemlicher Sicherheit begrenzt durch die Hawking-Strahlungsverdunstung, die seine Lebensdauer zu einer sehr hohen, aber endlichen Zeit (ca$10^{100}$s für die größten Schwarzen Löcher im Vergleich zum Alter des gegenwärtigen Universums bei etwa 435 Ps ($435 \times 10^{15}$s) oder 13,8 Ga.). Die Regel für den Zeitraffer lautet in diesem Fall, dass jedes Objekt im freien Fall den Horizont in dem Moment erreicht, in dem das Schwarze Loch verschwindet. Somit erreichen auch beide Objekte gleichzeitig den Horizont, nur dass es sich jetzt um eine endliche und mathematisch unstrittige „Zahl“ handelt.