Einen Ball in eine rotierende Raumstation werfen

Angenommen, der Ball wird von einem Punkt auf dem Boden "nach oben" geschossen (dh es wird eine Kraft in radialer Richtung ausgeübt). Aus der Perspektive eines externen Trägheitsbeobachters bewegt es sich tatsächlich auf einer geraden Linie in Richtung des Geschwindigkeitsvektors zum Zeitpunkt des Verlassens des Bodens, einer Kombination aus der Tangentialgeschwindigkeit aus der Rotation und der Radialgeschwindigkeit aus der Kraft, die schoss es "auf". Dies bedeutet, dass sein Pfad eine Sehne des Kreises sein wird, der durch den Boden der Station definiert ist, sodass es aus der Perspektive einer Person auf dem Boden so aussieht, als würde er auf eine maximale Höhe steigen und dann wieder auf den Boden "fallen" . Diese Seite hat eine gute Illustration:

Wie auf der Seite vermerkt, hat der Ball eine höhere Gesamtgeschwindigkeit und eine kürzere Wegstrecke als der Punkt auf dem Boden, von dem aus er hochgeschossen wurde, sodass er nicht genau an derselben Stelle auf dem Boden landet, ein Effekt, der im rotierenden Rahmen der Station würde durch die Coriolis-Kraft erklärt werden , eine geschwindigkeitsabhängige "fiktive Kraft", die in rotierenden Rahmen zusammen mit der Zentrifugalkraft zu sehen ist .

Diese Seite hat ein ähnliches Diagramm für einen Ball, der aus einer festen Höhe über dem Boden fällt:

In dem erweiterten Szenario, in dem der Ball relativ zum Zentrum der Station ruht (was einfach durch Berechnung der richtigen Kraft erreicht werden könnte, die auf ihn ausgeübt werden muss, um ihn in diesem Rahmen zur Ruhe zu bringen), schwebt er nicht über einer konstanten Position auf Boden, da der Trägheitsbeobachter den Boden an sich vorbei rotieren sieht. Von Bord der Station aus scheint sie also seitlich relativ zum Boden zu fliegen und dabei eine konstante Höhe beizubehalten, als ob sie sich in einer "Umlaufbahn" befände. Auch hier lässt sich das Nichtfallen im rotierenden Rahmen mit der fiktiven Coriolis-Kraft erklären.

Definieren Sie für die eigentlichen Gleichungen zunächst$\omega$die Winkelgeschwindigkeit der Stationsrotation, gesehen im Trägheitssystem, in dem der Mittelpunkt der Station ruht (falls$T$ist dann die Zeitdauer für eine volle Umdrehung$\omega = 2\pi / T$). Dann wirkt in dem rotierenden Rahmen, in dem jeder Punkt auf der Oberfläche der Station ruht, die Zentrifugalkraft auf ein Massenobjekt$m$in einem Radius$r$von der Mitte hat eine Größe gegeben durch$mr\omega^2$, und die Richtung des Zentrifugalkraftvektors zeigt immer vom Zentrum radial nach außen. Die Coriolis-Kraft auf ein Objekt mit Masse$m$und Geschwindigkeit$\vec{v}$im rotierenden Koordinatensystem ist gegeben durch$-2m (\vec{\Omega} \times \vec{v})$, Wo$\vec{\Omega}$ein Rotationsvektor ist, dessen Betrag gleich ist$\omega$und dessen Richtung parallel zur Rotationsachse der Station ist (auf welches Ende des Zylinders dieser Vektor zeigt, wird durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt , siehe das Diagramm hier ). Und wenn Sie mit Vektoroperationen nicht vertraut sind, die$\times$Symbol ein$(\vec{\Omega} \times \vec{v})$soll das Kreuzprodukt der beiden Vektoren bezeichnen, was einen neuen Vektor mit Größe ergibt$\omega v \sin (\theta)$(Wo$\omega$ist Größenordnung von$\vec{\Omega}$dh die Winkelgeschwindigkeit,$v$ist die Größenordnung von$\vec{v}$dh die Geschwindigkeit, und$\theta$ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren$\vec{\Omega}$Und$\vec{v}$) und Richtung, die durch die Regel für die rechte Hand angegeben wird (siehe dieses Diagramm von der Wiki-Seite für die Regel für die rechte Hand, oder das Diagramm hier mit einer anderen Handausrichtung, die das gleiche Ergebnis liefert). Beachten Sie, dass aufgrund des negativen Vorzeichens in der Coriolis-Kraftgleichung die Coriolis-Kraft in die entgegengesetzte Richtung zeigt$(\vec{\Omega} \times \vec{v})$.

Wenn Sie das ausrechnen, sehen Sie, dass, wenn ein Objekt einen Geschwindigkeitsvektor hat, der einen Kreis um die Rotationsachse tangiert (wie ein kreisförmiger Querschnitt der Innenfläche der Station), und in die entgegengesetzte Richtung zur Rotation der Station (so wenn sich die Station im Uhrzeigersinn dreht, sollte der Geschwindigkeitsvektor des Objekts gegen den Uhrzeigersinn zeigen), dann zeigt der Corioliskraftvektor radial nach innen, entgegengesetzt zum Zentrifugalkraftvektor, der radial nach außen zeigt. Die Größe der Coriolis-Kraft wird in diesem Fall sein$2m\omega v$, und da der Betrag des Zentrifugalkraftvektors ist$mr\omega^2$, das heißt, wenn$v = r\omega$die Coriolis-Kraft wird sein$2mr\omega^2$, doppelt so zentrifugal, also wird ihre Summe eine Kraft sein$mr\omega^2$Richtung Zentrum zeigen. Und die Bedingung für eine kreisförmige Umlaufbahn ist übrigens, dass das umlaufende Objekt einen Radius hat$r$und eine rein tangentiale Geschwindigkeit$v$, es sollte eine innere Kraft von erfahren$mv^2 /r$; in diesem Beispiel, da das Objekt Tangentialgeschwindigkeit hat$v = r\omega$die erforderliche Einwärtskraft ist$m (r\omega)^2 /r = mr\omega^2$, und genau das haben wir für die Summe der Zentrifugal- und Corioliskräfte gefunden. Daher wird vorhergesagt, dass ein Objekt mit dieser Geschwindigkeit in dem rotierenden Rahmen mit einem konstanten Radius umkreist und niemals näher auf den Boden der Station "fällt". Und die Periode für diese Umlaufbahn wird sein$T = 2\pi r / v = 2\pi r / (r\omega) = 2\pi / \omega$, was genau der Rotationsperiode der Station entspricht, wie sie im Trägheitsruhesystem der Station zu sehen ist. Das bedeutet also, dass das Objekt, das auf diese Weise im Rotationsrahmen gesehen "umkreist", im Trägheitsruhesystem der Station einfach ruht, genau wie in Ihrem erweiterten Szenario.

Allgemeine Bemerkungen.

Im Wesentlichen scheinen all Ihre Verwirrungen auf eine irrtümliche Vermischung von Beobachtungen in verschiedenen Bezugsrahmen zurückzuführen zu sein. Insbesondere müssen Sie darauf achten, die Beobachtungen eines Beobachters, der sich auf dem Raumschiff dreht, nicht mit den Beobachtungen eines Trägheitsbeobachters zu vermischen, der sich nicht mit dem Raumschiff dreht.

Für einen Trägheitsbeobachter bewegt sich der Ball tatsächlich mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer geraden Linie, sobald er losgelassen wurde, aber für einen Beobachter, der sich mit dem Raumschiff dreht, sieht die Bahn des Balls im Allgemeinen nicht gerade aus.

Ein einfaches Beispiel, um Ihre Intuition zu testen.

Ein konkreter, einfacher Fall von Anfangsdaten, der dies kristallklar macht, ist folgender: Angenommen, jemand am Rand des Raumschiffs, das sich mit dem Raumschiff dreht, wirft einen Ball tangential zum Rand des Schiffs und in die Ebene senkrecht zu seiner Rotation. Nehmen Sie zusätzlich an, dass es entgegen der Drehrichtung mit einer Geschwindigkeit geschleudert wird, die genau der von innen gesehenen Schiffskante entspricht. In diesem Fall ist aus Sicht eines Trägheitsbeobachters von außen die Anfangsgeschwindigkeit des Balls Null, weil sich die Geschwindigkeit des Schiffs und die Geschwindigkeit des Balls im Anfangsmoment aufheben. Beachten Sie jedoch, dass sich das Schiff aus der Perspektive des Trägheitsbeobachters unter der Kugel dreht. Dies impliziert, dass aus Sicht des mit dem Schiff rotierenden Werfers

Mit anderen Worten, eine Kugel, die gerade an einem Punkt auf der Felge sitzt, wie sie von einem Trägheitsbeobachter gesehen wird, scheint sich gemäß einem rotierenden Beobachter entlang eines Kreisbogens zu bewegen.

Eine andere Denkweise ist, dass nur der Trägheitsbeobachter keine Kräfte auf die Kugel beobachtet. Ein Beobachter, der sich mit dem Schiff dreht, wird Kräfte auf den Ball beobachten, trotz des Fehlens physikalischer Wechselwirkungen zwischen dem Ball und anderen Objekten. Diese Kräfte sind in diesem Sinne nicht real, aber sie sehen und fühlen sich genauso real an wie Kräfte aufgrund von Interaktionen, wenn Sie eine Person sind, die sich mit dem Schiff dreht und einen geworfenen Ball betrachtet.

Mathematisches Detail über ein cooles Problem.

Die Mathematik all dessen liegt in folgendem Problem:

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und seine detaillierte Lösung

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Schauen Sie sich auch die Bilder am Ende an, die die Bahnen eines Balls sowohl im Trägheits- als auch im Nicht-Trägheitsrahmen vergleichen.

Ich habe große Probleme, Kreisbewegungen, fiktive Kräfte und die Bestimmung, ob ein Referenzrahmen intertial ist, zu verstehen.

Was ist ein Bezugsrahmen? Es gibt einige formale Definitionen. Aber lassen Sie uns einen intuitiven auswählen, um das Verständnis zu verbessern:

1. Definition: Ein isoliertes Teilchen ist ein Teilchen, bei dem der Abstand des nächsten Teilchens unendlich weit entfernt ist. Daher erfährt ein isoliertes Teilchen keine Wechselwirkung mit anderen Teilchen und daher keine Kraft.
2. Definition: Ein Inertialbezugssystem ist ein Bezugssystem, in dem sich ein isoliertes Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit befindet$v$.

Sobald der Ball Ihre Hand verlässt, wirken keine Kräfte mehr auf ihn (vorausgesetzt, der Luftwiderstand ist vernachlässigbar). Naiv würde ich denken, dass sich der Ball mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt, aber diese Schlussfolgerung ist wahrscheinlich falsch.

Wenn Sie sich in einem Referenzrahmen befinden und Ihre Raumstation beobachten, wenn jemand einen Ball wirft, sagt Newtons zweites Gesetz:$\mathbf F = \mathbf{\dot p}$. Das heißt, wenn keine Kraft auf den Ball wirkt, linearer Impuls$\mathbf p = m\mathbf v$wird konservieren. Daher bewegt sich der Ball mit einer konstanten Geschwindigkeit in Bezug auf ein Trägheitsbezugssystem. Diejenigen auf der Station, deren Bezugsrahmen nicht träge ist, werden jedoch sehen, wie sich der Ball in seiner Flugbahn krümmt, was den Anschein erweckt, als hätte er eine Kraft.

Um das Szenario zu erweitern, stellen Sie sich vor, wir hätten den Ball im Weltraum platziert und das Raumschiff um den Ball herum gebaut und dann begonnen, das Raumschiff zu drehen. Jeder, der im Raumschiff steht, würde 1 g auf seine Füße ausgeübt fühlen, und so scheint die Gravitationssimulation gut zu funktionieren. Aber dann sehen sie den Ball über ihren Köpfen schweben, ohne dass Kräfte auf ihn einwirken, und sie würden sich fragen, warum die Simulation nicht auf den Ball zutrifft.

Der Ball ist in diesem Fall ein Trägheitsbezugssystem. Wenn Sie dies tun, wird der Ball nicht fallen. Denn Ihre Analyse ist richtig, weil Sie ein Trägheitsbezugssystem sind. Die rotierenden Leute in der Station sind es in diesem Fall nicht. Auf ihrem Bezugsrahmen sehen sie den Ball, der die Station dreht, während sie sich nicht bewegen. Das heißt, der Ball beschleunigt in diesem Fall, während sie sich nicht bewegen. Da diese Kraft eigentlich nicht existiert (weil Menschen kein gültiges Trägheitsbezugssystem sind), werden sie als Trägheitskräfte bezeichnet. Wenn sich in einem bestimmten Beispiel der Ball genau in der Rotationsachse der Station befindet, sehen sie, dass sich der Ball nicht bewegt, während sie sich nicht bewegen. Aber die Kugel wird auch nicht fallen, weil in ihrem Bezugssystem die "Schwerkraft" vom Radius abhängt$r$von der Mitte zur Oberfläche. Und da die Kugel genau in der Achse liegt,$r=0$und keine Schwerkraft für den Ball in diesem nicht-trägen Rahmen.

Nur fürs Protokoll, im nicht-trägen Bezugsrahmen der Menschen in der rotierenden Raumstation ist die für die „Schwerkraft“ verantwortliche nicht-träge Beschleunigung:

Wo$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit der Station, und$r$der Abstand einer Person von der Mittelachse.

Lassen Sie uns den nicht-trägen Bezugsrahmen der Menschen in der Station in diesen beiden Szenarien untersuchen. Alle Nicht-Trägheitskräfte sind die folgenden:

Wo$\mathbf g$ist die Zentrifugalbeschleunigung und$\mathbf a_c$ist die Coriolis-Beschleunigung,$v$ist die Geschwindigkeit des Balls in dieser nicht trägen Referenz. Das sind Vektoren. Das Kreuzprodukt $\times$zwischen den Vektoren gibt einen Vektor zurück, der zu beiden gleichzeitig senkrecht steht. Daher sind in einem sich nicht bewegenden Ball in Bezug auf das Trägheitsbezugssystem die gesamten nicht-Trägheitsbeschleunigungen:

Die Richtung ist radial und zeigt zur Mittelachse. Daher können wir sehen, dass die Zentrifugalgravitation Sie wegdrückt und Coriolis nach innen. Wenn sich die Kugel in der Mittelachse befindet:$r = 0$Und$v = 0$, keine Beschleunigung, wird da sein. Wenn Kugel nicht in Mittelachse liegt:$a_t = 2\omega v - \omega^2 r$, da Coriolis in diesem Fall größer sein wird, wirkt wie eine "Zentripetalkraft", die verhindert, dass sie den Boden erreicht, und ihre Bewegung kreisförmig hält.

Grant Hutchison von den Cosmoquest-Foren hat einige wirklich hilfreiche Diagramme , obwohl ich sie hier leider nicht wiedergeben kann. Er sagt:

Erstens werden die Flugbahnen von geworfenen Objekten in Richtung des Bodens des Habitats gebogen, wenn Sie mit dem Gesicht nach hinten blicken. Hier ist eine Auswahl von Flugbahnen für horizontal abgefeuerte Projektile: [Diagramm]

Wenn Sie Antispinward gegenüberstehen, sind die Dinge interessanter: [Diagramm] Trajektorien werden durch Coriolis angehoben und beginnen, sich um das Habitat zu krümmen. Eine Startgeschwindigkeit, die gleich groß, aber entgegengesetzt zur Rotationsgeschwindigkeit des Habitats ist, wird im Prinzip ein Projektil auf gleicher Höhe über dem Boden endlos um das Habitat herumschleudern - in der Praxis würde es natürlich langsamer werden und aufgrund des Luftwiderstands fallen .

Wenn Sie ein Objekt nach oben werfen und möchten, dass es zu Ihrer Hand zurückkehrt, müssen Sie es ein wenig gegen den Spin werfen, wodurch eine Reihe von Flugbahnen mit unterschiedlichen Startgeschwindigkeiten erzeugt werden: [Diagramm]

Wenn Sie nach oben und gegen den Spin werfen, können Sie eine Reihe interessanter Flugbahnen erzeugen, indem Sie einfach den Startwinkel variieren, aber die Startgeschwindigkeit gleich halten: [Diagramm]

Zuerst behältst du die Schleife am Scheitelpunkt der Flugbahn bei, aber dann erreichst du eine kritische Kombination aus Geschwindigkeit und Winkel, bei der die Schleife verschwindet und der Flugbahn einen scharfen Punkt gibt, an dem das geworfene Objekt im rotierenden Rahmen vorübergehend stationär wird.

Wenn Sie möchten, dass ein Objekt direkt unter dem Startpunkt auf den Boden trifft, müssen Sie es in die Spinrichtung werfen, anstatt es fallen zu lassen. Die Trajektorien nehmen breitere Schleifen, je näher Sie an der Achse des Habitats sind: [Diagramm]

Wenn Sie möchten, dass ein vertikal geworfenes Objekt unterhalb seines Startpunkts landet, gibt es nur eine Geschwindigkeit, die dies für eine bestimmte radiale Position innerhalb des Lebensraums erreichen kann. zu langsam, und es landet auf Antispinward, zu schnell, und es landet auf Spinward. Auch hier werden die Flugbahnen breiter, je näher Sie der Mitte des Lebensraums sind, von dem aus Sie starten: [Diagramm]