Wie entwickelt sich eine Ladungsverteilung mit der Zeit? (in der klassischen Elektrodynamik)

Wenn Sie den Strom und die Ladung kennen, werden Ihnen die Felder nicht mitgeteilt. Und die Kenntnis der Felder sagt Ihnen nicht, wie sich Ladung und Strom entwickeln. Selbst das Einwerfen der Masse jeder Spezies und der Geschwindigkeit jeder Spezies und des Verhältnisses von Ladung zu Masse jeder Spezies legt es nicht vollständig fest und würde Ihnen immer noch nicht die Felder mitteilen.

Sie haben stattdessen ein gekoppeltes System von Ladungen und Feldern. Und all das muss spezifiziert werden, und dann muss die Entwicklung des gegenseitigen Systems gelöst werden. Und die Kontinuum-Version hat bekanntlich Katastrophen. Und selbst die diskrete Version hat Probleme mit Strahlungsreaktionen.

Und manchmal verursachen diese Probleme nur kleine Probleme und sind daher keine große Sache. Und historisch gesehen war dies ein Problem, und die meisten Leute haben es aufgegeben, um Quantenelektrodynamik zu studieren , aber sie haben es nicht aufgegeben, weil sie es gelöst haben. Die klassische Elektrodynamik, wie sie normalerweise gemacht wird, hatte also Mängel, und die meisten Leute gingen einfach davon weg, was in Ordnung ist, wenn die derzeitigen Benutzer die Einschränkungen kennen.

Es wird oft behauptet, dass in der klassischen Elektrodynamik eine anfängliche Ladungsverteilung zusammen mit einem anfänglichen Geschwindigkeitsfeld die elektrischen und magnetischen Felder bestimmt,

Ich kenne kein einziges Beispiel dafür, dass jemand anderes als Sie das jemals gesagt hätte. Aber es ist nicht wahr. Wenn Sie zum Beispiel zwei Ladungen hatten, die fünf Lichtjahre voneinander entfernt waren, hielt eine für alle in Ruhe$t\lt t_0$und die andere für alle in Ruhe gehalten$t$mit$|t-t_0-3\rm{yr}|\lt 1\rm{yr}$und während dieser Zeit wurde es gezwungen, harmonisch mit einer festen kleinen Amplitude und einer festen Frequenz von beispielsweise der Frequenz von rotem Licht zu schwingen.

Dann bei$t=t_0$Sie können beide Ladungen freigeben und sie verhalten sich wie zwei Ladungen, die immer in Ruhe waren. Für eine Weile. Genau genommen seit einem Jahr. Und dann erreicht die Strahlung der ersten Ladung die zweite Ladung und sie beginnt sich in dem beschriebenen Fall anders zu bewegen als in dem Fall, in dem beide immer in Ruhe waren.

Sie wiesen die gleiche Anfangsladung und Stromverteilung auf$t=t_0$aber hatten unterschiedliche Felder (also war dieser Teil nicht wahr) und dann hatten sie unterschiedliche Entwicklungen (also passierte dieser Teil auch nicht).

Im Allgemeinen gibt es viele mögliche Felder bei einer gewissen Anfangsladung und Anfangsstrom. Zum Beispiel gibt es kostenlos viele mögliche Vakuumlösungen für Maxwell, und Sie können eine beliebige davon zu einer inhomogenen Lösung für Maxwell hinzufügen und eine andere Lösung für Maxwell erhalten. So viele Lösungen für homogenen Maxwell führen zu vielen Lösungen für inhomogenen Maxwell.

Wenn Sie eine einzigartige Lösung erhalten möchten, sollten Sie Jefimenko oder Liénard-Wiechert verwenden, und beide erfordern die Kenntnis der gesamten Vergangenheit, nicht nur der Anfangsladung und des Anfangsstroms.

die wiederum eindeutig die Dynamik dieser Verteilung (wie sie sich im Laufe der Zeit entwickelt) bestimmen.

Selbst wenn Sie die Felder irgendwie bekommen haben (z. B. wenn Sie sie bekommen haben), dann ist alles, was Ihnen dies gibt, die Kraft. Zu wissen, wie Kräfte Bewegungen bestimmen, ist nicht trivial. Bereits das zweite Newtonsche Gesetz erlaubt mehrere Lösungen (wie Nortons Dome) und das Einwerfen geladener Teilchen macht es durch Strahlungsreaktionen und andere Komplikationen noch komplizierter.

Außerdem benötigen Sie entweder die Masse der verschiedenen Arten geladener Teilchen oder andere ähnliche Informationen.

Also jeder Traum, den du einfach haben könntest$\rho (\vec r,0)$Und$\vec J(\vec r,0)$und bekomme Dynamik (get$\rho (\vec r,t)$Und$\vec J(\vec r,t)$) ist dazu verdammt, die Felder nicht anzugeben (und um Jefimenko und/oder Liénard-Wiechert zu verwenden, muss man die gesamte Vergangenheit kennen, nicht nur die Gegenwart). Und selbst wenn Sie das hätten, wäre die Dynamik aufgrund von Strahlung und anderen Effekten nicht trivial, und Sie bräuchten die Masse und so.

Sie benötigen also für jede Spezies ein Massenverteilungs- und Geschwindigkeitsfeld mit einem festen Verhältnis von Ladung zu Masse. Und dann müssten Sie entweder die Felder angeben (einschließlich möglicher Vakuumlösungen) oder Sie benötigen eine Vergangenheitsgeschichte für die Ladungen, die die Beschleunigungen in der Vergangenheit enthält. Andernfalls müssten Sie nur die Anfangsfelder erhalten. Und selbst wenn Sie die anfänglichen Felder haben, die anfängliche Massenverteilung jeder Spezies und das anfängliche Geschwindigkeitsfeld jeder Spezies. Dann müssten Sie sich mit der gegenseitig gekoppelten Dynamik von Ladungen und Feldern befassen, was nicht trivial ist.

Wenn eine Partikelart ein winziges Verhältnis von Ladung zu Masse hat und es keine anderen Kräfte gibt, bewegt sie sich im Wesentlichen in geraden Linien. Wenn sie ein riesiges Verhältnis von Ladung zu Masse haben, können die Linien ziemlich gebogen sein, und dann werden Strahlungsreaktionen und andere Komplikationen relevanter.

Das sind alles Probleme, die bei diskreten Teilchen auftreten. Kommen wir also zur Kontinuumssituation. Das gesamte Fluidmodell hat Probleme, und ich werde auf „Inkonsistenz, Asymmetrie und Nichtlokalität: Eine philosophische Untersuchung der klassischen Elektrodynamik“ als (fehlerhafte, aber) allgemeine Quelle vieler Probleme mit der klassischen Elektrodynamik verweisen. Und insbesondere gibt es eine berühmte Problem, bei dem Sie eine kugelförmige Ladungsverteilung haben, sodass jede Schale nur zum elektrischen Feld der äußeren Schalen beiträgt und sich alles rein radial bewegen kann.Und dennoch können Sie anfängliche Schalen dazu bringen, sich zu kreuzen.

Im Allgemeinen wird dieses Phänomen im Bereich der Katastrophentheorie untersucht. Was nur der technische Name ist. Grundsätzlich zeigt es, dass das Flüssigkeitsmodell zusammenbricht. Das Flüssigkeitsmodell bedeutet, dass Sie den Raum in Regionen aufteilen und jeder Region einen Geschwindigkeitsvektor zuweisen, der die kollektive Bewegung aller Partikel dieser Art beschreibt. Dann nehmen Sie Gruppen von Regionen und haben unterschiedliche Geschwindigkeiten für verschiedene Regionen in der Gruppe und haben effektiv so etwas wie ein Vektorfeld. Dies bricht zusammen, wenn Partikel aus einer Region ohne Vermischung in Partikel aus einer anderen Region übergehen.

Stellen Sie sich eine spärliche Gruppe von Autos mit 100 km / min vor, die auf einen spärlich geparkten Parkplatz zusteuern, als sie dort durchfahren, gibt es eine Katastrophe (obwohl die Spärlichkeit keine Kollision bedeutet, Katastrophe ein technischer Begriff, kein emotionaler oder umgangssprachlicher Begriff ist), der Punkt ist das obwohl es sich bei den Autos um die gleiche Art handelt, versagt das Modell einer Flüssigkeit mit einer Geschwindigkeit.

Partikel mit einem niedrigen Ladungs-Masse-Verhältnis bewegen sich in sehr geraden Linien. Wenn sie spärlich sind und eine Gruppe mit hoher Geschwindigkeit auf eine Gruppe mit niedriger Geschwindigkeit zusteuert, können sie größtenteils unverändert passieren (spärlich, also nicht in die Nähe und geringe Ladung der Masse kommen, also verhalten sie sich ähnlich wie Staub, ein druckloses Gas , wieder ist Staub ein anderer Fachbegriff, kein umgangssprachliches Wort). Später sollten also die schnellen auf der anderen Seite ziemlich unverändert herauskommen und das Gleiche gilt für die langsamen Haufen. Ein Flüssigkeitsmodell würde versuchen, der gesamten Sammlung während der Zeit, in der sie denselben Bereich besetzten, eine einzige Geschwindigkeit zuzuweisen.

Dies wäre in Ordnung, wenn sie dicht genug wären, um zu interagieren, und genug Zeit hätten, eine gemeinsame kollektive Geschwindigkeit für jede kleine Region zu bilden.

Die Katastrophe der Flüssigkeitstheorie kommt von einer kontinuierlichen Version eines ähnlichen Problems, jede Hülle wird nach außen gedrückt, aber mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Die Ladungsdichte kann radial variieren. Aber auch die Oberfläche variiert bei unterschiedlichen Radien, und so kann man es so gestalten, dass die Innenflächen eine stärkere Kraft spüren und somit ein völlig normales radiales Ladungsverteilungs- und Radialgeschwindigkeitsfeld entsteht, das sich im Laufe der Zeit mit einem anfänglich kleineren Radius entwickelt Granate mit einer Anfangsgeschwindigkeit bewegen sich nach außen, um sich zu kreuzen (die gleiche Höhe zu erreichen) wie eine Granate mit anfänglich größerem Radius, und so landen beide Granaten zur gleichen Zeit (eine endliche Zeitdauer) auf demselben Radius, jedoch mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Die Flüssigkeitstheorie versagt also.

Sie könnten also versuchen, eine gegebene Kraftdichte zu hypothetisieren$\rho\vec E+\vec J\times\vec B$oder eine Beschleunigung proportional zu$\rho\vec E+\rho\vec v\times\vec B$Wo$\vec v$ist der Geschwindigkeitsfeldwert dieser Spezies an diesem Punkt und die Proportionalität hängt vom Ladungs-zu-Masse-Verhältnis ab. Aber da die gesamte Existenz des Fluidgeschwindigkeitsfeldes die Vermeidung einer Katastrophe erfordert und Sie dies im Allgemeinen nicht können, ist dies ein hoffnungsloses Problem.

Aber es ist nicht besonders hoffnungslos, das ursprüngliche Problem war schlimm. Es ist nicht so, dass Newtons zweites Gesetz Ihnen Dynamik gibt. Und das Lorentzkraftgesetz ist auch fatal fehlerhaft.

Was die Leute tun, ist eine Situation in Betracht zu ziehen, in der diese Fehler zu minimal oder unwichtig falschen Ergebnissen führen, und dann geben sie ehrlich zu, dass ihre Annahmen in der allgemeinen Situation versagen. Zum Beispiel mit

$$m\vec a=q\vec E+q\vec v\times\vec B$$ berücksichtigt nicht die Strahlungsreaktion, aber für viele Situationen führt dieser Fehler nur zu kleinen Fehlern. Wenn Sie vorgeben, dass es sich um ein exaktes Ergebnis handelt, dann sind Sie unehrlich. Aber Sie versuchen oft nur, eine Vorhersage zu treffen, die für eine bestimmte Situation gut genug ist.

Einige Leute gehen iterativ mit Fragen der Strahlungsreaktion um. Sie verwenden geschätzte Extrapolationen der Entwicklung der Ladungen, um die Felder aufgrund dieser Ladungen und Ströme zu finden, und dann verwenden sie diese Felder, um die Kräfte auf die dann verwendeten Teilchen zu erhalten$\vec F=m\vec a$und das Lorentzkraftgesetz, um zu versuchen, eine neue vorhergesagte Ladungsentwicklung und eine neue vorhergesagte Stromentwicklung zu erhalten. Dann verwenden sie aus diesen neuen Ladungsvorhersagen und diesen neuen Stromvorhersagen Maxwell, um neue Vorhersagen für die Felder zu erhalten.

Und dann wiederholen sie: Sie nutzen die neuen Felder, um neue Kräfte zu finden und noch neuere Vorhersagen für die Ladung und den Strom zu erhalten. Und verwenden Sie diese dann, um noch neuere Vorhersagen für die zukünftigen Felder zu erhalten.

Und dann wiederholen sie: Sie verwenden die noch neueren Felder, um noch neuere Kräfte zu finden und erhalten noch neuere Vorhersagen der Ladung und des Stroms.

Und so weiter und so weiter. Abwechselnd 1) dynamische Ladungen, Anfangsfelder und Maxwell verwenden, um dynamische Feldfelder zu erhalten, und 2) dynamische Felder, Anfangsladungen, Anfangsströme, Massen und Lorentz verwenden, um dynamische Ladungen und Ströme zu erhalten.

Und hier geht es nicht darum, iterative Vorhersagen für immer spätere Zeiten zu finden. Es geht darum, Iterationen von Vorhersagen für alle zukünftigen Zeiten zu machen, sogar zukünftige Zeiten für kurze Zeit in der Zukunft. Und soweit ich weiß, gibt es kein Ergebnis, das besagt, dass dieser iterative Prozess konvergiert. Aber in vielen Situationen von praktischem Interesse erzeugte jede dieser ersten Iterationen sehr kleine Korrekturen, wenn die anfängliche Schätzung gut war. Und so können wir es nach einer endlichen Zahl beenden und hoffen, dass es zum Üben gut genug ist.

Dies ist kein zufriedenstellender theoretischer Rahmen, und Leute, die Ihnen sagen, dass die klassische Elektrodynamik, wie sie normalerweise durchgeführt wird, konsistent und unkompliziert ist, irren sich oder lügen Sie aktiv an.

Es ist nicht einfach, und die Art und Weise, wie viele Leute es tun, ist tatsächlich mathematisch inkonsistent. So zu tun, als wäre es eine perfektere Theorie, als sie ist, ist gefährlich und unklug, zum Beispiel könnten Sie die Strahlung nicht vorhersagen, die durch ein großes Magnetfeld verursacht wird, das ein mit hoher Geschwindigkeit geladenes Teilchen in einem Kreis biegt, und die zu Schäden an Objekten und/oder führen könnte Verletzungen oder Tod verursachen. Sie müssen wissen, wann Sie eine Theorie mit Einschränkungen verwenden, damit Sie vorsichtig damit umgehen können.

Lehrbücher werden Ihnen eine Spielzeugtheorie in einer besonderen Situation vermitteln. Wenn Sie zum Beispiel ein Lehrbuch mit einem Testladungspunktteilchen in einem externen Feld herausziehen, werden sie eine Lagrange-Funktion aufschreiben, die das Lorentz-Kraftgesetz als Euler-Lagrange-Gleichungen erzeugt, weil sie erwarten, dass Ihnen das gefallen wird. Oder sie könnten eine Lagrange-Funktion für Felder mit einer festen Quelle korrigieren und dann Maxwell als Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten, weil sie erwarten, dass Ihnen das gefallen wird.

Und dann kannst du vorgeben$\vec F=m\vec a$ist eine Sache, die immer funktioniert, obwohl Beispiele bekannt sind, wo es nicht funktioniert. Und dann können Sie so tun, als ob Sie nur ein externes Feld kennen und eine Kraft erhalten, und die Strahlung ignorieren, die durch das Teilchen verursacht wird, das die Kraft spürt. Aber das würde bedeuten, die Grenzen zu ignorieren, anstatt sie zu akzeptieren und damit umzugehen.

Aber in Wirklichkeit gibt es Anfangsfelder und Anfangsladungen, und Sie müssen beide gemeinsam entwickeln. Und das ist ein ganz anderes Fach, das kein Standard-Lehrbuchfach ist.

Wenn Sie ein bestimmtes Problem auswählen, wie es die Plasmaphysiker tun, können Sie ungefähre Lösungen finden, die für Ihre spezielle Situation gut genug sind. Das ist, was fast jeder fast die ganze Zeit tut.

Es wäre sicherlich komplizierter. Ein Problem ist, ob die Ladungsverteilung fest oder flüssig ist. Wenn es solide (und unzerbrechlich) ist, ist es nicht so schlimm. Bestimmen Sie mit Integrationsmethoden in Jackson die Felder und finden Sie dann die Gesamtkraft und das Drehmoment auf Ihr Objekt. Wenn Ihr Objekt nicht viel Ladung hat, lohnt es sich aufgrund anderer Ladungen nur um die Felder.

Wenn es sich um eine Flüssigkeit handelt, ist es eine Kombination aus Elektrodynamik und Flüssigkeiten, die als Plasmaphysik bezeichnet wird.

Das Folgende ist nur eine Teilantwort, da es keine "allgemeine Antwort" gibt, die für eine willkürliche Ladungsverteilung kompliziert wäre (z. B. würden Sie das Verhältnis von Ladung zu Masse der Teilchen benötigen).

Betrachtet man eine Ladungsverteilung in einem leitenden Medium, charakterisiert durch das Ohmsche Verhältnis$\overrightarrow{j(r)} = \overleftrightarrow{\sigma(r)} \, \overrightarrow{E(r)}$, mit$\overleftrightarrow{\sigma(r)}$die (lokale) Tensorleitfähigkeit des Mediums, dann können Sie die Ladungskontinuität ($\frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{j} = 0)$, sowie die Maxwell-Gauß-Gleichung ($\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$), um eine vollständige Gleichung für die Entwicklung von zu erhalten$\rho$, aus dem Sie (im Prinzip) die Entwicklung von erhalten können$\overrightarrow{E}$Und$\overrightarrow{B}$.

Wenn Ihr Medium aus Partikeln mit konstanter Ladung besteht$q$, Masse$m$und Dichte$n(r,t)$+ ein paar Hypothesen (nichtrelativistische Geschwindigkeiten, vernachlässigbare Verzögerung durch Lichtausbreitung, keine Strahlung von beschleunigenden Ladungen), können Sie auch eine Gleichung ähnlich der Fluiddynamik schreiben:

$$\frac{\partial m (n(r,t) \overrightarrow{v}(r,t))}{\partial t} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} (m \, n(r,t) \overrightarrow{v}(r,t)) = q\, n(r, t)(\overrightarrow{E}(r,t) + \overrightarrow{v}(r,t) \times \overrightarrow{B}(r,t))$$

Dies, kombiniert mit der Kontinuitätsgleichung für$n(r,t)$Und$\overrightarrow{j}(r,t)$(beachten Sie, dass$\overrightarrow{j}(r,t) = q n(r,t)$):

$$\frac{\partial q n(r,t)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (q \, n(r,t) \overrightarrow{v(r,t)} )= 0,$$

ebenso wie$4$Maxwell-Gleichungen beziehen$\overrightarrow{E}$,$\overrightarrow{B}$der Ladungsdichte und -ströme sowie entsprechende Anfangs- und Randbedingungen ergeben einen vollständigen Satz von Differentialgleichungen, die außer in extrem vereinfachten Fällen völlig unmöglich zu lösen sind. Aber Sie können es mit Zahlen versuchen!

Für den Fall, dass Ihre Ladungs- und Stromverteilung langsam genug variiert, um sich in einem quasi-stationären Zustand zu befinden, haben Sie sogar eine explizite Formel dafür$\overrightarrow{E}$Und$\overrightarrow{B}$, was das Problem (absolut nicht) trivial macht:

$$\overrightarrow{E}(r,t) = - \overrightarrow{\nabla}_r \left(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{n(r',t)}{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}|} d^3r' \right), ~\mathrm{and}$$

$$\overrightarrow{B}(r,t) = \frac{q \mu_0}{4 \pi} \int \frac{n(r',t) \overrightarrow{v}(r',t) \times (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'})}{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}|^3} d^3r'$$

Es ist nicht so weit von den Gleichungen der Magnetohydrodynamik und/oder Elektrodynamik entfernt, die das Verhalten von leitenden und/oder geladenen Fluiden untersuchen. Wenn Sie diesem ohnehin schon komplizierten Problem Viskosität, Strahlung usw. hinzufügen, können Sie allmählich verstehen, warum dies so schrecklich schwierig zu lösen ist ...