Unterschied zwischen natürlicher Reaktion und erzwungener Reaktion?

Denken Sie in der realen Welt an ein einfaches mechanisches System wie eine elastische Stange oder einen Block, der gegen die Schwerkraft an einer Feder befestigt ist. Immer wenn Sie dem System einen Impuls geben (auf den Block oder auf die Stange), beginnen sie zu schwingen und hören bald auf, sich zu bewegen.

Es gibt Möglichkeiten, ein solches System zu analysieren. Die beiden gängigsten Wege sind:

1. Vollständige Lösung = homogene Lösung + partikuläre Lösung

2. Vollständige Reaktion = natürliche Reaktion (Null-Eingabe) + erzwungene Reaktion (Null-Zustand)

Da das System dasselbe ist, sollten beide dieselbe Endgleichung ergeben, die dasselbe Verhalten darstellt. Sie können sie jedoch trennen, um besser zu verstehen, was jeder Teil physikalisch bedeutet (insbesondere die zweite Methode).

Bei der ersten Methode denkt man eher aus der Sicht eines LTI-Systems oder einer mathematischen Gleichung (Differentialgleichung), wo man ihre homogene Lösung und dann ihre spezielle Lösung finden kann. Die homogene Lösung kann als vorübergehende Reaktion Ihres Systems auf diese Eingabe (plus seine Anfangsbedingungen) angesehen werden, und die bestimmte Lösung kann als permanenter Zustand Ihres Systems nach/mit dieser Eingabe angesehen werden.

Die zweite Methode ist intuitiver: Natürliche Reaktion bedeutet, was die Systemreaktion auf seinen Anfangszustand ist. Und erzwungene Reaktion ist die Systemreaktion auf diese gegebene Eingabe, jedoch ohne Anfangsbedingungen. Wenn Sie an dieses Stangen- oder Blockbeispiel denken, das ich gegeben habe, können Sie sich vorstellen, dass Sie die Stange irgendwann mit Ihren Händen gedrückt haben und sie dort halten. Dies kann Ihr Ausgangszustand sein. Wenn Sie es einfach loslassen, oszilliert es und hört dann auf. Dies ist die natürliche Reaktion Ihres Systems auf diesen Zustand.

Sie können es auch loslassen, aber dem System immer noch zusätzliche Energie geben, indem Sie wiederholt darauf schlagen. Das System wird wie zuvor seine natürliche Reaktion haben, aber aufgrund Ihrer zusätzlichen Treffer auch ein gewisses zusätzliches Verhalten zeigen. Wenn Sie mit der zweiten Methode die vollständige Antwort Ihres Systems finden, können Sie deutlich sehen, was das natürliche Verhalten des Systems aufgrund dieser Anfangsbedingungen ist und was die Systemantwort ist, wenn es nur die Eingabe hätte (ohne Anfangsbedingungen). Beide zusammen repräsentieren das gesamte Verhalten des Systems.

Und beachten Sie, dass die Nullzustandsantwort (erzwungene Antwort) auch aus einem „natürlichen“ Teil und einem „besonderen“ Teil bestehen kann. Das liegt daran, dass selbst ohne Anfangsbedingungen, wenn Sie dem System eine Eingabe geben, es eine transiente Reaktion + eine permanente Zustandsreaktion hat.

Beispielantwort: Stellen Sie sich vor, dass Ihre Gleichung die folgende Schaltung darstellt:

Wobei Ihr Ausgang y (t) der Stromkreis ist. Stellen Sie sich vor, Ihre Quelle ist eine Gleichstromquelle mit +48 V. Wenn Sie auf diese Weise die Spannung des Elements in diesem geschlossenen Pfad summieren, erhalten Sie:

$\epsilon=V_L+V_R$

Wir können die Induktorspannung und die Widerstandsspannung in Bezug auf den Strom umschreiben:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Wenn wir eine Stromquelle von +48 VDC und L = 10 H und R = 24 Ohm haben, dann:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

Das ist genau die Gleichung, die Sie verwendet haben. Ihr Eingang zum System (RL-Schaltung) ist also eindeutig nur Ihre Stromversorgung von +48 V. Ihre Eingabe = 48.

Die Anfangsbedingungen, die Sie haben, sind y (0) = 5 und y' (0) = 0. Physikalisch stellt dies dar, dass mein Strom der Schaltung zum Zeitpunkt = 0 5 A beträgt, sich jedoch nicht ändert. Sie denken vielleicht, dass vorher etwas in der Schaltung passiert ist, was einen Strom von 5A in der Induktivität hinterlassen hat. In diesem gegebenen Moment (Anfangsmoment) hat es also immer noch diese 5A (y(0)=5), aber es nimmt nicht zu oder ab (y'(0) = 0).

Lösung:

nehmen wir zunächst die natürliche Antwort im Format an:$Ae^{st}$

und dann finden wir das Systemverhalten aufgrund seines Anfangszustands so, als ob wir keine Stromversorgung hätten ($\epsilon=0$), was die Zero-Input-Antwort ist:

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2.4$

So,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2.4t}$

Da wir wissen, dass i(0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2.4(0)}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2.4t}$

Beachten Sie, dass bis jetzt alles konsistent ist. Diese letzte Gleichung repräsentiert die Systemantwort ohne Eingabe. Wenn ich t=0 setze, finde ich i=5, was der Anfangsbedingung entspricht. Und wenn ich lege$t=+\infty$Ich werde i=0 finden, was auch Sinn macht, wenn ich keine Quelle habe.

Jetzt können wir die spezielle Lösung für die Gleichung finden, die den permanenten Zustand aufgrund des Vorhandenseins der Stromversorgung (Eingang) darstellt:

davon gehen wir jetzt aus$i(t)=c$wo$c$ist ein konstanter Wert, der den Systemausgang im permanenten Zustand darstellt, da der Eingang ebenfalls eine Konstante ist. Bei jedem System hängt das Ausgangsformat vom Eingangsformat ab: Wenn der Eingang ein sinusförmiges Signal ist, wird es auch der Ausgang sein. In diesem Fall haben wir nur konstante Werte, was die Sache einfacher macht.

So,

$\frac{di}{dt}=0$

dann,

$48 = 10\cdot0 + 24c$(unter Verwendung der Differentialgleichung)

$c=2$

$i(\infty)=2$

was auch Sinn macht, weil wir eine Gleichstromversorgung haben. Nach dem Einschwingverhalten beim Einschalten der Gleichstromversorgung verhält sich die Induktivität also wie ein Draht, und wir haben einen Widerstandskreis mit R = 24 Ohm. Dann sollten wir 2A Strom haben, da die Stromversorgung 48V hat.

Beachten Sie jedoch, dass wir Folgendes erhalten, wenn ich nur beide Ergebnisse addiere, um die vollständige Antwort zu finden:

$i(t) = 2 + 5e^{-2.4t}$

Jetzt habe ich die Dinge im Übergangszustand durcheinander gebracht, weil ich sie gesetzt habe$t=0$werden wir nicht mehr finden$i=5$wie vorher. Und wir müssen finden$i=5$wann$t=0$weil es eine gegebene Anfangsbedingung ist. Dies liegt daran, dass die Zero-State-Antwort einen natürlichen Begriff hat, der nicht vorhanden ist, und auch das gleiche Format hat, wie wir es zuvor gefunden haben. Dort hinzufügen:

$i(t) = 2 + 5e^{-2.4t} + Be^{st}$

Die Zeitkonstante ist dieselbe, also blieb uns nur B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2.4t} + Be^{-2.4t}$

Und das wissen wir:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$(t=0)

So,

$B=-2$

Dann ist Ihre vollständige Lösung:

$i(t) = 2 + 5e^{-2.4t} - 2e^{-2.4t}$

Sie können sich diesen letzten Term, den wir finden, als Korrekturterm der erzwungenen Reaktion vorstellen, um die Anfangsbedingungen anzupassen. Eine andere Möglichkeit, es zu finden, besteht darin, sich dasselbe System vorzustellen, aber ohne Anfangsbedingungen. Wenn wir dann den ganzen Weg erneut lösen, hätten wir:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2.4t}$

Da wir aber jetzt nicht die Anfangsbedingungen (i(0)=0) betrachten, gilt:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2.4t} = 0$

Und wenn t=0:

$A=-2$

Die erzwungene (Zero-State) Antwort Ihres Systems lautet also:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2.4t}$

Es ist ein bisschen verwirrend, aber jetzt können Sie die Dinge aus verschiedenen Perspektiven betrachten.

-Homogene/besondere Lösungen:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2.4t}$

Der erste Term (2) ist die jeweilige Lösung und repräsentiert den permanenten Zustand. Der Rest der rechten Seite ist das Einschwingverhalten, auch homogene Lösung der Gleichung genannt. Einige Bücher nennen dies auch natürliche Reaktion und erzwungene Reaktion, da der erste Teil der erzwungene Teil (aufgrund der Stromversorgung) und der zweite Teil der transiente oder natürliche Teil (Systemcharakteristik) ist. Dies ist meiner Meinung nach der schnellste Weg, um die vollständige Reaktion zu finden, da Sie nur einmal den dauerhaften Zustand und eine natürliche Reaktion finden müssen. Aber vielleicht ist nicht klar, was was repräsentiert.

-Nulleingang / Nullzustand:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2.4t} + 5e^{-2.4t}$

Beachten Sie, dass dies dieselbe Gleichung ist, aber der zweite Term in zwei Teile geteilt ist. Nun, die ersten beiden Terme ($2 - 2e^{-2.4t}$) repräsentieren die Zero-State-Antwort. Mit anderen Worten, was würde mit dem System passieren, wenn es keinen Anfangsstrom gäbe und Sie die +48-V-Stromquelle einschalten würden.

Der zweite Teil ($5e^{-2.4t}$) stellen die Zero-Input-Antwort dar. Es zeigt Ihnen, was mit dem System passieren würde, wenn keine Eingabe erfolgt (Stromquelle bleibt auf 0 V). Es ist nur ein exponentieller Term, der gegen Null gehen würde, da er keine Eingabe hat.

Einige Leute nennen dieses Antwortformat auch Natural/Forced. Der natürliche Teil wäre Zero-Input und der erzwungene Teil wäre der Zero-State, der sich übrigens aus einem natürlichen Term und einem bestimmten Term zusammensetzt.

Auch hier erhalten Sie alle das gleiche Ergebnis, das das gesamte Situationsverhalten einschließlich der Stromquelle und der Anfangsbedingungen darstellt. Beachten Sie nur, dass es in einigen Fällen nützlich sein kann, die zweite Methode zu verwenden. Ein gutes Beispiel ist, wenn Sie Faltungen verwenden und Sie möglicherweise die Impulsantwort auf Ihr System mit Zero-State finden. Das Brechen dieser Begriffe kann Ihnen also helfen, die Dinge klar zu sehen und auch einen angemessenen Begriff zum Falten zu verwenden.

Wie kann es überhaupt eine natürliche Reaktion geben? Es muss etwas eingegeben werden, um eine Ausgabe zu erzeugen?

Wenn es hilft, stellen Sie sich die natürliche Reaktion als erzwungene Reaktion auf eine Impulseingabe vor.

So wie ich es sehe, ist es so, als würde man die Hauptwasserleitung abdrehen und dann den Wasserhahn aufdrehen und erwarten, dass Wasser herauskommt.

Stellen Sie sich vor, dass die Wasserleitung an einen großen Sammeltank angeschlossen ist, wie er in Brunnenwassersystemen verwendet wird, und Sie schließen das Ventil zur Wasserleitung.

Der Tank wurde mit Wasser gefüllt und mit dem Wasserleitungsdruck beaufschlagt, bevor Sie das Ventil geschlossen haben. Dies ist die Anfangsbedingung .

Wenn Sie den Wasserhahn öffnen, kommt Wasser heraus . Der Fäkalientank liefert für einige Zeit Wasser, wenn der Fäkalientank leer wird und der Druck am Wasserhahn abfällt. Dieser schwindende Wasserfluss und der Druckabfall wären die natürliche Reaktion des Systems.

Jetzt, nachdem sich der Fäkalientank geleert hat, öffnest du schnell das Wasserhauptventil, während der Wasserhahn noch offen ist.

Der größte Teil des Wasserflusses dient anfangs dazu, den Vorratstank zu „füllen“, und während sich der Tank füllt und Druck aufbaut, fließt Wasser mit zunehmender Geschwindigkeit aus dem Wasserhahn, bis der Tank voll ist und sich Durchfluss und Druck stabilisieren.

Dies ist die erzwungene Reaktion auf eine Sprungeingabe .

Das ist das Problem mit Lehrbüchern, die nicht alles so klar definieren, dass jeder die Definitionen verstehen kann. Die natürliche Reaktion spricht wirklich von einem System, das (irgendwann) so "aufgeladen" wurde, dass energiespeichernde Elemente eine gewisse Menge an Anfangsenergie enthalten, die sich in einer Anfangsspannung in einem Kondensator oder einem Anfangsstrom in einem Induktor niederschlagen könnte. Daraus ergeben sich die Anfangszustandswerte für Kondensatoren oder Induktivitäten. Dann, sagen wir zum Zeitpunkt t = 0, wird angenommen, dass die magische Quelle, die für die Energieversorgung des Stromkreises verantwortlich war, sofort entfernt wird. Wenn also die magische Quelle eine Spannungsquelle gewesen wäre, dann könnte "Entfernen" bedeuten, sie physisch zu entfernen oder sie aus dem Stromkreis auszuschalten. Also zum Zeitpunkt t = 0, Die natürliche Reaktion ist möglicherweise nur das Verhalten eines Stroms durch eine Induktivität oder einen Kondensator oder einer Spannung über einem Kondensator oder einer Induktivität. Und die Schaltung wird nur von diesen anfangs geladenen Komponenten mit Strom versorgt (weil wir ab der Zeit t = 0 keinen "externen" Quelleneingang annehmen).

Für die natürliche Reaktion ist es also wirklich ein Fall, in dem es „einmal“ eine externe Eingabe gab, um die Anfangsbedingungen in den Induktoren und Kondensatoren zu erzeugen. Nun, wenn das System nicht von Anfang an aufgeladen wäre, so dass alle Kondensator- und Induktorspannungen und -ströme von Anfang an Null wären, was wäre dann die natürliche Reaktion des Systems? Antwort: Null.

Die erzwungene Antwort ist nun die Antwort einer Schaltung (z. B. ein Spannungsverhalten oder ein Stromverhalten) für den Fall, dass wir davon ausgehen, dass Induktivitäten und Kondensatoren von vornherein keine Anfangsenergie haben, was bedeutet, dass keine Anfangsspannung oder Anfangsströme in diesen Komponenten vorhanden sind . Und dann wenden wir plötzlich eine externe Kraft (Quelle) auf den Eingang der Schaltung an. Dem Verhalten von Strömen und/oder Spannungen der Schaltung für dieses Szenario wird nur ein Name gegeben .... die erzwungene Reaktion genannt wird. Im Grunde ist es eine Reaktion auf eine Quelleneingabe, basierend auf der Annahme, dass wir mit NULL-Energie-Anfangsbedingungen in Induktoren und Kondensatoren begonnen haben.

Sobald wir Methoden verwendet haben, um die natürliche Reaktion und die erzwungene Reaktion bequem zu erhalten, addieren wir einfach beide Teile, um das vollständige Bild zu erhalten. So ähnlich wie das Superpositionsprinzip.

Ich bin mit dem Begriff „erzwungene Reaktion“ in diesem Zusammenhang nicht vertraut, aber hier geht es. Viele Systeme können als erste Ordnung plus Totzeit (FOPDT) charakterisiert werden. Die „natürliche Reaktion“ eines solchen Systems auf einen Stimulus ist eine anfängliche Verzögerung, gefolgt von einer exponentiellen Annäherung an einen neuen stationären Zustand.

Stellen Sie sich ein Heizelement vor, das von einer variablen Spannungsquelle versorgt wird. Anfangsbedingungen sind abgeschaltet und Heizung auf Umgebungstemperatur. Einschalten bei sagen wir 10 Volt. Für eine kurze Zeit (die Totzeit) ändert sich die Heizungstemperatur nicht. Die Temperatur beginnt dann zu steigen, zunächst schnell, um sich dann allmählich auf einen neuen stationären Zustand einzustellen. Wenn Sie die beteiligten Zeiten sorgfältig beobachten, werden Sie drei natürliche Merkmale des Systems feststellen:

1. Verstärkung - ausgedrückt in Grad/Volt. Wenn die 10 Volt eine Verstärkung von 20 Grad verursachten, dann Verstärkung = 2. Für einen 20-Volt-Eingang sollten Sie also eine 40-Grad-Erhöhung von der Umgebung erwarten.
2. Totzeit – zu erwartende Verzögerung als Reaktion auf eine Eingangsänderung. (Trägheit)
3. Zeitkonstante oder Eigenfrequenz - Zeit vom Beginn der Änderung zum stationären Zustand beträgt 5 Zeitkonstanten. (wie Laden eines Kondensators)

Mit diesen Daten können Sie vorhersagen, wie viel Temperaturänderung bei einer bestimmten Spannungsänderung zu erwarten ist und wie lange es dauern wird, dh natürliche Reaktion.

Ich nehme an, eine „erzwungene Reaktion“ würde eine Überstimulation des Systems bedeuten, um ein schnelleres Ergebnis zu erzielen. Um also 30 Grad zu erhöhen, wissen wir, dass wir eine Erhöhung der Eingabe um 15 Volt benötigen. Durch kurzzeitiges Erhöhen der Spannung um 25 Volt und anschließendes Zurücknehmen von 10 Volt konnten wir die gewünschte Endtemperatur schneller erreichen, also ein schnelleres Ansprechen „erzwingen“.