Ist die "Anzahl der Photonen" eines Systems eine Lorentz-Invariante?

Alice bereitet ein elektromagnetisches Feld in einem Zustand mit einer scharfen Anzahl von Photonen vor$\hat{N}|n\rangle=n|n\rangle$wo$\hat{N}$ist der Zahlenoperator. Alice wird in Bezug auf Bob verstärkt. In Bobs Bezugssystem befindet sich das Feld im Zustand$\hat{U}(\Lambda)|n\rangle$. Die Frage lautet, ob eine Messung der Anzahl von Photonen für Bobs Zustand die genaue Antwort gibt$n$. Mit anderen Worten, stimmt das$\hat{N}\hat{U}(\Lambda)|n\rangle=n\hat{U}(\Lambda)|n\rangle$? Bob erhält das scharfe Ergebnis$n$wenn der Boost-Operator mit dem Zahlenoperator kommutiert. Wir müssen nur zeigen, dass der Kommutator$[\hat{U}(\Lambda),\hat{N}]_{-}=0$.

Der Zahlenoperator für Helizitätsphotonen$\lambda$ist,

$$\begin{equation} \hat{N_{\lambda}}=\int \frac{d^{3}p}{2\omega}\hat{\eta}_{p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda} \end{equation}$$ wo $\hat{\eta}_{p\lambda},\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}$sind Emissions- bzw. Absorptionsoperatoren für ein Impulsphoton $p$und Helizität $\lambda$(Die Notation für Emissions- und Absorptionsoperatoren stammt aus Diracs Monographie "Lectures on Quantum Field Theory"). Wir haben auch $\omega = p^{0}$im Lorentz-invarianten Maß.

Einzelne Photonenzustände transformieren sich als

$$\begin{equation} \hat{U}(\Lambda)|p,\lambda\rangle=e^{-i\theta(p,\Lambda)}|\Lambda p,\lambda\rangle \end{equation}$$ wo $\theta(p,\Lambda)$ist der Wigner-Winkel. Erzeugen eines Einzelteilchenzustands aus dem Vakuum $|S\rangle$durch $|p,\lambda\rangle=\hat{\eta}_{p\lambda}|S\rangle$impliziert, dass die Emissionsoperatoren gleichartige Zustände transformieren, $$\begin{equation} \hat{U}(\Lambda)\hat{\eta}_{p\lambda}=e^{-i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}_{\Lambda p\lambda} \ . \end{equation}$$ Nehmen Sie das hermitische Konjugat, verwenden Sie die Einheitlichkeit und ersetzen Sie es $\Lambda$durch $\Lambda^{-1}$, $$\begin{eqnarray} \hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}\hat{U}^{\dagger}(\Lambda)&=& e^{i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}^{\dagger}_{\Lambda p\lambda}\\ \hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}\hat{U}(\Lambda^{-1})&=& e^{i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}^{\dagger}_{\Lambda p\lambda}\\ \hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}\hat{U}(\Lambda)&=& e^{i\theta(p,\Lambda^{-1})}\hat{\eta}^{\dagger}_{\Lambda^{-1} p\lambda} \ . \end{eqnarray}$$ Bewerten Sie nun den Kommutator, $$\begin{eqnarray} [\hat{U}(\Lambda),\hat{N}_{\lambda}]_{-}&=& \int \frac{d^{3}p}{2\omega}\hat{U}(\Lambda)\hat{\eta}_{p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}- \int \frac{d^{3}p}{2\omega}\hat{\eta}_{p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}\hat{U}(\Lambda)\\ &=&\int \frac{d^{3}p}{2\omega}e^{-i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}_{\Lambda p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}- \int \frac{d^{3}p}{2\omega}\hat{\eta}_{p\lambda}e^{i\theta(p,\Lambda^{-1})}\hat{\eta}^{\dagger}_{\Lambda^{-1} p\lambda} \ . \end{eqnarray}$$ Nehmen Sie eine Änderung der Variablen im zweiten Integral vor, $p'=\Lambda^{-1}p$. $$\begin{equation} [\hat{U}(\Lambda),\hat{N}_{\lambda}]_{-}= \int \frac{d^{3}p}{2\omega}e^{-i\theta(p,\Lambda)}\hat{\eta}_{\Lambda p\lambda}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}- \int \frac{d^{3}p'}{2\omega'}\hat{\eta}_{\Lambda p'\lambda}e^{i\theta(\Lambda p',\Lambda^{-1})}\hat{\eta}^{\dagger}_{p'\lambda} \end{equation}$$ Der Wigner-Winkel $\theta(p,\Lambda)$entspricht einer Rotationsmatrix $R(p,\Lambda)=H^{-1}_{\Lambda p}\Lambda H_{p}$wo $H_{p}$ist der Standardschub. Jetzt, $$\begin{equation} R(\Lambda p,\Lambda^{-1})=H^{-1}_{\Lambda^{-1}\Lambda p}\Lambda^{-1}H_{\Lambda p}=H^{-1}_{p}\Lambda^{-1}H_{\Lambda p}= (H^{-1}_{\Lambda p}\Lambda H_{p})^{-1}=(R(p,\Lambda))^{-1} \end{equation}$$ damit der Wigner-Winkel $\theta(\Lambda p,\Lambda^{-1})$ist $-\theta(p,\Lambda)$. Beim Einsetzen dieses Ergebnisses in das letzte Integral verschwindet der Kommutator $[\hat{U}(\Lambda),\hat{N}_{\lambda}]_{-}=0$und so hat auch Bobs elektromagnetisches Feld die gleiche scharfe Zahl $n$von Photonen als Alices Feld.

Bearbeiten: Erklärung, warum das invariante Maß im Zahlenoperator erscheint

Die Methode der induzierten Darstellungen, die verwendet wird, um die Reaktion der einzelnen Teilchenzustände auf einen Lorentz-Boost (zweite Gleichung im Haupttext) zu erhalten, ist am einfachsten, wenn man ein Lorentz-invariantes Maß wählt, so dass die Auflösung für die einzelnen Teilchenzustände eins ist ist,

$$\begin{equation} \sum_{\lambda=\pm 1}\int \frac{d^{3}p}{2\omega}|p,\lambda\rangle\langle p,\lambda|=1 \ . \end{equation}$$ Diese Wahl impliziert, dass der Kommutator für die Emissions- und Absorptionsoperatoren ist $$\begin{equation} [\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda},\hat{\eta}_{p'\lambda'}]_{-}= \langle p,\lambda|p',\lambda'\rangle= 2\omega\delta_{\lambda,\lambda'}\delta^{3}(p-p') \ . \end{equation}$$ Dies impliziert wiederum, dass der Hamilton-Operator normaler Ordnung für das freie elektromagnetische Feld ist $$\begin{equation} \hat{H}=\frac{1}{2}\int d^{3}p(\hat{\eta}_{p\lambda=-1}\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda=-1}+\hat{\eta}_{-p\lambda=+1}\hat{\eta}^{\dagger}_{-p\lambda=+1}) \ . \end{equation}$$ Jetzt erstellen $n$Photonen aus dem Vakuum mit einem Zustand, $$\begin{equation} |\Psi\rangle=(\hat{\eta}_{p\lambda})^{n}|S\rangle \end{equation}$$ und verlangen, dass der Nummernbetreiber $\hat{N}_{\lambda}$misst das scharfe Ergebnis $n$auf diesem Zustand. Dies impliziert, dass das Lorentz-invariante Maß in der Definition des Zahlenoperators (erste Gleichung im Haupttext) verwendet werden muss. Man sieht also, dass es hier keine Annahmen gibt, sondern nur eine Wahl des invarianten Maßes (anstelle eines quasi-invarianten Maßes), um die Methode der induzierten Darstellungen, die verwendet wird, um die Irreps der Poincare-Gruppe für masselose Teilchen zu erhalten, so einfach wie möglich zu machen .

Die Antwort eines Experimentators.

Es gibt unzählige Experimente, die zwei Gamma-Ereignisse messen. Die Lorentz-Invarianz ist eine Grundannahme für alle gemessenen Wechselwirkungen. Jede Wechselwirkung befindet sich in einem anderen Lorenz-Rahmen, abhängig von den beteiligten Energien und Impulsen. Wenn wir die Verteilungen von Querschnitten und Winkeln machen, sind wir von dieser Invarianz der Teilchenzahl in der beobachteten Wechselwirkung abhängig. Da es dem Standardmodell gelingt, all dies in sehr guter Näherung anzupassen, gilt diese Annahme.

Jetzt stammt jedes einzelne Photon aus einer Lorenz-invarianten Wechselwirkung durch Konstruktion elektromagnetischer Wechselwirkungen, obwohl nichts es aufzeichnet, also sollten die Zahlen konstant bleiben.

Wenn sich die Zahlen ändern, wenn sich das Lorenz-Koordinatensystem für ein Ensemble bereits erzeugter Photonen ändert, bedeutet dies, dass das auferlegte Lorenz-Koordinatensystem irgendwie mit den beobachteten Photonen interagiert. Wenn Energie ausgetauscht wird, können mehr Photonen erscheinen, was wie eine Nichterhaltung der Zahlen aussieht, aber nicht so betrachtet werden sollte.

Ich bin mir nicht sicher, wer meine Kommentare, Argumente und Kritiker löscht, die Mr. Blakes Ableitung in Frage stellen. Nur weil wir nicht genug Argumente haben, um gegen eine Idee zu argumentieren, sollte dies niemals bedeuten, diese Stimme zu löschen. Soweit ich weiß, soll die Wissenschaft nicht monopolisiert werden, wie es auch beim Reichtum der Fall ist.

Beim Zählen der Anzahl von Photonen in einem System sind wir durch die Erkennung begrenzt, die wiederum durch das Heisenbergsche Unschärfeprinzip begrenzt ist, was in der Natur niemals überwunden werden kann. Theoretisch kann ein Photon über ein unendlich breites Spektrum jede Energie ungleich Null haben. Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, dass ein Photon eine bestimmte Energie hat. Vergessen wir nicht, dass Photonen nur ein Bestandteil der fundamentalen Teilchen in der Natur sind. Das bedeutet, dass sie mit mindestens jedem anderen geladenen Elementarteilchen des Standardmodells interagieren können, einschließlich ihrer Selbstwechselwirkungen. (Die Interaktionskanäle würden exponentiell zunehmen, wenn wir über Standardmodelltheorien wie Extradimensionen und Supersymmetrie hinausgehen). All dies sei gesagt, Es ist völlig in Ordnung, dass Photonen verloren gehen und/oder (durch ihre Wechselwirkungen) erzeugt werden und niemals in einem bestimmten endlichen Volumen unseres Universums (das als System bezeichnet wird) während einer endlichen Zeitspanne (innerhalb des endlichen Zeitalters des Universums) kompensiert werden. Da sie nur eine Teilmenge aller fundamentalen Teilchen sind und eine unendlich lange Lebensdauer haben, während der sie viele Wechselwirkungskanäle haben, wird ihre Anzahl in keinem endlichen Volumen unseres Universums erhalten bleiben. Es wäre jedoch schwieriger, die Frage zu verallgemeinern, „ob die Gesamtzahl aller fundamentalen Teilchen im sichtbaren Universum erhalten bleibt“. Um dies jedoch zu beantworten, Wir müssen die Theory of Everything kennen, in der ALLE fundamentalen Teilchen bekannt sind, einschließlich ihrer Lebensdauern und Massen und Interaktionskanäle, zusammen mit dem Wissen über Dunkle Materie und Dunkle Energie (die 96% des Universumsbudgets an Materie und Energie ausmachen, die ab sofort unsichtbar sind heute). Ich bin mir also sicher, dass die Antwort auf Ihre Frage lautet: "Nein. Die Anzahl der Photonen in einem endlichen Volumen, das als System bekannt ist, wird niemals erhalten bleiben." Und die anspruchsvollere möchte ich künftigen Generationen von Physikern überlassen.