Magnetischer Einschluss in einem Tokamak

Überblick

Es gibt Standardansätze zur Beantwortung dieser Frage, die meines Erachtens diejenigen, die an quantitativen Details interessiert sind, nicht zufrieden stellen. Im Folgenden werde ich also die Implikationen des poloidalen Magnetfelds erklären, indem ich explizite Lösungen der Einteilchen-Bewegungsgleichungen verwende, gefolgt von Diagrammen dieser Lösungen.

Die Bewegung eines Teilchens in einem toroidalen Feld setzt sich zusammen aus (1) einer schnellen Kreisbahn des Teilchens um das Magnetfeld zusammen mit (2) einer langsamen parallelen Bewegung und einer Driftbewegung des Zentrums der Kreisbahn in (1). Die Bewegung (1) wird als Kreiselbewegung und die Bewegung (2) als Parallel-Plus-Drift bezeichnet . Wir sprechen also in (2) von der Bewegung des Kreiselzentrums . Der Begriff der Gyrozentrumsbewegung ist grundlegend für die Theorie des Plasmatransports und bildet die Grundlage sowohl der neoklassischen als auch der gyrokinetischen Theorie. Symbolisch wird die Gyrozentrumsbewegung geschrieben als

$$\mathbf{v} = v_\parallel \mathbf{b} + \mathbf{v}_d \; ,$$

wo$v_\parallel = v_\parallel(\theta)$ist die Parallelgeschwindigkeit ,$\mathbf{b} = \mathbf{B}/B$ein Einheitsvektor in Richtung des Magnetfelds ist$\mathbf{B}$, und$B = B(\theta)$ist die magnetische Feldstärke . Ebenfalls,$\mathbf{v}_d$ist die Driftgeschwindigkeit . Die Driftgeschwindigkeit wird an anderer Stelle bis zum Erbrechen diskutiert, und so schreiben wir einfach die radiale Drift ohne Herleitung.

Kreiselbewegung

Die Gleichungen für die Bewegung des Kreiselzentrums sind bekannt, aber für einen Tokamak mit beliebiger Form sind sie kompliziert. Wenn jedoch der Tokamak-Querschnitt kreisförmig ist, ändert sich das Seitenverhältnis$R/r \gg 1$(hier,$R$ist der Hauptradius und$r$der Nebenradius ist), dann ist die Gleichung relativ einfach. In dieser Grenze sind die Bewegungsgleichungen

$$\begin{align} \frac{d\varphi}{dt} \simeq &~ v_\parallel \mathbf{b} \cdot \mathbf{e}_\varphi = \frac{v_\parallel}{R_0} \quad \text{(toroidal direction)} \\ \frac{d\theta}{dt} \simeq &~v_\parallel \mathbf{b} \cdot \mathbf{e}_\theta =\frac{v_\parallel}{q R_0} \quad \text{(poloidal direction)} \\ \frac{dr}{dt} \simeq &~ \mathbf{v}_d \cdot \mathbf{e}_r =-\frac{v_\parallel^2+\mu B}{\Omega R_0} \sin\theta \quad \text{(radial direction)} \end{align}$$

Ich benutze die Tatsache, dass$v_\parallel \gg v_d$um diese Gleichungen so einfach wie möglich zu halten. Beachten Sie, dass die Energie (über Masse)$\varepsilon = v^2/2$und magnetisches Moment$\mu = v_\perp^2/2B$sind konservierte (entlang einer Umlaufbahn konstante) Größen. Ebenfalls,$\Omega$ist die Kreiselfrequenz, die von der Teilchenmasse abhängt (ansonsten gibt es keine explizite Massenabhängigkeit). Schließlich der Sicherheitsfaktor ($q$) ist das Verhältnis der Felder

$$q \simeq \frac{r B_\varphi}{R B_\theta}$$

Dies impliziert, dass an der Grenze ohne poloidales Feld$q \rightarrow \infty$. Eine interessante Eigenschaft dieser Bahnen ist, dass sie bei einigen Parameterwerten in der poloidalen Ebene gefangen werden – mit einer charakteristischen Bananenform. Diese Bananenbahnen sind unten dargestellt.

Für die Programmierung geeignete Gleichungen

Wie geschrieben, sind sie ungefähr, geben aber einen enormen Einblick in die Funktionsweise eines Tokamaks. Allerdings sind sie noch nicht ganz in einer brauchbaren Form. Gemäß der Plasmagleichgewichtstheorie kann die magnetische Feldstärke geschrieben werden als

$$B(\theta) = B_0 \left( 1-\epsilon \cos \theta\right) = B_0 G(\theta)$$

wo$\epsilon = r/R \ll 1$.

$$\begin{align} \frac{d\varphi}{d\tau} = &~ \pm \sqrt{1-\lambda G} \\ \frac{d\theta}{d\tau} = &~\pm \frac{1}{q}\sqrt{1-\lambda G} \\ \frac{dr}{d\tau} = &~ -\rho \left( 1-\lambda G/2\right) \sin\theta \end{align}$$

wo$\tau = vt/R$ist die Transitzeit und$\rho = v/\Omega$ist der Gyroradius, und$\lambda = \mu B_0/\varepsilon$ist ein Parameter. Es muss darauf geachtet werden, das richtige Vorzeichen der Quadratwurzel für Umlaufbahnen von eingefangenen Teilchen auszuwählen.

$$\begin{align} \text{Passing particles} \quad 0 < \lambda < \frac{1}{1+\epsilon} \\ \text{Trapped particles} \quad \frac{1}{1+\epsilon} < \lambda < \frac{1}{1-\epsilon} \end{align}$$

Beispiele für vorbeifahrende und Bananenbahnen

Einstellung$r(0)=0.7$,$\rho=0.01$und$\epsilon=0.2$, können wir die Bahnformen in der Ebene verfolgen$\varphi=0$(die sogenannte Poloidebene ). Beachten Sie, dass gemäß den Ergebnissen im vorherigen Abschnitt Partikel mit$\lambda < 0.0833$sind vorbei und$0.833 < \lambda < 1.25$sind gefangen. In den Plots die Kontur$r=1$repräsentiert die Plasmagrenze . Daher haben wir als Längeneinheit den Plasma-Nebenradius gewählt. Die Ergebnisse veranschaulichen sowohl kreisförmige (vorübergehende) Umlaufbahnen als auch eingeschlossene (Bananen-) Umlaufbahnen.

Einfache Passgrenze

Wann$\lambda \ll 1$, passieren die Teilchen mit einer einfachen Bahngleichung

$$\begin{align} \frac{d\theta}{d\tau} = &~ \frac{1}{q} \\ \frac{dr}{d\tau} = &~ -\rho \sin\theta \end{align}$$

Das Lösen dieser Gleichungen ergibt die parametrische Form einer einfachen vorbeilaufenden Teilchenbahn mit Bahnbreite $q\rho$:

$$r(\theta) = r(\pi/2) + q \rho \cos(\theta)$$

Dies bestätigt erneut das bekannte Ergebnis, dass die Umlaufbahnbreite um den Faktor 0 größer ist als der Kreiselradius$q$. In einem Tokamak haben wir normalerweise$1 < q < 4$.

Verlust der Gefangenschaft

Betrachten Sie die im vorherigen Abschnitt beschriebene Passiergrenze, für die die Umlaufbahn mit gilt$q\rho$. Offenbar wann$q\rho > 1$, die Umlaufbahn ist größer als das Plasma und geht verloren, wenn sie diese Grenze überschreitet. Somit muss ein poloidales Feld nicht nur vorhanden sein, sondern es muss auch stark genug sein, um sicherzustellen$q\rho \ll 1$.

Richtig ist, dass eine Geometrie mit einem rein toroidalen Magnetfeld (dh bei der die Feldlinien nicht verdrillt sind) nicht zum Einschluss führt. Solche Vorrichtungen werden manchmal als einfacher magnetisierter Torus bezeichnet . Das Problem ist die unterschiedliche Magnetfeldstärke über den Torusquerschnitt, wie Sie es beschrieben haben, was zu Drifts von Elektronen und Ionen in entgegengesetzte Richtungen (nach oben und unten) führt.

Diese Driftbewegungen führen zu einem vertikalen elektrischen Feld und daraus resultiert ein$E\times B$Drift, deren Richtung unabhängig von der Ladung ist. Bei einem rein vertikalen E-Feld und einem rein toroidalen B-Feld erfolgt die Drift entlang der radialen Koordinate und das Plasma geht verloren. Keine Gefangenschaft.

Sie können dies überwinden, indem Sie die magnetischen Feldlinien verdrehen, wie Sie es erwähnt haben. Die Idee ist einfach: Geladene Teilchen können sich frei entlang der Magnetfeldlinien bewegen. Stellen Sie sich eine verdrillte Feldlinie vor, die einen Bereich in der oberen Hälfte des Torus und einen Bereich in der unteren Hälfte verbindet. Denken Sie daran, dass es einen potenziellen Unterschied zwischen diesen beiden Regionen gibt (wie gerade erklärt und wie auch von Ihnen erklärt). Durch die Verbindung durch die Feldlinie wird diese Potentialdifferenz einfach vernichtet, Elektronen fließen zum positiven Feld und Ionen zum negativen (die entsprechenden Ströme werden als Pfirsch-Schlüter-Ströme bezeichnet ).

Das elektrische Feld ist nicht mehr, nein$E\times B$Drift, keine Plasmaverluste (zumindest nicht aufgrund dieses Mechanismus) und wir haben eine schöne ringförmige Einschlussvorrichtung wie einen Tokamak.

Die Antworten von Alf und jcandy sind bereits vollständig - ich möchte nur eine kurze Antwort hinzufügen, indem ich die Erhaltungsgrößen der Einzelteilchenbewegung verwende.

Die Einteilchen-Lagrangedichte ist unabhängig vom Toruswinkel ($\phi$) aufgrund der toroidalen Periodizität des spiralförmigen Feldes, dh der toroidalen Symmetrie. Daraus ergibt sich der erhaltene Torusdrehimpuls

$$\begin{equation} p_{\mathrm{can}} = (m v_{\phi} - q A_{\phi})R \approx m v_{\parallel} R - q \psi = \rm{constant}\,, \end{equation}$$ wo$\psi$ist der poloidale magnetische Fluss aufgrund des poloidalen Magnetfelds. Die erhaltene Energie ist $$\begin{equation} E=\frac{1}{2} m v_{\parallel}^2 + \mu B=\mathrm{constant}\,. \end{equation}$$ Seit dem magnetischen Moment$\mu$in der obigen Energiegleichung ist eine adiabatische Invariante,$v_{\parallel}$ist begrenzt. Als Ergebnis entsteht der poloidale magnetische Fluss$\psi$ist auch durch die Drehimpulserhaltung beschränkt. Daher ist die Bewegung eines Teilchens auf Bereiche eines bestimmten poloidalen Magnetflusses beschränkt, sodass die poloidale Komponente des Magnetfelds das Problem des Einschlusses löst. In einem Tokamak wird das poloidale Feld durch den toroidalen Plasmastrom erzeugt, während in einem Stellarator sowohl poloidale als auch toroidale Felder durch externe Ströme gespeist werden.

Diese Beschreibung findet sich (zusammen mit einer guten Erklärung von Drifts) in de Blanks Artikel über die Führung von Zentrumsbewegungen .